“图解法解二元函数的最值问题”

“图解法解二元函数的最值问题”

教学课例

昌平区第一中学

回春荣

“图解法解二元函数的最值问题”教学课例

一、设计意图：

在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。

二、本课教学目标

1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。

2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。

3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。

三、教学过程与教学资源设计

（一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题

（二）、教学设计流程图：

（三）、教学过程：

1、回顾知识，实例引入

例题1、（多媒体电脑展示）

某校伙食以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭的主食至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，且每盒盒饭的面食和米食均不超过300g。问应如何配制盒饭中的主食，才能既科学又使费用最少?

（设计意图：通过留预习学案，让学生利用学过的知识自主探究一个简单的二元函数的最值问题。课堂上交流例１的解法，一方面复习线性规划的知识，另一方面为后面的二元函数求最值打下基础，做好铺垫。）

（1）学生分析：根据题目中所给的条件找到线性约束条件并求得最值。把

z=0.5x+0.4y稍作变形为

55

-

42

y x Z

=+，做出一组平行直线，所以Z的变化体现

在纵截距的变化。作一条斜率为

5

-

4

的直线，平移直线且保证直线与不等式组表

示的区域有交点，发现当直线过A点时，纵截距最小，即Z值最小。所以求出点A坐标，代入目标函数即可。

（2）展示：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），所需费用为z=0.5x+0.4y，依据题意列出约束条件的表格：

依据图表可知x、y满足的约束条件是

638

4710

03

03

x y

x y

x

y

+≥

⎧

⎪+≥

⎪

⎨

≤≤

⎪

⎪≤≤

⎩

，目标函数为z=0.5x+0.4y．

作出可行域及相应的目标函数图形：

由6384710x y x y +=⎧⎨+=⎩，可知A （1315，1415），当直

线55y=-42x z +过点A 时，纵截距5

2

Z 最小，即

Z 小。故每盒盒饭为面食1315百克，米食14

15

百克

时既科学费用121

150

又最少。

图1

教师引导：在解题中我们采用的是平移定位.此题中所求的函数最值中含有两个变量,我们不妨称之为二元函数.这就是我们本节课所研究的重点——图解法解二元函数的最值问题。

2、探究问题，提高认识

教师引导：如果目标函数发生变化了，我们的解决方法还是通过平移定位吗？请同学们观察这道题。（幻灯片展示）

引申1:根据例题1中的所列出的约束条件，试求11

y x z ++=

的最大值及最小值。

（设计意图：根据目标函数的改变,培养学生图形语言和符号语言之间的转化能力以及概括能力。） （1）教师巡视并指导学生；

引申1学生解答:（1）思考并展示解答 解：根据题意做出可行域：

图２－１图２－２

依据z所具有的几何意义，表示直线(1)1

y z x

=+-的斜率. 根据图形可以得到z 在C(3,0)处取得最小值14；在A(0,3)处取得最大值4。

教师（板书）

１、定点(1,1)

x y连线的斜率。

--和可行域内一点(,)

２、z在C(3,0)处取得最小值14；在A(0,3)处取得最大值4。

实质：目标函数变形为(1)1

=+-，表示过定点的直线系，但不包括定点．过

y z x

定点的直线旋转定位。

（2）根据学生回答教师质疑：

（设计意图：通过质疑、交流、深化理解学生存在的问题,培养学生探索事物本质属性的精神。）

问题１如何作出目标函数?

问题２通过什么样的方法来定位呢？

问题３为什么点A和点C是最优解呢?

问题４定点改变了,目标函数取得最值时,点A和点C还是最优解吗?

学生：（2）交流探讨，深化理解

1、作定点(1,1)

x y连线。

--和可行域内一点(,)

2、通过定点的直线采用旋转定位。

3、因过定点的直线在与可行域内任意点连线的倾斜角均为锐角，所以为点A和点C是最优解。

4、当定点改变后，目标函数再次取得最值时，最优解会改变，例如过点(4,1)

-与