高中数学函数与导数

f(x)＝x，则 f(2 017)＝________.
解析 1 1 易知 y＝f(x)的最小正周期 T＝4，∴f(2 017)＝f(1)＝－ ＝－ . 3 f（3）
答案
1 －3
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6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和” 连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替. [回扣问题6] 函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________. 解析 由f′(x)＝3x2－3>0，得x>1或x<－1. 答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)
上单调递增，即 f′(x)≥0，即 a≥0，故“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必 要条件.
答案 A
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13.对于可导函数y＝f(x)，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件. [回扣问题13] 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.
1 A.－3，1 1 1 C.－3，3 1 B.－3，＋∞ 1 D.－∞，－3
)
解析
x<1， 1 － x >0 ， 1 由题意可知 即 1 所以－3<x<1. 3x＋1>0. x>－ ， 3
(2)f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)； (3)定义域含0的奇函数满足f(0)＝0.
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[回扣问题4]
若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，
则使得f(x)<0的x的取值范围是________. 解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|). ∵f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)<f(2). 又∵f(x)在(－∞，0]上是减函数，
解析
2 f （ 1 ）＝ a ＋a＋b＋1＝10， 2 由题意知，f′(x)＝3x ＋2ax＋b， f′（1）＝2a＋b＋3＝0经验证，当a＝4，b＝－11时，满足题意；当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0恒
1 的横坐标缩短为原来的2.所得函数解析式为(
3π A.y＝sin10x－ 4 3 C.y＝sin10x－2π 7π B.y＝sin10x－ 2 7 D.y＝sin10x－4π
)
解析
π π π 将原函数图象向右平移4个单位长度， 所得函数解析式为 y＝sin5x－4－2＝ 7π y＝sin10x－ 4 .
答案 A
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2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，
要注意定义域优先的原则.
[回扣问题2] (2017· 全国Ⅱ卷改编)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________. 解析 要使函数有意义，则x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，结合二次函数、对数函
答案 当a>1时，函数的增区间为(0，＋∞)；当0<a<1时，函数的增区间为(－∞，0)
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9.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.
[回扣问题 9] 已知函数
x e －k，x≤0， f(x)＝ 是 （1－k）x＋k，x>0
R 上的增函数，则实数 k 的取值范
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溯源回扣二
函数与导数
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1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式 (组)求 解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中的真数是 正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
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3x2 [回扣问题 1] 函数 f(x)＝ ＋lg(3x＋1)的定义域是( 1－x
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1 3 [回扣问题 12] 已知函数 f(x)＝2x ＋ax＋4， 则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的(
)
A.充分不必要条件 C.充要条件
解析
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3 f′(x)＝2x2＋a，当 a>0 时，f′(x)>0 恒成立，f(x)在 R 上单调递增，但 f(x)在 R
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7.图象变换的几个注意点. (1)混淆平移变换的方向与单位长度.
(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).
(3)两个函数图象的对称.
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[回扣问题 7]
函数
π π y＝sin 5x－2 的图象向右平移4个单位长度，再把所得图象上各点
7π sin5x－ 4 ，再压缩横坐标得
答案 D
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8.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母 a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件.
[回扣问题8] 函数y＝loga|x|的增区间为________________________________.
围是________.
解析
1－k>0， 由题意知 0 e －k≤（1－k）×0＋k，
k<1， 1 即 1 所以2≤k<1. k≥ ， 2
答案
1 ，1 2
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10.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式 解集的端点值进行准确互化.
1 (2)若 f(x＋a)＝ (a≠0)成立，则 T＝2a； f （x ） 1 (3)若 f(x＋a)＝－ (a≠0)恒成立，则 T＝2a； f（x） (4)若 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则 T＝2a.
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[回扣问题 5]
1 对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x＋2)＝－ ，若当 2<x≤3 时， f（x）
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴|x|<2，所以－2<x<2. 答案 (－2，2)
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5.记准函数周期性的几个结论： 由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则f(x)是周期为a的周期函数” 得： (1)函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；
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11.混淆y＝f(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与y＝f(x)过某点(x0，y0)的切线，导致求解 失误.
[回扣问题11]
(2017· 天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的
切线为l，则l在y轴上的截距为________.
解析 1 f(1)＝a， 切点为(1， a).f′(x)＝a－x ， 则切线的斜率为 f′(1)＝a－1， 切线方程为：
成立，不满足题意，舍去.
答案 －7
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本节内容结束
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y－a＝(a－1)(x－1)，令 x＝0 得出 y＝1，故 l 在 y 轴上的截距为 1.
答案 1
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12.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么
f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区 间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数. 注意 如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证 f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.
解析
由 1－x2>0 且|x－2|－2≠0，知 f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，
lg（1－x2） lg（1－x2） 则 f ( x) ＝ ，又 f(－x)＝ ＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数. x －x
答案 奇函数
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4.理清函数奇偶性的性质.
(1)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
[回扣问题10] 函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(
A.1 解析 B.2 C.3 D.4
)
由|x－2|－ln x＝0，得ln x＝|x－2|.在同一坐标系内作y＝ln x与y＝|x－2|的图象
(图略)，有两个交点.∴f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内有两个零点. 答案 B
数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞). 答案 (4，＋∞)
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3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时， 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .函数y＝f(x)为奇函数，但不一定有f(0)＝0
成立.
[回扣问题 3]
lg（1－x2） 函数 f(x)＝ 的奇偶性是________. |x－2|－2