现代控制理论复习
现代控制理论复习要点
现代控制理论复习要点第二章控制系统的状态空间描述小结一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述）1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。
2、模型形式（状态空间表达式）：① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式；③ 系统方框图；④ 状态变量图。
3.方法（途径）：①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式；②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）→实现问题（求）状态空间表达式（现代控制：内部描述）a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式；方块图→无零点惯性环节有零点惯性环节二阶振荡环节状态变量图→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式))a b 无零点实现：能控标准型、能观标准型直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点二、状态变量的线性变换1、系统状态空间表达式的非唯一性2、系统的不变性① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性；② 传递函数矩阵不变性；③ 系统的能控性与能观性不变性。
3、状态空间表达式→约旦标准型三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述）1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+= ＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I AC I A BD I A四、组合系统1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵第三章状态方程的解小结一、求状态方程的解1、对象：线性系统① 连续时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）② 离散时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）2、解的形式如线性时变连续时间系统非齐次（对象）状态方程的解为：000()(,)()(,)()()t t x t t t x t t B u d ττττ=Φ+Φ?3、求解的关键求解状态方程的关键是求出状态转移矩阵0(,)t t Φ（重点和难点）；① 掌握状态转移矩阵的1）定义；2)基本性质；3)如何求；② 注意状态转移矩阵与矩阵指数的区别与相同点；③ 线性定常（时不变）连续时间系统状态转移矩阵（矩阵指数）的求法。
现代控制理论复习题
《现代控制理论》复习题1二、（15分）考虑由下式确定的系统： 233)(2+++=s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。
解： 能控标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212113103210x x y u x x x x能观测标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110133120x x y u x x x x对角标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212112112001x x y u x x x x三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。
对系统x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210求其状态转移矩阵。
解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。
矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21,1121νν取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-1112121ννT ， 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21111T因此， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-20011TAT D 从而，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-------------t t tt t t t t t t t t Ate e ee e e e e e e T e e T e22222212222111200211100解法2。
