双曲线定义PPT课件
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双曲线定义课件
上 页
两条射线
下
页 3、若常数2a＞ ︱ F1F2 ︱轨迹是什么？
小
结
结
没有轨迹
束
动 1、建系设点。
画
音 设M（x , y）,双曲线的焦距
乐
为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
首 常数=2a
页
F1
y
M
o F2 x
上 页
2,双曲线就是集合：
下
页 P= {M ||MF1 | - | MF2|| = 2a }
小 结
结 束
定义
动 画
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
音 乐
图象
首 页
上 页
··· y M
F1 oF2 x
y
·F2
M
· o
x
·F1
下 页
方程
小 结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
结 束
动 画
音 乐
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
M点运动时，M点满足什么条件？
动 画
①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时
音 乐
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时
首
|MF2|-|MF1|=2a
页 由①②可得：
上 页
| |MF1|-|MF2| | = 2a
F(0,±5)
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线的基本性质详解PPT课件
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0） 双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 62
(m
它与y y
bax0的)的位x 渐 置的近变线化为趋势
:
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A1
A2
o a
x
B1
（3）利用慢渐慢近靠线近可以较准确的 画出双曲线的草图
ybx a
ybx a
第五页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
5、离心率 （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做
a 双曲线的 离心率。
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）c a
-b o b x -a
第八页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
小结
性
双 曲
质 图象
线
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
x2 a2
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0） 双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 62
(m
它与y y
bax0的)的位x 渐 置的近变线化为趋势
:
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A1
A2
o a
x
B1
（3）利用慢渐慢近靠线近可以较准确的 画出双曲线的草图
ybx a
ybx a
第五页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
5、离心率 （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做
a 双曲线的 离心率。
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）c a
-b o b x -a
第八页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
小结
性
双 曲
质 图象
线
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
x2 a2
双曲线 PPT课件
足 PA PB =0，M、N分别为PA、PB的中点，
求证： OMON =0（O为坐标原点）.
y
MP A
O
Nx
B
[例2]直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不 同的两点A、B. （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经 过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存 在，说明理由.
【例】双曲线xa22－by22＝1(a>1，b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点 A(a,0)和点 B(0，b)，点 C(1,0)到直线 l 的距离与点 D(－1,0)到直线 l 的距离之和 S≥45c，求双曲线的离心 率 e 的取值范围．
【练习】设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B， 求 a 的值．
直线与双曲线的位置关系
相交----有两个交点或一个交点(直线与
(1)位置关系
渐近线平行).
相切----有且只有一个公共点,且直线
不平行于双曲线的渐近线.
相离----无公共点.
(2)判定方法:
将直线与双曲线的方程联立消去一个
未知数,得到一个一元二次方程.
△< 0
相离
△= 0
相切或相交(一个公共点)
△> 0
率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分
别相交于点B、C，且B是AC的中点，求双曲
线M的离心率和焦点坐标.
[点评]列方程求出b的值,是解决本题的关键.求离心率,关键在
于求 c ，有时可以求出a、c的值，有时可以列出a、b、c的等
求证： OMON =0（O为坐标原点）.
y
MP A
O
Nx
B
[例2]直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不 同的两点A、B. （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经 过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存 在，说明理由.
【例】双曲线xa22－by22＝1(a>1，b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点 A(a,0)和点 B(0，b)，点 C(1,0)到直线 l 的距离与点 D(－1,0)到直线 l 的距离之和 S≥45c，求双曲线的离心 率 e 的取值范围．
【练习】设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B， 求 a 的值．
直线与双曲线的位置关系
相交----有两个交点或一个交点(直线与
(1)位置关系
渐近线平行).
相切----有且只有一个公共点,且直线
不平行于双曲线的渐近线.
相离----无公共点.
(2)判定方法:
将直线与双曲线的方程联立消去一个
未知数,得到一个一元二次方程.
△< 0
相离
△= 0
相切或相交(一个公共点)
△> 0
率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分
别相交于点B、C，且B是AC的中点，求双曲
线M的离心率和焦点坐标.
