双曲线定义与方程带动画
双曲线的定义及标准方程

y x 2. 1 25 16
2
2
椭圆与双曲线标准方程的区别:
一、定型:
椭圆:焦点在哪轴,哪轴字母的分母大。 双曲线:焦点在哪轴,哪轴字母系数为
正。
二、a、b、c的关系:
椭圆:c2=a2-b2 双曲线:c2=a2+b2
若P是以F1,F2为焦点的双曲线
上的点,且P到F1的距离是12,
x y 1 25 75
即cx a 2 a ( x c) 2 y 2
两边平方得 (cx a ) a ( x 2cx c y )
2 2 2 2 2 2
即(c a ) x a y a (c a ) 2 2 2 令b c a
2 2 2 2 2 2 2 2
x2 y2 则方程可化为 2 2 1 a b
若F1,F2为定点, |PF1|-|PF2|=±2a(a>0),则动 点P的轨迹是什么?
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线;
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线;
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴? 并求a、b、c
x y 1. 1 16 25
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1,F2的距离的差的 绝对值等于常数(小于|F1F2 | )
的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系:以线段F1F2所在直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴。 设|F1F2|=2c,常数为2a, 则F1(-c,0)、F2(c,0), 设M(x,y)为轨迹上任意一点, 2、列式:||MF1|-|MF2||=2a, 即|MF1|-|MF2|=2a
双曲线定义与方程(带动画)

F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数2a (小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6; (1)方程表示椭圆,则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2-a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
双曲线第一课定义(带动画)_图文

上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?
回2.忆双椭曲圆线的定义
等值于平(常面大数平内于面(与︱内小F两1与于F个2两︱︱定个)F点1定F的F2点1︱点,F)的F1,2轨的的F迹距点2的叫离的距做的轨离椭差迹的圆的叫和绝做为对双一值曲个线定.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令c2-a2=b2
y
M
F1
o
双曲线的标准方程
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
双曲线第一课定义(带动画)_图文.ppt
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线
①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a
判断:
与
的焦点位置?
结论:看
前的系数,哪一个为正,则
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线的定义及标准方程-课件

②经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2,-7),焦点在y轴上的双 曲线的标准方程是 y2/25-x2/75=1 .
三、课堂小结
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱>2a )
y
y
F2
F·1 o
F·2 x
x
F1
方程
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
- x2 = 1 b2
焦 点 F(±c,0)
几点说明:
通常|F1F2|记为2c; 正常数记为2a. (1) 定义中为什么要这个常数2a是正数呢?
∵若常数2a=| | MF1|-|MF2| |=0, 则| MF1|=|MF2|,此时点的轨迹 是线段F1F2的垂直平分线.(如图) ∴2a>0,即 a>0 .
M
·
F1
F1 O M
M· ·
F2
F2
(2)定义中为什么要正常数2a<|F1F2|呢?
a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
∵ 2c=10, 2a=6 ,
∴轨迹方程为
∴c=5,a=3,由c2=a2+b2 ,得b=4,
x2 y2 1
9
16
例2:求与双曲线x2/4-y2/2=1有相同焦点且过点P(2,1)的 双曲线方程。
解:设所求的双曲线方程为 x 2
a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 6 a2
34-58a2+216=0,a2=4,b2=2.
∴双曲线方程为 x 2 y 2 1
4
2
4、课堂练习:
⒈ 一元选择题:
双曲线的定义及标准方程

两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
则F1(-c,0)、F2(c,0),
设M(x,y)为轨迹上任意一点,
2、列式:||MF1|-|MF2||=2a, 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换:(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1,F2的距离的差的
绝对值等于常数(小于|F1F2 | ) 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系:以线段F1F2所在直线为x轴,
M
线段F1F2的垂直平分线为2a,
曲线
椭圆
双曲线
定义 方程
参量
|MF1|+|MF2|=2a
(2a>|F1F2|)
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
||MF1|-|MF2||=2a
(0<2a<|F1F2|)
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
a,b,c>0,a2-c2=b2, a,b,c>0,c2-a2=b2,
y2
1. 1
16 25
双曲线及其标准方程课件

