双曲线定义与方程带动画
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双曲线的定义及标准方程
2 2
y x 2. 1 25 16
2
2
椭圆与双曲线标准方程的区别：
一、定型：
椭圆：焦点在哪轴，哪轴字母的分母大。 双曲线：焦点在哪轴，哪轴字母系数为
正。
二、a、b、c的关系：
椭圆：c2=a2-b2 双曲线：c2=a2+b2
若P是以F1,F2为焦点的双曲线
上的点，且P到F1的距离是12，
x y 1 25 75
即cx a 2 a ( x c) 2 y 2
两边平方得 (cx a ) a ( x 2cx c y )
2 2 2 2 2 2
即(c a ) x a y a (c a ) 2 2 2 令b c a
2 2 2 2 2 2 2 2
x2 y2 则方程可化为 2 2 1 a b
若F1,F2为定点， |PF1|-|PF2|=±2a(a>0),则动 点P的轨迹是什么？
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线；
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x y 1. 1 16 25
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）
的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴， 线段F1F2的垂直平分线为y轴。 设|F1F2|=2c,常数为2a， 则F1(-c,0)、F2(c,0)， 设M(x,y)为轨迹上任意一点， 2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
y x 2. 1 25 16
2
2
椭圆与双曲线标准方程的区别：
一、定型：
椭圆：焦点在哪轴，哪轴字母的分母大。 双曲线：焦点在哪轴，哪轴字母系数为
正。
二、a、b、c的关系：
椭圆：c2=a2-b2 双曲线：c2=a2+b2
若P是以F1,F2为焦点的双曲线
上的点，且P到F1的距离是12，
x y 1 25 75
即cx a 2 a ( x c) 2 y 2
两边平方得 (cx a ) a ( x 2cx c y )
2 2 2 2 2 2
即(c a ) x a y a (c a ) 2 2 2 令b c a
2 2 2 2 2 2 2 2
x2 y2 则方程可化为 2 2 1 a b
若F1,F2为定点， |PF1|-|PF2|=±2a(a>0),则动 点P的轨迹是什么？
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线；
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x y 1. 1 16 25
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）
的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴， 线段F1F2的垂直平分线为y轴。 设|F1F2|=2c,常数为2a， 则F1(-c,0)、F2(c,0)， 设M(x,y)为轨迹上任意一点， 2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
双曲线定义与方程(带动画)
(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线) (2)轨迹不存在 (3)线段F1F2的垂直平分线
F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a （小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a （小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
双曲线第一课定义(带动画)_图文
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
回2.忆双椭曲圆线的定义
等值于平（常面大数平内于面（与︱内小F两1与于F个2两︱︱定个）F点1定F的F2点1︱点，F）的F1，2轨的的F迹距点2的叫离的距做的轨离椭差迹的圆的叫和绝做为对双一值曲个线定.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令c2－a2=b2
y
M
F1
o
双曲线的标准方程
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
双曲线第一课定义(带动画)_图文.ppt
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
判断：
与
的焦点位置？
结论：看
前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
回2.忆双椭曲圆线的定义
等值于平（常面大数平内于面（与︱内小F两1与于F个2两︱︱定个）F点1定F的F2点1︱点，F）的F1，2轨的的F迹距点2的叫离的距做的轨离椭差迹的圆的叫和绝做为对双一值曲个线定.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令c2－a2=b2
y
M
F1
o
双曲线的标准方程
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
双曲线第一课定义(带动画)_图文.ppt
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
判断：
与
的焦点位置？
结论：看
前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线的定义及标准方程-课件
②经过点P(－3，2√7)和Q(－6√2，－7)，焦点在y轴上的双 曲线的标准方程是 y2/25－x2/75=1 .
三、课堂小结
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱＞2a )
y
y
F2
F·1 o
F·2 x
x
F1
方程
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
- x2 = 1 b2
焦 点 F（±c，0）
几点说明：
通常|F1F2|记为2c； 正常数记为2a. (1) 定义中为什么要这个常数2a是正数呢？
∵若常数2a=| | MF1|－|MF2| |=0， 则| MF1|=|MF2|，此时点的轨迹 是线段F1F2的垂直平分线.(如图) ∴2a>0，即 a>0 .
M
·
F1
F1 O M
M· ·
F2
F2
(2)定义中为什么要正常数2a<|F1F2|呢？
a2
y2 b2
1 (a>0，b>0)
∵ 2c=10， 2a=6 ，
∴轨迹方程为
∴c=5，a=3，由c2=a2+b2 ，得b=4，
x2 y2 1
9
16
例2：求与双曲线x2/4－y2/2=1有相同焦点且过点P(2，1)的 双曲线方程。
解：设所求的双曲线方程为 x 2
a2
y2 b2
1 (a>0，b>0)
a2 6 a2
34－58a2+216=0，a2=4，b2=2.