拉普拉斯方法 由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1)(adj )det(1321)(11s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI A sI s s A sI故 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t tt t t tt Ate e ee e e e e A sI L et 2222112222])[()( 解法3。
现代控制理论
1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。
互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。
方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。
4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值=-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题？什么是最小实现？说明实现存在的条件。
答：（1）由系统的运动方程或传递函数建立SS表达式的问题叫做实现问题；（2）维数最小的实现方式时最小实现；（3）存在条件是m小于等于n。
现代控制理论复习
现代控制理论复习（*为重点）第一章一、*线性定常连续系统如何建立状态空间表达式：状态方程，输出方程1.*实际系统，运动方程状态方程：状态变量的一阶导数构成的方程组输出方程：状态变量的个数与独立储能元件有关2.*模拟结构图，方框图状态变量从右往左设，每个积分器的输出为一个状态变量，输入为状态变量的导数。
3.*传递函数，微分方程（有无数种）典型的状态空间表达式（为了研究方便）：能控标准型（两种），能观标准型（两种），约旦标准型。
其中任意两种状态空间表达式都是状态变量线性变换的关系。
1）能控标准I型：A：友矩阵b：（0,0,1）c:（b0,b1,b2）d：（传递函数分子分母阶次相同时有）2）能观标准I型：A：b:（长除法）c：根据对偶原理写出：能控标准II型/能观标准II型3）约旦标准型模拟结构图并联形式无重根，有重根*如何变换成约旦阵(对角阵)？如何构成线性变换阵T？1.无重根1）代数余子式（参考）2）定义（特征值,特征矢量）：T=(p1,p2…)2.有重根广义特征矢量：T=（p1,p2…）*状态空间表达式求传递函数W(s)=公式二、*非线性系统线性化处理给平衡状态进行线性化处理三、线性定常离散系统：G(z) G H*求传递函数G(z)=四、时变系统，传递函数阵不考第二章*线性定常系统方程求解一、状态转移矩阵的性质二、*四种方法求状态转移矩阵：1．定义法（展开）：开放形式2．*拉式反变换3．*对角阵/对角化4．凯莱哈密顿定理三、离散系统定义，*z反变换*线性定常连续系统离散化直接离散，近似离散时变，非线性系统不考第三章判定系统的能控性：1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,B）3.*能控判定阵M4.*能控标准型5.部分传递函数(sI-A)^(-1)B无零极点对消判定系统的能观性1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,C）3.*能观判定阵N4.*能观标准型5.部分传递函数C(sI-A)^(-1)无零极点对消线性定常系统的对偶关系*能控能观分解1.能控判定阵的秩→判断有几个变量能控→使线性变换阵非奇异的(n-m)个列矢量2.能观判定阵的秩→同上3.如果一个状态空间表达式能控则能变换成能控标准型（*能控II 简单）4.如果一个状态空间表达式能观则能变换成能观标准型（*能观I 简单）*最小实现所有状态变量既能控又能观如何寻找？1.能控能观分解→能控能观2. （了解）传递函数→能控（观）标准型→按能观（控）性分解→找出能控能观第四章现代控制理论：平衡状态稳定性（平衡点可能不止一个）第一法（间接法）线性定常系统→看特征值→左半平面→稳定非线性系统线性化→看特征值→左半平面，右半平面，虚轴特征值和闭环极点在传递函数无零极点对消时是相同的第二法（直接法）李雅普诺夫稳定，渐进稳定，大范围渐进稳定，不稳定李雅普诺夫函数（能量函数）V判断初始状态要有能量（V>0）V通常取二次型形式比较简单渐进稳定：V>0，对V求导，求得后：1）V的导数小于02）V的导数小于等于0→判断在x不为0时，V的导数恒不为零3）判断是否大范围渐进稳定如何求平衡状态？