第13讲 相对论习题课

(A) 30 m; (B) 54 m; (C) 270 m ; (D) 90 m。 解一：设飞船系为 s ，地球系为s ，由尺缩效应
l 1l
1
u2 c2
l 0.690 54m
╳
解二：飞船系中 x 90 t 90 c
地球系中 x x ut 1 90 0.8c 90 270 m
系运动)中测得这两个事件发生的地点相距2000m。求
在S 系中测这两个事件的时间间隔。
解： 由洛仑兹变换得：
x x ut
t


t

u c2
x
由题意：x 1000m, t 0, x 2000 m
可得：


x x

1 1 (u c)2
1 0.82
c
例9、地面上一个短跑选手用10 s 跑完100 m ，问在与 运动员同方向上以 u = 0.6c 运动的飞船中观测，这个 选手跑了多长距离？用了多少时间？
思考：有原时和原长吗？
地球系 s 飞船系 s
事件I: 起跑 事件II:到终点
( x1 ,t 1)
(x2 ,t 2)
(x1,t1)
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔 是多少？
(2) 宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔 是多少？
解： (1) 由相对论效应，观测站测出船身的长度为
L L 1 1 0.82 90 54(m) 0
观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔
t L 54 2.25 107 (s) v 0.8 3108
匀速飞行，将用4年时间（飞船钟）抵达牛郎星。
解：飞船时为原时： t 4年
地球时为观测时： t 16光年 16c 年
v
v
由 t t
16c
4

v
1 v2 c2
得：
v 16 c 2.91 108 m s-1 17
例5： 在S系中的 x 轴上距离为x处有两个同步的钟 A 和
y y
z z
t t
y
y
S
S
v
r
r
P
x
o o
x
二、狭义相对论的基本原理
1. 狭义相对性原理： 物理定律在所有的惯性系中都有相同的数学形式。
2. 光速不变原理：
在所有惯性系中，真空中的光速都恒为c。
三、洛仑兹变换
正变换
逆变换
x (x ut)
y y
例3：某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球，若地球上接 收到它发出的两个信号之间的时间间隔为 10s，则 宇航员测出的相应的时间间隔为：
( A) 6 s; (B) 8 s; (C) 10 s; (D) 16.7 s.
答案： （A） 10 t
t 6s
1 0.82
例4： 牛郎星距地球16光年，宇宙飞船若以速率 v =
例2：一火箭的固有长度为 L ，相对于地面匀速直线运
动的速率为 v1 ，火箭上的人从火箭后端向位于前端
的靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为 v2 ，在
火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：
L
( A)
;
v v
1
2
L
(C)
;
v v
2
1
L (B) ;
v 2
L
(D)
.
v 1 v2 c2
1
1
答案： （B）
(m0v)
九、质能关系
E mc2 m0c2
十、能量动量关系
E 2 p2c2 m02c4
注意： 1
1
1 u2 c2
例题分析
例1：起跑－冲线的时间间隔 地面系测量－－ 非原时 飞船系测量－－ 非原时 运动员系测量－ 原时
如果是一列光从起跑线射向终点线呢？ 地面系测量－非原时 飞船系测量－非原时 不存在相对光静止的参考系，无法测量原时。
(2) 飞船相对于宇航员静止，长度为 L
0
宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔
t

L 0

90
3.75 107 (s)
0 v 0.8 3 108

2
得
u
3 2
c
在S 系中 ,事件2先发生

t


ux
c2

2
3 1000 2 3108
5.77 106 (s)
例8：宇宙飞船相对地球以0.8c飞行，一光脉冲从船 尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长90 m，地 球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的 空间间隔是：
非固有时间:动系(相对被测物运动)中异地事件的时间间隔
注意事项:
1.时间延缓效应 应用的前提条件:在S 系的同一地点
先后发生的两个事件
2. 不符合此前提则用以下公式求两事件发生的时间间隔:
t


(t

u c2
x)
t


(t

u c2
x)
六、长度收缩效应
L 1L0
原长：相对于被测物体静止的参考系测得的长度。 非原长：相对于被测物体运动的参考系测得的长度。
AB
答案： x ; v
1 v2 c2 x v
s
A
v
x
s
x
x
AB
s
A
v
x
s
x
x
AB
例6：S系中测的二事件的空间间隔Δx=600 m,时间间隔
t 8107 s, 欲使沿x正方向运动的 S系观测此二事件 恰好同时发生，须 S系相对于S系运动的速度为多大？
解： 能否用时间膨胀？ 哪个是原时？
由题意，有
t （t ux / c2）=0
即
u t c2 x 0
得
u c2 t x
0.4c 1.2108 m / s
例7.在惯性系S 中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距
1000m的两点，而在另一惯性系S (沿x 轴方向相对于S
(x2 ,t2 )
S中：x2 x1 100m为原长； t2 t1 10s非原时。
S中：x2 x1非观测长度； t2 t1非原时。
解： 由洛仑兹变换得
t


(t

u c2
x)

1 1 (0.6c )2
(10
0.6c c2
100)
12.5 s
c
x (x ut)
1.25 (100 0.6c 10) 2.25109 m
在飞船中的观察者看来，选手用12.5秒时间反向跑 了2.25109米。
例10：
一宇宙飞船的船身固有长度为 L0 90m ，相对
地面以 v 0.8c 的匀速率在一观测站的上空飞过。
注意事项: 1.长度收缩效应 应用的前提条件:
t1 = t2;即:非原长两端同时测量 即:∆t=0
2.不符合此前提使用以下公式求空间间隔: x (x ut) x (x ut)
七、质速关系
m rm0
八、相对论动力学基本方程
F
=
d p dt

d dt
事件时 间间隔
t
(t Nhomakorabeau c2
x)
t


(t

u c2
x)
注意： 1
1
1 u2 c2
四、“同时”的相对性
一个惯性系中的同时、同地事件，在其它惯性系 中必为同时事件；一个惯性系中的同时、异地事件， 在其它惯性系 中必为不同时事件。
五、时间延缓效应
= 0
固有时间:静系(相对被测物静止)中同地事件的时间间隔
x x ut
t
t

u c2
x
S 系
I (x1, t1) II(x2 , t2 )
x x ut
t t


u c2
x
事件空 间间隔
x (x ut)
x (x ut)
B ，在S 系中的x 轴上有一个同样的钟A 。设S 系 相对于S系的速度为v，沿x方向，且当 A 与 A 相遇
时，两钟的读数均为零。
那么，当A 钟与 B 钟相遇时，在S系中 B 钟的读
数是
；
此时在S 系中A 钟的读数是
。
A
s v
x
s x
x
A
B
A
s v
x
s
x
x
第13讲 相对论习题课
要点小结 习题分析 练习讲解
要点小结
一.伽利略变换 (Galilean transformation)
S: rx, y, z, t S: rx, y, z, t
正变换
x x ut
y y
z z t t
逆变换
x x ut

z z

t (t ux / c2 )
x (x ut)
y y

z z

t (t ux / c2 )
注意：
1
1
1 u2 c2
不同惯性系中观察者时空观念的关联
事件 变换
S 系 I (x1, t1)
II( x2, t2 )