∴双曲线方程为 x 2 y 2 1
4
2
4、课堂练习：
⒈ 一元选择题：
双曲线的定义及标准方程
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为2a，
曲线
椭圆
双曲线
定义 方程
参量
|MF1|+|MF2|=2a
(2a>|F1F2|)
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
||MF1|-|MF2||=2a
(0<2a<|F1F2|)
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
a,b,c>0,a2-c2=b2, a,b,c>0，c2-a2=b2,
y2
1. 1
16 25
双曲线及其标准方程课件
由已知2sinC＝sinA＋2sinB，
∴sinC－sinB＝12sinA， 由正弦定理， 得|AB|－|AC|＝12|BC|＝2. ∴由双曲线的定义知，动点A的轨迹是以B，C为焦点的 双曲线右半支(除去与x轴的交点)， ∴2c＝4,2a＝2. ∴c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3. ∴动点A的轨迹方程为x2－y32＝1(x＞0，y≠0)．
双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义． 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 ( 小 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 __________ ， 这 两 个 定 点 叫 做 __________，两焦点间的距离叫做__________．
2．双曲线的标准方程． 焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为_____________． 焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为_____________． 以上两个标准方程中a，b，c满足关系______________
题型四 焦点三角形问题
例4 设P为双曲线x2－1y22 ＝1上的一点，F1，F2是该双曲
线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|＝3:2，则△PF1F2的面积为
()
A．6 3
B．12
C．12 3
D．24
分析 利用双曲线的定义和三角形的有关知识求解．
解 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2， 又|PF1|:|PF2|＝3:2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2 13.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝622＋×462×－452＝0. ∴三角形为直角三角形． ∴S△PF1F2＝12×6×4＝12.
答案 B
规律技巧 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题.例 如，本例中的求三角形的面积时，一定要注意定义和三角形 的有关内容的结合，还可以利用余弦定理，同时要注意整体 思想的应用.
∴sinC－sinB＝12sinA， 由正弦定理， 得|AB|－|AC|＝12|BC|＝2. ∴由双曲线的定义知，动点A的轨迹是以B，C为焦点的 双曲线右半支(除去与x轴的交点)， ∴2c＝4,2a＝2. ∴c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3. ∴动点A的轨迹方程为x2－y32＝1(x＞0，y≠0)．
双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义． 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 ( 小 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 __________ ， 这 两 个 定 点 叫 做 __________，两焦点间的距离叫做__________．
2．双曲线的标准方程． 焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为_____________． 焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为_____________． 以上两个标准方程中a，b，c满足关系______________
题型四 焦点三角形问题
例4 设P为双曲线x2－1y22 ＝1上的一点，F1，F2是该双曲
线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|＝3:2，则△PF1F2的面积为
()
A．6 3
B．12
C．12 3
D．24
分析 利用双曲线的定义和三角形的有关知识求解．
解 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2， 又|PF1|:|PF2|＝3:2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2 13.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝622＋×462×－452＝0. ∴三角形为直角三角形． ∴S△PF1F2＝12×6×4＝12.
答案 B
规律技巧 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题.例 如，本例中的求三角形的面积时，一定要注意定义和三角形 的有关内容的结合，还可以利用余弦定理，同时要注意整体 思想的应用.
双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及标准方程双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们学习和理解双曲线的基础，下面我们将对双曲线的定义及标准方程进行详细的介绍。
首先，让我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的形状类似于两条相交的直线。
双曲线有两个分支，分别向无穷远处延伸，因此双曲线是无界曲线。
双曲线的两个分支在无穷远处趋近于两条平行的渐近线，这也是双曲线与其他曲线的明显区别之一。
接下来，我们来看一下双曲线的标准方程。
双曲线有两种标准方程，分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴的情况。
当双曲线的横轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为横轴上的半轴长和纵轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$x$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$x$轴的两侧。
当双曲线的纵轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，同样，$a$和$b$分别为纵轴上的半轴长和横轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$y$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$y$轴的两侧。
双曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和特点。
通过标准方程，我们可以确定双曲线的几何特征，如焦点、渐近线等重要信息。
总之，双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学、物理学等领域有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们理解和研究双曲线的基础，通过学习双曲线的定义及标准方程，我们可以更好地掌握双曲线的性质和特点，为进一步深入学习和应用双曲线打下坚实的基础。
双曲线的定义及其基本性质
双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2
1F F ）的点的轨迹。
两定点叫双曲线的焦点。
a PF PF 221=-＜2
1F F
（2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式：
①
12
222=-b y a x ，2
2b a c +=，
F 1(-c,0),F 2(c,0) 三、双曲线的性质：
（1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长（2）双曲线的离心率为e=a
c
，e>1（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b （4）有两条准线，c a x l 21:-=x l 2:=四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为12222=-b y a x ⇒渐近线方程为x a
b
y ±=，
（2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ，
（3）特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11
122=+B
A e e 。
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习
(2方 ) 程表示双k的 曲取 线值 ，范 _则 _围 __是 ____.
