2015届高考数学二轮专题检测：16 函数的极值与最值

16 函数的极值与最值1．(2014·课标全国Ⅱ改编)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则p 是q 的________条件． 答案 必要不充分解析 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点， 比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0， 但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同， 因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(2013·辽宁改编)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )极值情况为________．答案 无极大值也无极小值解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x，得f ′(x )＝e x －2x 2f (x )x 3，令g (x )＝e x －2x 2f (x )，x ＞0，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x－2·e x x ＝(x －2)e xx .令g ′(x )＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0， ∴g (x )在x ＝2时有最小值g (2)＝e 2－8f (2)＝0， 从而当x ＞0时，f ′(x )≥0， 则f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴函数f (x )无极大值，也无极小值．3．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________. 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足．4．设变量a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b ≥a ，a ＋3b ≤4，a ≥－2.z ＝|a －3b |的最大值为m ，则函数f (x )＝13x 3－m16x 2－2x ＋2的极小值为________．答案 －43解析 据线性规划可得(a －3b )min ＝－8， (a －3b )max ＝－2，故2≤|a －3b |≤8，即m ＝8，此时f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)·(x ＋1)， 可得当x ≤－1时f ′(x )>0，当－1<x <2时f ′(x )<0，当x ≥2时f ′(x )>0， 故当x ＝2时函数取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－43.5．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是________． 答案 [3,12]解析 方法一 由于f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 据题意方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2， 且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]， 令g (x )＝3x 2＋4bx ＋c ，结合二次函数图象可得只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝12－8b ＋c ≥0，g (－1)＝3－4b ＋c ≤0，g (1)＝3＋4b ＋c ≤0，g (2)＝12＋8b ＋c ≥0，此即为关于点(b ，c )的线性约束条件，作出其对应平面区域，f (－1)＝2b －c ，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f (－1)＝2b －c 的最值问题，由线性规划易知3≤f (－1)≤12.方法二 方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]的条件也可以通过二分法处理，即只需g (－2)g (－1)≤0，g (2)g (1)≤0即可，利用同样的方法也可解答． 6．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝x 2－x ，则当x ＝________时，函数f (x )取得极大值． 答案 0解析 当x <0或x >1时，f ′(x )>0； 当0<x <1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，函数f (x )取得极大值．7．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________． 答案 0<a <1解析 ∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0， 可得a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.8．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________． 答案 a >2或a <－1解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. 因为函数f (x )有极大值又有极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.9．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________________．答案 0<t <1或2<t <3解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x .由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3. 10．设函数f (x )＝e x －ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于 k <x ＋1e x －1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2.由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－4>0. 所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点． 故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点． 设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.11．(2014·天津)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a >0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围． 解 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a .当x所以f (x )的单调递增区间是(0，1a )；单调递减区间是(－∞，0)，(1a，＋∞)．当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a 时，f (x )有极大值，且极大值f (1a )＝13a2.(2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，32a )时，f (x )>0；当x ∈(32a，＋∞)时，f (x )<0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1f (x )|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a >2，即0<a <34时，由f (32a)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B . ③当32a <1，即a >32时，有f (1)<0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝(1f (1)，0)，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[34，32]．12．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x) ＝x e x －2e xx 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，得x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e ，e 22)．。