x的导数=A*x=0 (不管b*x)李雅普诺夫方法在线性定常连续系统渐进稳定依据第五章三种反馈控制方式，相应性能，对能控能观的影响，改善系统性能极点任意配置：原系统完全能控→状态反馈任意极点配置输出反馈不能实现任意极点配置（特别是单输入输出）原系统完全能观→输出到x导数端反馈实现任意极点配置系统镇定（特征值均在左半平面）状态反馈：不能控子系统渐进稳定输出到x导数端反馈：不能观子系统渐进稳定输出反馈：解耦问题（能解耦标准形不考）*状态解耦，积分型解耦系统状态观测器状态重构状态观测器的输入？输出？能构建的条件：完全能观或不能观子系统渐进稳定如果完全能观：可以通过G调节x的估计值接近x的速度全维状态观测器：可实现极点配置降维状态观测器（不考）习题1.状态空间表达式求传递函数（或传递函数阵）零极点对消，说明该系统（不）能控（不）能观。
(完整word版)现代控制理论复习题
现代控制理论复习题1.自然界存在两类系统：静态系统和动态系统。
2.系统的数学描述可分为外部描述和内部描述两种类型。
3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为自由运动。
4.稳定性、能控性、能观测性均是系统的重要结构性质。
5.互为对偶系统的特征方程和特征值相同。
6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成完全能控子系统和完全不能控子系统两部分。
7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成完全能观测子系统和完全不能观测子系统两部分。
8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解成能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。
9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有零极点对消。
10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
11.经典控制理论讨论的是在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
12.状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略。
13.综合问题的性能指标可分为优化型和非优化型性能指标。
14.状态反馈不改变被控系统的能控性；输出反馈不改变被控系统的能控性和能观测性实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零。
15.静态系统：对于任意时刻t，系统的输出唯一地却绝育同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。
16.动态系统：对于任意时刻t，系统的输出不仅和t有关，而且与t时刻以前的累积有关，这类系统称为动态系统。
17.状态；状态方程：状态：系统运动信息的合集。
状态方程：系统的状态变量与输入之间的关系用一组一阶微分方程来描述的数学模型称之为状态方程。
18.状态变量：指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。
状态向量：若一个系统有n个彼此独立的状态变量x1（t），x2（t）…xn（t），用它们作为分量所构成的向量x（t），就称为状态向量。
现代控制理论课程复习要点
现代控制理论课程复习要点现代控制理论课程复习要点第一章1.已知系统的状态方程和输出方程（以线性方程组的形式给出），如何写出其向量-矩阵方程并画出状态变量图。
2. 已知系统的状态空间模型表达式，如何将其转换为对角线规范型。
（注意复习3*3矩阵的求逆、行列式计算的方法，切记）该类题目具体做法有两种：（1）方法一：求出该系统特征值，特征向量，利用特征向量构成非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
（2）方法二：求出该系统特征值，利用特征值，构成范德蒙德矩阵，并将该矩阵作为非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
第二章1. 已知系统状态转移矩阵()t Φ，如何求出该系统状态方程中的系统矩阵A 的值；该题的主要考点在于：()t Φ的一阶导数在t=0时的值为A ，即t 0()|A t ==Φ。
2.已知状态空间模型，如何求输入()u t 为单位阶跃函数时，该状态空间表达式的解；（利用非齐次状态空间模型的解公式求就可以了）3. 已知线性定常系统齐次状态方程，试利用特征值规范型方法求出状态转移矩阵()t Φ。