3.已知双8曲 kx2线 ky2 8的一个焦0点,） 3为， （ 则k的值为 （
A.1 B.－1 C . 65 D .－ 65
3
3
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P， PF1－PF2= 6，求点P的轨迹方程.
变 解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
式
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方
练 程为：
习
x2y2 1 (x 0 ) (a 0 ,b 0 )
a 2 b 2
∵ 2a = 6, c=5
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
x2 y2 所以点P的轨迹方程为： 1
(x>0)
9 16
则k的值为 B（
A.1 B.－1 C . 65 D .－ 65
3
3
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
y2 x2 1 16 9
2、焦点为 (5,0),(5,0)且 b 3
x2 y2 1 16 9
3 . 以 椭 圆 x 2 y 2 1 的 焦 点 为 焦 点 ， 且 过 点 A ( 1 5 , 4 )
2 7 3 6
y
2
x2
1
45
4 . 双 曲 线 过 两 点 P 1 ( 3 , 0 ) , P 2 ( 6 , 3 )x92
x2项的分母较大，焦点 在x轴上；
y2项的分母较大，焦 点在y轴上.
把双曲线方程化成标 准形式后，
x2项的系数为正，焦 点在x轴上；
y2项的系数为正，焦 点在y轴上.
探究一、求双曲线的标准方程
归纳：焦点定型，a、b、c三者之二定量
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。
1、a4,c5 焦点在y轴上
探究点三 利用双曲线的定义求轨迹问题
动圆 M 与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝9 外切，且与圆 C2：(x －3)2＋y2＝1 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． [解] 设动圆半径为 R， 因为圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切， 所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1， 所以|MC1|－|MC2|＝4. 所以点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支， 且有 a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， 所以所求轨迹方程为x42－y52＝1(x≥2)．
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2a2b2
探究二、双曲线定义的应用
2.(1)若双曲线x42－1y22 ＝1 上的一点 P 到它的右焦 点 F2 的距离为 8，则点 P 到它的左焦点 F1 的距离是__________
(2)已知双曲线x42－y92＝1，F1、F2 是其两个焦点，点 M 在双曲 线上．若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积．
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2 a
( ( x c ) 2 y 2 ) 2 ( ( x c ) 2 y 2 2 a ) 2
1
c2a2b2
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2
16
1的焦点位置？
结论：看 x2, y2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
练 习 1： 根 据 方 程 指 出 焦 点 坐 标 ：
（ 1 ）x 2 y 2 1 16 9
(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线)
F1 o F2
(2)轨迹不存在
(3)线段F1F2的垂直平分线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
（ 2 ）x 2 y 2 1 16 9
（ 3 ）x 2 y 2 1 64 36
（ 4 ）4 x 2 9 y 2 3 6
F1( 7,0) F2 ( 7,0)
F1(5, 0) F2 (5, 0)
F1(0,10) F2(0,10)
F1( 13,0) F2( 13,0)
把椭圆方程化成标准 形式后，
解：(1)选 C.由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝4， 所以||PF1|－8|＝4， 所以|PF1|＝4 或 12. (2)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13， 不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)． 由双曲线定义得 r1－r2＝2a＝4. 两边平方得 r21＋r22－2r1·r2＝16， 即|F1F2|2－4 S△F1MF2＝16， 即 4 S△F1MF2＝52－16， 所以 S△F1MF2＝9.
c x a 2 a( x c ) 2 y 2
F1
y
M
o
( c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( c 2 a 2 )
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
双曲线的标准方程
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2
(a0 ， b0 a)2
bx22
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a （小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
思考： |MF1| - |MF2| = 2a |MF2| - |MF1| = 2a
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=常数
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | =常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
2.双曲线的定义
(双曲线的右支)
(双曲线的左支)
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数2a（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
说明 (2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
思考： （1）若2a=2c,则轨迹是什么？
M
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
2.已知方 x2 程 y2 1
变 (1方 ) 程9表 k示 k椭 k3的圆 取， 值则 3 范 _ _k 围 _ _9 是 _且 _k_ _6 _；
式 练
(2方 ) 程表示双k的 曲取 线值 ，范 _k则 _围 _3或 _是 _k _9 __.
习
3.已知双8曲 kx2线 ky2 8的一个焦0点,） 3为， （
y2 3
1
练习:
如果方程
x2
y2
1表示焦点在x轴上
2m m1
的双曲线， 求m的取值范围.
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变式:若表示双曲线呢？
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，
PF1－PF2= 6，求点P的轨迹方程.
变 2.已知方 x2 程 y2 1
式
9k k3
练 (1方 ) 程表示椭 k的圆 取， 值则 范 __围 __是 _____；