二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题
⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。
我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。
与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。
那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。
但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。
那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。
令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。
我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。
既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。
二元函数最大值最小值
二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。
二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。
2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。
具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。
3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。
3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。
3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是一种含有两个自变量的函数。
研究二元函数的极值和最值是数学中的重要内容之一，它可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，并在实际问题中应用。
一、极值的概念极值是指函数在给定定义域内取得的最大值和最小值。
对于二元函数而言，我们需要找到函数的驻点即梯度为零的点，然后通过二阶导数判定这些驻点是极大值还是极小值。
1.1 驻点的求解假设有二元函数f(x,y)，我们需要找到f(x,y)关于x和y的偏导数分别为零的点，即求解以下方程组：∂f/∂x=0∂f/∂y=01.2 二阶导数判定对于找到的驻点，我们需要使用二阶导数来判定其是极大值还是极小值。
具体而言，我们计算二阶偏导数D，并判定其正负性：若D>0且∂^2f/∂x^2>0，则该驻点为极小值；若D>0且∂^2f/∂x^2<0，则该驻点为极大值；若D<0，则该驻点为鞍点。
二、最值的概念最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于二元函数而言，最值可以通过极值来求解，并且还可以通过定义域的边界上的取值来判断。
2.1 极值的应用我们可以求出二元函数在驻点上的极值，然后将这些极值与函数在定义域边界上的取值进行比较，从而找到函数的最大值和最小值。
通过这种方法，我们可以得出以下结论：若一个驻点为极大值，并且函数在该点的值大于定义域边界上的任意取值，则该点为函数的最大值；若一个驻点为极小值，并且函数在该点的值小于定义域边界上的任意取值，则该点为函数的最小值。
2.2 定义域边界上的取值另外，我们还需要考虑函数在定义域边界上的取值，因为这些点也有可能成为函数的最值。
我们可以通过以下步骤来判断定义域边界上的取值是否为最值：1) 找出定义域的边界方程；2) 求解边界方程与二元函数的交点；3) 将这些交点代入二元函数，计算函数的值；4) 比较这些值，找到最大值和最小值。
三、实际应用二元函数的极值和最值在实际问题中具有广泛的应用。
微积分第三章第3.6节 二元函数的极值与条件极值
解 为求驻点，解联立方程组
f x'( x, y) 3x2 3 y 0
f
' y
(
x,
y)
3
y2
3
x
0
得到两个驻点：（0，0），（1，1）。
由于
f
'' xx
(0,0)
0,
f xy''(0,0)
3,
f
'' yy
(0,0)
0
故[ f xy''(0,0)]2
f
'' xx
有 f ( x,0) x2 ，即函数取负值，而对原点附近任何的 y，
f (0, y) y2 ，函数取正值。因此，原点（0，0）不是函数的极值点。
如果要求二元函数的极值点，应当从驻点或一阶偏导数不存在的点中 选取可能的极值点，为了判断所选的点是否是极值点，我们不加证明地给 出：
定理 3.6.2 设函数 z=f（x，y）的所有的二阶偏导数都在点 ( x0 , y0 ) 附
3
3 33
在该点处 S 3 3 R2 。 4
在闭区域 D 的边界上，即在直线 x=0，y=0 及 x y 2 上，S 恒等
于零，因此 S 在 ( 2 , 2 ) 处达到最大值，换言之，当 x y z 2 时，
33
3
即内接三角形为等边三角形时，其面积最大。
Hale Waihona Puke 以上我们讨论了二元函数的极值问题，系指自变量可任意取值，在不
受限制的情况下的极值，通常被称为无条件极值(unconditional extremum)。
7.7二元函数的极值和最值
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
驻点 (3)
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什
么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件） ABC法则
1. 条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条
件限制，这种情况下的极值称为条件极值. 相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
（1）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极大值；
（2）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
(2)当AC B2 0时,没有极值;
(3)当AC B2 0时,为可能极值 ,需另作讨论 . （证略）
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 求fxx ( x, y), fxy( x, y), fyy ( x, y).