∴sinC-sinB=12sinA, 由正弦定理, 得|AB|-|AC|=12|BC|=2. ∴由双曲线的定义知,动点A的轨迹是以B,C为焦点的 双曲线右半支(除去与x轴的交点), ∴2c=4,2a=2. ∴c=2,a=1,b2=c2-a2=3. ∴动点A的轨迹方程为x2-y32=1(x>0,y≠0).
双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义. 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 ( 小 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 __________ , 这 两 个 定 点 叫 做 __________,两焦点间的距离叫做__________.
2.双曲线的标准方程. 焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为_____________. 焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为_____________. 以上两个标准方程中a,b,c满足关系______________
题型四 焦点三角形问题
例4 设P为双曲线x2-1y22 =1上的一点,F1,F2是该双曲
线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面积为
()
A.6 3
B.12
C.12 3
D.24
分析 利用双曲线的定义和三角形的有关知识求解.
解 由已知得2a=2,又由双曲线的定义得, |PF1|-|PF2|=2, 又|PF1|:|PF2|=3:2, ∴|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 13.
由余弦定理得cos∠F1PF2=622+×462×-452=0. ∴三角形为直角三角形. ∴S△PF1F2=12×6×4=12.
答案 B
规律技巧 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题.例 如,本例中的求三角形的面积时,一定要注意定义和三角形 的有关内容的结合,还可以利用余弦定理,同时要注意整体 思想的应用.
双曲线的定义及标准方程

双曲线的定义及标准方程双曲线是一种重要的数学曲线,它在数学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们学习和理解双曲线的基础,下面我们将对双曲线的定义及标准方程进行详细的介绍。
首先,让我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是平面上一类特殊的曲线,它的形状类似于两条相交的直线。
双曲线有两个分支,分别向无穷远处延伸,因此双曲线是无界曲线。
双曲线的两个分支在无穷远处趋近于两条平行的渐近线,这也是双曲线与其他曲线的明显区别之一。
接下来,我们来看一下双曲线的标准方程。
双曲线有两种标准方程,分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴的情况。
当双曲线的横轴为对称轴时,它的标准方程为,$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,其中$a$和$b$分别为横轴上的半轴长和纵轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$x$轴打开或收缩的,两个分支分别位于$x$轴的两侧。
当双曲线的纵轴为对称轴时,它的标准方程为,$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$,同样,$a$和$b$分别为纵轴上的半轴长和横轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$y$轴打开或收缩的,两个分支分别位于$y$轴的两侧。
双曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和特点。
通过标准方程,我们可以确定双曲线的几何特征,如焦点、渐近线等重要信息。
总之,双曲线是一种重要的数学曲线,它在数学、物理学等领域有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们理解和研究双曲线的基础,通过学习双曲线的定义及标准方程,我们可以更好地掌握双曲线的性质和特点,为进一步深入学习和应用双曲线打下坚实的基础。
双曲线的定义及其基本性质