具体解法：（1）先求出该系统的特征值：s -0I A = ，特征值分别为123λλλ，， ;（2）根据特征值123λλλ，，求对应的特征向量123,,p p p ，并以此构成非奇异转换矩阵[]123=P p p p ；（3）根据特征值规范型的特性可知，特征值规范型系统的状态转移矩阵为12300(t)000tt t e e e λλλΦ=?? （4）最后将该状态转移矩阵转换回普通形式的状态转移矩阵1(t)P (t)P -Φ=Φ .第三章1. 已知线性定常系统的状态方程（该方程中含未定参数），试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定时，这些未定参数应满足的条件。
现代控制理论-复习
离散时间状态空间模型：源自掌握基本原理，离散模型的导出，经典例子。
离散时间状态空间模型的分析。
能控、能观性 能控、能观性的定义、实际意义、判别条件、例子。 能控标准型是能控的； 一般的能控系统可以等价变换为能控标准型； 系统的离散化不能保持能控性； 输出能控性、和状态能控性的关系。 能控能观性的对偶原理 基于传递函数的能控、能观性条件：零极点对消 倒立摆的例子
06
分析：运动分析、能控性、能观性、稳定性。
07
设计：稳定化控制器、极点配置、观测器、基于观测器
08
的输出反馈控制器、线性二次型最优控制器。
09
要求：概念、方法、意义
状态空间模型 通过分析其内在变化规律列出相应动态方程； 通过输入输出数据建立传递函数模型，进而给出其状态空间实现； 掌握处理传递函数的状态实现方法，从特殊到一般的方法，掌握一些特殊状态空间实现的形式：能控标准型、能观标准型、对角型，它们的意义。 状态空间模型的状态变量图； 由状态空间模型确定传递函数； 状态空间模型的性质 等价模型的概念（可以简化结构），状态空间实现的不惟一性，等价模型具有相同传递函数、相同极点、相同能控、能观性
稳定性
李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性的概念、意义；
具体例子的解释；
李雅普诺夫稳定性理论的实质：能量的变化
存在一个能量函数，沿系统轨线，能量函数衰减。
以上分析数学上的准备：函数的定号性！
重点：线性系统的稳定性分析
李雅普诺夫方程
线性系统李雅普诺夫稳定性定理的描述、举例应用。
李雅普诺夫稳定性定理的几何意义。
系统性能的分析（李雅普诺夫稳定性部分）。
线性二次型最优控制器的描述：
闭环性能指标：
最优闭环系统特性：稳定性。
现代控制理论复习知识点
第二章复习要点
2、状态转移矩阵(续) -α系数的求法：特征值互异；特征值有重复 3、线性定常非齐次方程的解 (自由运动+受迫运动) x’=Ax+Bu x(t)=？ 4、离散时间系统状态方程的解 x(k+1) = G x(k) + H u(k) x(k)=? Gk难求，转化为： Gk=T Λk T-1 Z变换法：x(k)= Z-1[ (ZI-G)-1 ( Zx(0) + Hu(z) ) ]
第二章复习要点
1.线性定常齐次状态方程的解 (自由运动) X’=AX x(t)=Φ(t-t0) x(t0) =eA(t-t0)x(t0), tt0 Φ(t) =eAt：状态转移矩阵 2、状态转移矩阵 性质； 计算： 特殊的状态转移矩阵： A=Λ ？ A=J ？ 利用特殊的状态转移矩阵： eAt=Te ΛtT-1 ; eAt=Te Jt T-1 拉式变换：eAt = L-1 [(SI-A)-1] 凯莱哈密顿定理： eAt = α0I +α1A+… +αnAn-1
第三章复习要点
4、对偶 5、能控、能观性分解 能控性分解：不完全能控，A21=0，Rc=？ 能观性分解：不完全能观，A12=0，Ro=？ 能控能观性分解： 既不完全能控，也不完全能观； A=?，B=?, C=(C1, 0, C2, 0) 两阶段法：先能控分解，后能观分解，此方法不一定保证所有情况都能分解。
标准型及转化 (单输入单输出，系统能控，系统能控) 标准型： 能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II 转化 能控标准I型(I在右上角) ：Tc1 =? 能控标准II型(I在左下角)：Tc2 =M 能观标准I型(I在右上角) : To1-1 =N 能观标准II型(I在左下角): To2-1 =?
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1 x2 ax1 ( x12 x22 ) x 2 x1 ax2 ( x12 x22 ) x
试证明 a 0 时系统平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。 六、 （15 分）已知连续系统的动态方程为：
0 3 2 x x 1 u, 1 1
3