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
高数(二)——二元函数的极值、概率论初步
二元函数的极值1.二元函数极值定义：某一个邻域内有定义，在设)0,0(),(y x y x z [])0,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若,)(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。
或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：)0,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若=两个一阶偏导数存在，则：0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='='的驻点。
称为),(y x f z =的必要条件，定理的结论是极值存在2而非充分条件。
例：122+-=xyz ⎩⎨⎧===+='=-='0000202y x y yz x x z 解出驻点1)0,0(=z 112),0(0,0>+=≠=yy z y x 时，当112)0,(0,0<+-==≠xx z y x 时，当∴驻点不一定是极值点。
3.极值的充分条件：的某个领域内在设：函数)0,0(),(y x y x f y =为驻点，有二阶偏导数，且)0,0(y x [])0,0()0,0(2)0,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''⋅''-''=若：⎩⎨⎧⇒>''⇒<''<为极小值。
时，为极大值。
时，且当：)0,0(0)0,0()0,0(0)0,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。
当：)0,0(,0y x f p ⇒>不能确定。
二元函数的最值与极值
二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。
在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。
最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。
一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。
类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。
2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。
通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。
边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。
最值往往出现在函数在 D 的边界上。
极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。
二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。
2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。
通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。
一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。
二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。
对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。
三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
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二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。
对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。
注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂yz ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3232． 利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
这体现了考研的基本要求。
【解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以02262=∂∂-∂∂--xz z x z y y x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-y z z y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z x z 得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x 将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xz z x z x z y ， ,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yz z y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x z A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x z B ，35)3,3,9(22=∂∂=y z C ， 故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x z A ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x z B ，35)3,3,9(22-=∂∂=---y z C ， 可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程。
2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设在点),(),,(y x y x f ϕ),(00y x 某领域内有连续偏导数，引入辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=解联立方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∂∂=+=∂∂0),(0),('),('0),('),('y x y x y x f yF y x y x f x F y y x x ϕλϕλϕ 得),(00y x 可能是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值点例3经过点)1,1,1(的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题。
这一点大家应引起重视。
【解】设所求平面方程为)0,0,0(,1>>>=++c b a c z b y a x ．因为平面过点)1,1,1(，所以该点坐标满足此平面方程，即有1111=++cb a ． (1) 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V ， 则 abc V 61=． (2) 原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数 )1111(61),,(-+++=c b a abc c b a L λ． 求函数L 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.061,061,061222c ab b ac a bc λλλ 由此方程组和（9）解得a = b = c = 3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面x + y + z = 3．与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为.293613min =⨯=V 例4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R 万元与电视广告费x 万元及报纸广告费y 万元之间的关系为：221028321415y x xy y x R ---++=．⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵ 若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．【解】⑴ 利润函数为)(),(y x R y x L +-=221028311315y x xy y x ---++=，求函数L 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=--=∂∂.020831,04813y x yL x y x L解得75.0=x ，25.1=y ．则)25.1,75.0(为),(y x L 惟一的驻点．又由题意，),(y x L 可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为25.39)25.1,75.0(=L 万元．因此，当电视广告费与报纸广告费分别为75.0万元和25.1万元时，最大利润为25.39万元，此即为最佳广告策略．⑵ 求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件5.1=+y x 下， 求),(y x L 的最大值．作拉格朗日函数),(),(),(y x y x L y x F λφ+=)5.1(102831131522-++---++=y x y x xy y x λ．求函数),(y x F 的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=∂∂=+--=∂∂.020831,04813λλy x yF x y x F 并和条件5.1=+y x 联立解得0=x ，5.1=y ．这是惟一的驻点，又由题意，),(y x L 一定存在最大值，故39)5.1,0(=L 万元为最大值．【评注】 本题也可由5.1=+y x ，解得x y -=5.1，代入目标函数转换成一元函数求解。
3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。
例5:（2007数学一）求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域D 上的最大值和最小值，其中：22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥ 。
【分析】 由于D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】 因为 2(,)22x f x y x xy '=-，2(,)42y f x y y x y '=-，解方程：22220,420x y f x xy f y x y '⎧=-=⎪⎨'=-=⎪⎩得开区域内的可能极值点为(.其对应函数值为( 2.f =又当y=0 时，2(,)f x y x =在22x -≤≤上的最大值为4，最小值为0. 当224,0,22x y y x +=>-<<，构造拉格朗日函数222222(,,)2(4)F x y x y x y x y λλ=+-++-解方程组 22222220,4220,40,x y F x xy x F y x y y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩得可能极值点：(0,2),(，其对应函数值为7(0,2)8,(.4f f == 比较函数值72,0,4,8,4，知f (x , y )在区域D 上的最大值为8，最小值为0. 【评注】当224,0,22x y y x +=>-<<，224x y -=代入目标函数转换成一元函数求解更简单。
例3:（2005数学二）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【解】 由题设，知 x xf 2=∂∂，y y f 2-=∂∂， 于是 )(),(2y C x y x f +=，且 y y C 2)(-='，从而 C y y C +-=2)(， 再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f（下略）。