双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义:
(1)到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长(<
2
1F F )的点的轨迹。
两定点叫双曲线的焦点。
a PF PF 221=-<2
1F F
(2)动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e (e >1)时,这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的方程: 双曲线标准方程的两种形式:
①
12
222=-b y a x ,2
2b a c +=,
F 1(-c,0),F 2(c,0) 三、双曲线的性质:
(1)焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长(2)双曲线的离心率为e=a
c
,e>1(3)焦点到渐近线的距离:虚半轴长b (4)有两条准线,c a x l 21:-=x l 2:=四、双曲线的渐近线:
(1)若双曲线为12222=-b y a x ⇒渐近线方程为x a
b
y ±=,
(2)若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,则可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ,
(3)特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y =±x ,此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线:
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴,双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴,即11
122=+B
A e e 。
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习
(2方 ) 程表示双k的 曲取 线值 ,范 _则 _围 __是 ____.
3.已知双8曲 kx2线 ky2 8的一个焦0点,) 3为, ( 则k的值为 (
A.1 B.-1 C . 65 D .- 65
3
3
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),平面上一动点P, PF1-PF2= 6,求点P的轨迹方程.
变 解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支,
式
根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方
练 程为:
习
x2y2 1 (x 0 ) (a 0 ,b 0 )
a 2 b 2
∵ 2a = 6, c=5
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
x2 y2 所以点P的轨迹方程为: 1
(x>0)
9 16
则k的值为 B(
A.1 B.-1 C . 65 D .- 65
3
3
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
y
图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
y2 x2 1 16 9
2、焦点为 (5,0),(5,0)且 b 3
x2 y2 1 16 9
3 . 以 椭 圆 x 2 y 2 1 的 焦 点 为 焦 点 , 且 过 点 A ( 1 5 , 4 )
2 7 3 6
y
2
x2
1
45
4 . 双 曲 线 过 两 点 P 1 ( 3 , 0 ) , P 2 ( 6 , 3 )x92
x2项的分母较大,焦点 在x轴上;
y2项的分母较大,焦 点在y轴上.
把双曲线方程化成标 准形式后,
x2项的系数为正,焦 点在x轴上;
y2项的系数为正,焦 点在y轴上.
探究一、求双曲线的标准方程
归纳:焦点定型,a、b、c三者之二定量
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。
1、a4,c5 焦点在y轴上
探究点三 利用双曲线的定义求轨迹问题
动圆 M 与圆 C1:(x+3)2+y2=9 外切,且与圆 C2:(x -3)2+y2=1 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. [解] 设动圆半径为 R, 因为圆 M 与圆 C1 外切,且与圆 C2 内切, 所以|MC1|=R+3,|MC2|=R-1, 所以|MC1|-|MC2|=4. 所以点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支, 且有 a=2,c=3,b2=c2-a2=5, 所以所求轨迹方程为x42-y52=1(x≥2).
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2a2b2
探究二、双曲线定义的应用
2.(1)若双曲线x42-1y22 =1 上的一点 P 到它的右焦 点 F2 的距离为 8,则点 P 到它的左焦点 F1 的距离是__________
(2)已知双曲线x42-y92=1,F1、F2 是其两个焦点,点 M 在双曲 线上.若∠F1MF2=90°,求△F1MF2 的面积.
F1
3.列式.|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2 a
( ( x c ) 2 y 2 ) 2 ( ( x c ) 2 y 2 2 a ) 2
1
c2a2b2
思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
判断:x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2
16
1的焦点位置?
结论:看 x2, y2前的系数,哪一个为正,则
焦点在哪一个轴上。
练 习 1: 根 据 方 程 指 出 焦 点 坐 标 :
( 1 )x 2 y 2 1 16 9
(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线)
F1 o F2
(2)轨迹不存在
(3)线段F1F2的垂直平分线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方,标程线? 系
2.设点.设M(x , y),双曲线的焦
距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
( 2 )x 2 y 2 1 16 9
( 3 )x 2 y 2 1 64 36
( 4 )4 x 2 9 y 2 3 6
F1( 7,0) F2 ( 7,0)
F1(5, 0) F2 (5, 0)
F1(0,10) F2(0,10)
F1( 13,0) F2( 13,0)
把椭圆方程化成标准 形式后,
解:(1)选 C.由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=4, 所以||PF1|-8|=4, 所以|PF1|=4 或 12. (2)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13, 不妨设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2). 由双曲线定义得 r1-r2=2a=4. 两边平方得 r21+r22-2r1·r2=16, 即|F1F2|2-4 S△F1MF2=16, 即 4 S△F1MF2=52-16, 所以 S△F1MF2=9.
c x a 2 a( x c ) 2 y 2
F1
y
M
o
( c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( c 2 a 2 )
令c2-a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
双曲线的标准方程
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2
(a0 , b0 a)2
bx22
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数2a (小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
思考: |MF1| - |MF2| = 2a |MF2| - |MF1| = 2a
画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线
①如图(A), |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B), |MF2|-|MF1|=常数
由①②可得: | |MF1|-|MF2| | =常数
(差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?
2.双曲线的定义
(双曲线的右支)
(双曲线的左支)
双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
说明 (2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
思考: (1)若2a=2c,则轨迹是什么?
M
(2)若2a>2c,则轨迹是什么?
(3)若2a=0,则轨迹是什么?
2.已知方 x2 程 y2 1
变 (1方 ) 程9表 k示 k椭 k3的圆 取, 值则 3 范 _ _k 围 _ _9 是 _且 _k_ _6 _;
式 练
(2方 ) 程表示双k的 曲取 线值 ,范 _k则 _围 _3或 _是 _k _9 __.
习
3.已知双8曲 kx2线 ky2 8的一个焦0点,) 3为, (
y2 3
1
练习:
如果方程
x2
y2
1表示焦点在x轴上
2m m1
的双曲线, 求m的取值范围.
ห้องสมุดไป่ตู้
变式:若表示双曲线呢?
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),平面上一动点P,
PF1-PF2= 6,求点P的轨迹方程.
变 2.已知方 x2 程 y2 1
式
9k k3
练 (1方 ) 程表示椭 k的圆 取, 值则 范 __围 __是 _____;