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一、判别题（对的打“√”,错的打“×”, 每小题 1 分，共 10 分） （1） 描述系统的状态方程不是唯一的。 （2） 用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3） 线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （4） 一个单输入单输出系统和它的对偶系统,它们的状态变量和输出变量将不 同，则它们的传递函数也一定不相同。 （5） 对单输入单输出系统， 如果传递函数存在零极点对消，则系统一定不可控 或者不可观测。 （6） 李雅普诺夫第二法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （7） 李雅普诺夫函数是正定函数， 李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳 定性。 （8） 若系统是李雅普诺夫意义下稳定, 则系统在经典意义下也稳定。 （9） 用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）对一个线性定常的单输入单输出 5 阶系统，假定系统状态可控可观测，通 过设计输出至输入的反馈矩阵 F 的参数能任意配置系统的闭环极点。 ##（15 分）已知系统传递函数
2
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Q = I),判断 P 矩阵是否正定。P 正定一致渐近稳定,当||x||→∞,V(x,t)→∞大范围渐近稳定 李雅普渃夫方法在线性系统中的应用： 1 求最优参数：J=V[x(t0)]=x(t0)`Px(t0) 2 动态响应的快速性：∩min = imin(QP-1) 克拉索夫斯基方法 第六章 状态反馈和状态观测器 状态反馈不会改变系统的阶次及其能控性。 极点配置：进行极点配置的系统必须完全能控。 算法 1：a(s)=det(sI-A)=s^n+a1s^n-1+„„+an-1s+an a*(s)=(s-p1*)(s-p2*)„„(s-pn*)= s^n+a1*s^n-1+„„+an-1*s+an* K﹋=[an*-an an-1*-an-1 „„a1*-a1] |an-1„„ a1 1| Q = [B AB „„A^(n-1)B]|„„ 0| |a1 | |1 | P = Q-1 K = K﹋P 算法 2：K = [k1 k2 „„ kn] a(s)=det(sI-A+BK)=s^n+a1(K)s^n-1+„„+an-1(K)s+an(K) a*(s)=(s-p1*)(s-p2*)„„(s-pn*)= s^n+a1*s^n-1+„„+an-1*s+an* 比较系数求 K 解耦控制：实现解耦控制的充要条件是存在常量矩阵 E 为非奇异。其中，K = E-1F E = [E1 E2„„Ep] F = [c1A^(d1+1) c2A^(d2+1)„„cpA^(dp+1)] L = E-1 di = min(di1,di2„„dip)–1 Ei=︾lim s^(di+1)gi(s)(s→∞) di = u,ciA^kB=0,k=0,1,2„„u-1, ciA^uB≠0 di = n-1,ciA^kB=0,k=0,1,2„„n-1 Ei = ciA^diB 状态观测器： 第七章 最优控制 1 泛函 宗量 变分基本概念 2 欧拉方程 3 横截条件 4 条件极值 6 自由端问题 7 固定端问题 8 末端受限问题 9 终端时间 T 自由的问题 10 最大值原理与最小值原理 11 动态规划
试求系统的传递函数 。
y 0 1x
状态变量都是可以测量的。
u
1 s6
x3
1 s 12
图1
x2
1 s
x1 y
1. 试建立受控系统的状态空间表达式。 2. 试用状态反馈方法，将闭环极点配置在 －7＋j7，－7－j7，－100 处，并 写出闭环系统的状态空间表达式;并求出状态反馈闭环系统输出跟踪单位阶跃 输入的稳态误差。
加油
现代控制理论复习 第二章 状态变量：系统的状态变量是指能完全表征系统运动状态的最小一组变量 状态空间表达式：状态方程和输出方程组合起来，构成对一个系统动态行为的完整描述，称 为系统的状态空间表达式。 （状态变量的选取 动态方程或状态空间描述具有非唯一性 状态 变量的个数由系统的阶次确定 n 阶系统有 n 个状态变量） 状态变量选取不同但传递函数具有不变性。 （系统矩阵 A 的特征值等于系统的极点的值） 状态空间表达式的系统方框图： 状态空间表达式的建立： 1）直接由系统的物理机制建立 2）由高阶微分方程建立 3）由传递函数建立 组合系统的状态空间表达式： 1）并联联结：N 个子系统并联联结时，组合系统的传递函数矩阵等于 N 个子系统传递函数 矩阵之和。G（s）=∑Gi（s） 2）串联联结：N 个子系统串联联结时，组合系统的传递函数矩阵等于 N 个子系统传递函数 矩阵的乘积。G（s）=Gn（s）„„G1(s) 3）反馈联结: G(s)=G0(s)[I + G0(s)H]-1 线性变换： 1） 对角标准形 2） 约旦标准形 系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵不变性。 