[点评]列方程求出b的值,是解决本题的关键.求离心率,关键在
于求 c ，有时可以求出a、c的值，有时可以列出a、b、c的等
第2讲双曲线课件理课件.ppt
【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双 曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线 的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式 例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求 出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲 线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
《双曲线方程》课件
直接代入法： 将已知条件 代入方程求 解
消元法：通 过消去一个 未知数求解
换元法：通 过引入新的 未知数求解
待定系数法： 通过设定未 知数的系数 求解
数值方法： 通过数值计 算求解
图解法：通 过画图求解
确定双曲线方程的形式，如 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
确定双曲线的焦点位置，如 (c,0)
双曲线方程的离 心率：e = c/a
双曲线方程与 椭圆方程的联 系：都是二次 曲线方程，具 有相似的几何
性质
双曲线方程与 抛物线方程的 联系：都是二 次曲线方程， 但几何性质不
同
双曲线方程与 圆方程的联系： 都是二次曲线 方程，但几何
性质不同
双曲线方程与 直线方程的联 系：直线与双 曲线的交点问 题，需要运用 双曲线方程进
确定双曲线的焦点位 置
确定双曲线的顶点位 置
确定双曲线的渐近线 方程
确定双曲线的离心率
确定双曲线的标准方 程
确定双曲线的渐近线 方程
标准双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 焦点在x轴上的双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 焦点在y轴上的双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 焦点在原点的双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1
确定双曲线的渐近线方程，如 y = ±b/a * x
利用双曲线的性质，如离心率、 渐近线等，求解双曲线方程
双曲线的定义： 平面内到两个 定点的距离之 差的绝对值等 于常数的点的
轨迹
双曲线的性质： 对称性、周期Байду номын сангаас性、渐近线等
双曲线的方程： x^2/a^2-
y^2/b^2=1 或y^2/a^2x^2/b^2=1
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
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x2 a2
by22
1(a,bo)
x2 y2 b2 a2 1(a,bo)
y
y
. .B
A1 o A x
. B.
A1 o A x
B1
B1
关系
c2 = a2 + b 2
例题：
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
1、过点 P ( 3 , 15 )、Q ( 16 , 5 ) 且焦点在坐标
4
3
轴上；
2、 c = 6 ，经过点 (－5 , 2 )，焦点在 x 轴上；
的焦点坐标．
3．已知方程
x2
y2
1表示双曲线，求的取值范围．
2m m1
精选
•
例3，证明椭圆
x2 25
+
y2 =1
9
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.
• 变:椭圆与双曲线的一个交点为P， F1是椭圆的左焦点,求|PF1|.
精选
小结
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
定义 方程
图象
| | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2 | )
共性： 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 2、两者的定点都是焦点； 3、两者定点间的距离都是焦距。
区别： 椭圆是距离之和； 双曲线是距离之差的绝对值。
求双曲线的标准方程
点击观看动画
精选
1、建系设点。
设M（x , y）,双曲线的焦距 为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
常数=2a
同的符号。
精选
• 例线1，、求如m果的方范程围mx-21+2-ym2 = 1表示双曲 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
变1、焦点在x轴的双曲线时，求焦点坐标 变2、焦点在x轴的椭圆时，求焦点坐标
精选
例2.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),
F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距 离差的绝对值等于6，求双曲线的 标准方程。
a2=b2+c2
精选
双曲线的定义
• 平面内与两定点F1`F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做 双曲线。
• 这两个定点叫做双曲线的焦点， • 两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
点击观看动画
精选
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差 等于常数（小于 |F1F2 | ）的点的轨迹是 什么？
精选
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性； 2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
: X型
x2 y2 1 a2 b2
Y型:
y2 a2
x2 b2
1
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）a4 b 3 （2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）．
2．已知方程 m 2 n x 2 m y n m 0 m n ，求它
双曲线及标准方程
精选
一、回顾
1.椭圆的第一定义是什么？ 2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？
精选
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
图象
·· F1 oF2 x
y
·F2
·o
x
F1
方程
x2 a2
+
y2 b2
=1
y2 a2
+
x2 b2
=
1
焦点
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a.b.c的 关系
精选
3、与双曲线 x2 y2 1 的相同焦点，且经过
16 4
点(3 2,2)
x2 y2 (1) 1
16 9
(2) x2 y2 1 5
x2 y2 (3) 1
12 8
堂上练习 1.a=5,b=4且焦点在x轴上. 2.a=4,c=6且焦点在y轴上. 3.a=3,焦点坐标是(0,-5)和 (0,5).
22
xa - by = 1 2
2
(其中c2=a2+b2)
我们称这个方程为双曲线的标准方程
精选
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么?
y2 a2
-
x2 b2
=1
y F2
ox F1
精选
比较Biblioteka x2 a2y2 b2
1
和 y2 a2
x2 b2
1
的异同之处。
两种不同类型的双曲线方程只是x 的平方项与y的平方项系数有着不
双曲线的一支
2、若常数2a=0,轨迹是什么? 垂直平分线
3、若常数2a= |F1F2|轨迹是什么？ • 两条射线
精选
椭圆：平面内与两定点 F 1、F2的距离之和等 于常数( 大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。 这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭 圆的焦距。
双曲线：平面内与两定点 F 1、F2的距离的差 的绝对值等于常数( 小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹 叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，两 焦点的距离叫双曲线的焦距。
2,双曲线就是集合：
F1
y
M
o F2 x
P= {M|||MF1|-|MF2||=2a }
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
精选
cx-a2=± a √(x-c)2+y2
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) • ∵c＞a，∴c2 ＞a2 • 令(c2-a2)=b2 (b>0)