离散系统系统状态空间表达式的建立 第三章 矩阵指数计算方法： 1） 幂级数法 2） 拉氏反变换法 3） 对角标准形和约旦标准形法 4） 有限项法 矩阵指数的性质： 状态转移矩阵： 状态转移矩阵的性质： 第四章 系统的能能控性与能观测性 离散系统能控性定义：如果存在控制向量序列 u(k)，u(k+1),„„u(N-1),使系统从第 k 步的状 态 x(k)开始，在第 N 步达到零状态。即 x(N)=0,其中 N 是大于 k 的有限数，那么就称此系统 在 第 k 步 上 是 能 控 的 。 离 散 系 统 ﹣ x(k)= Ax(k)+B u(k) x(m) = A^m x(0) + ∑ A^(m-i-1)Bu(i)„„（i=0—m-1） 离散系统能控性的充分必要条件：rank（Uc）= rank[B AB „„A^(n-1)B]=n n 阶定常离散系统若在第 n 步上不能转移到零状态，则永远不能转移到零状态。 连续系统能控性定义：如果存在一分段连续控制向量 u(t),能在有限的时间区间[t0 t1]内，将 系统从初始状态 x(t0)转移到任意终端状态 x(t1)，那么就称此状态是能控的。 线性定常连续系统的能控性判据： 1）充要条件 rank（Uc）= rank[B AB „„A^(n-1)B]=n
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加油
2）对角标准形（充要条件：特征值互异 变换为标准形后 控制矩阵不包含全为 0 的行） 约旦标准形（充要条件：有重根 变换为约旦标准形后 每个约旦块最后一行对应的控制 矩阵的行不全为 0） 线性定常系统输出能控性：充要条件 rank（U）= rank[CB CAB „„CA^(n-1)B]=q 结论：状态能控与输出能控没有必然的联系。 离散系统的能观测性：在已知输入 u(k)的情况下，若能依据第 i 步及以后的 n-1 步的输出 观测值 y(i),y(i+1)„„y(i+n-1)，唯一的确定出第 i 步的状态 x(i),则称系统在第 i 步能 观测。 离散系统能观测性的充分必要条件：rank（Uo）= rank[C CA „„CA^(n-1)]-1=n 连续系统能观测性定义：如果存在任意给定输入 u(t),能够根据输出 y(t)在有限的时间区间[t0 t1]内的测量值，能唯一的确定系统的初始状态 x(t0)，那么就称此状态是能观测的。 线性定常连续系统的能观测性判据： 1）充要条件 rank（Uo）= rank[C CA „„CA^(n-1)]-1=n 2）对角标准形（充要条件：特征值互异 变换为标准形后 观测矩阵不包含全为 0 的列） 约旦标准形（充要条件：有重根 变换为约旦标准形后 每个约旦块第一行对应的观测矩 阵的列不全为 0） 线性时变系统的能控性判据：rank[M0(t) M1(t)„„Mn-1(t)] = n M0(t) = B(t) Mk+1(t) = -A(t)Mk(t) +d(Mk(t))/dt (k = 1 2 3„„n-1) 线性时变系统的能观测性判据：rank[N0(t) N1(t)„„Nn-1(t)]-1 = n N0(t) = C(t) Nk+1(t) = Nk(t)A(t) +d(Nk(t))/dt (k = 1 2 3„„n-1) 能控性与能观测性的对偶关系：系统∑1 状态完全能控的充要条件是对偶系统∑2 状态完全 能观测；系统∑1 状态完全能观测的充要条件是对偶系统∑2 状态完全能控。 线性定常系统的结构分解 1） 能控性分解(构造 Tc) 在能控矩阵中取 n1 个线性无关的列向量，余下 n-n1 个向量任意选取（保证 Tc 非奇异） 2） 能观测性分解(构造 To-1) 在能观测矩阵中取 n1 个线性无关的行向量，余下 n-n1 个向量任意选取（保证 To-1 非奇 异） 一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观测的那一部分子系统。 一个系统的传递函数若有零极点对消的现象， 则视系统状态变量的选择不同， 系统或是不能 控或是不能观测的。 系统能控标准形： 系统能控则可选取合适的变换矩阵将系统变换为能控标准形， 变换矩阵选 取:P = [P1 P1A„„„P1A^(n-1)]-1 P1 = [0 0 „„0 1][B AB„„A^(n-1)B]-1 系统能观测标准形： 系统能观测则可选取合适的变换矩阵将系统变换为能观测标准形， 变换 矩阵选取:T = [T1 AT1„„„A^(n-1T1)]-1 T1 = [C CA„„CA^(n-1)][0 0„„0 1]-1 第五章 控制系统的李雅普渃夫稳定性分析 基本概念： 自治系统 受扰系统 平衡状态 稳定 一致稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 不稳定 李雅普渃夫第一方法判断步骤：1）求平衡点 2）将坐标原点移到平衡点取新的状态变量 3） 求系统矩阵（雅可比矩阵）4）求系统矩阵的特征值 5）特征值的实部全部为负渐近稳定 李雅普渃夫第二方法判断步骤：构造李雅普渃夫标量函数 V(x,t) ,求 P 矩阵(A`P+PA=-Q