求二元函数极限地几种方法
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
二元函数求极限的微分法与导数应用
二元函数求极限的微分法与导数应用在微积分中，求二元函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的变化趋势。
本文将介绍二元函数求极限时常用的微分法和导数应用，并通过实例来说明其具体操作方法。
一、二元函数的极限首先，我们需要了解二元函数的极限定义。
对于二元函数f(x,y)，当自变量(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取何值，都趋向于同一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x,y)在点(a,b)的极限，记作：lim f(x,y) = L(x,y)→(a,b)二、求二元函数极限的微分法为了求二元函数的极限，我们可以借助微分法。
以下是两种常用的微分法：1.极坐标法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将自变量(x,y)转换成极坐标形式(r,θ)，其中：x = rcosθy = rsinθ在极坐标形式下，我们可以求得极限。
具体步骤如下：（1）将函数f(x,y)用r和θ表示。
（2）对自变量r求极限lim f(r,θ)。
（3）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
2.换元法：对于二元函数f(x,y)，我们可以进行适当的变量替换，将其简化为一元函数。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的替换，例如令u = g(x,y)。
（2）将函数f(x,y)替换为f(u)。
（3）对变量u求极限lim f(u)。
（4）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
三、导数应用在研究二元函数的性质时，导数是非常重要的工具。
以下是导数在二元函数中的应用：1.切线与法线：对于二元函数f(x,y)，在某一点P(x0,y0)处，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
利用切线的斜率可以求得函数在该点的局部变化趋势。
而法线与切线垂直，其斜率等于切线的负倒数。
2.全微分：全微分是函数在某一点的近似变化值。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可以通过以下公式计算：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，(∂f/∂x)和(∂f/∂y)分别是函数f(x,y)对x和y的偏导数，dx和dy是自变量的微小增量。
二元函数极限求解中的级数展开技巧
二元函数极限求解中的级数展开技巧在二元函数极限求解中，级数展开技巧是一种重要的方法。
级数展开通过将函数表示为无穷级数的形式，进而求得函数的极限值。
本文将介绍一些常用的级数展开技巧，并给出相应的例子。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种将函数表示为多项式级数的方法。
基于泰勒展开，我们可以通过计算级数中有限项的和来逼近函数的值。
泰勒展开在二元函数极限求解中也有广泛的应用。
例如，考虑二元函数f(x,y)，我们可以将其泰勒展开为多项式：f(x,y) = f(a,b) + (x-a)∂f/∂x + (y-b)∂f/∂y + 1/2![(x-a)^2∂^2f/∂x^2 + 2(x-a)(y-b)∂^2f/∂x∂y + (y-b)^2∂^2f/∂y^2] + ...其中，a和b是待求解点的坐标，∂f/∂x和∂f/∂y是一阶偏导数，∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2是二阶偏导数。
2. 傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期性函数表示为三角函数级数的方法。
在二元函数极限求解中，也可以使用傅里叶级数展开来进行计算。
例如，考虑二元周期函数f(x,y)，我们可以将其展开为傅里叶级数：f(x,y) = ∑(n=-∞)^(∞)∑(m=-∞)^(∞)C(n,m)e^(i(nkx+mky))其中，C(n,m)为系数，k为周期，e为自然对数的底数，i为虚数单位，x和y是坐标。
3. 幂级数展开幂级数展开是一种将函数表示为幂次递增的多项式级数的方法。
在二元函数极限求解中，幂级数展开可通过级数求和来逼近函数的值。
例如，考虑二元函数f(x,y)，我们可以将其展开为幂级数：f(x,y) = ∑(n=0)^(∞)∑(m=0)^(∞)a(n,m)(x-a)^n(y-b)^m其中，a(n,m)为系数，a和b是待求解点的坐标，x和y是坐标。
通过以上三种级数展开技巧，我们可以在二元函数极限求解中得到更加准确的结果。
当然，具体应用时要结合具体问题来选择合适的展开方法，并注意计算的精度和收敛性。
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法二元函数极限是数学中一个重要的概念，它研究二元函数在某个点处的极限值。
它不仅在函数中被广泛应用，而且在微积分学中也有重要的作用。
因此，了解二元函数极限的求法尤为重要。
一般而言，二元函数极限的求法一般是通过分析函数在某点附近的曲线行为来求解。
这种方法可以分为三种：一是按照函数在某点附近的导数来寻找极限值；二是利用函数在某点附近的凸性来求解；三是根据函数在该点处的异常情况来进行求解。
首先，如果二元函数在某点处有定义，那么该函数在该点处的极限值就是该点的函数值。
如果函数在该点处没有定义，但是函数的导数在该点处有定义，那么可以通过求导数的极限来计算函数的极限值，即：如果存在某个点，其导数的极限值存在并且为非零，那么函数在该点的极限值就是该点的函数值除以该点导数的极限值。
具体来说，如果用y=f（x）来表示一个函数，那么它在x=a处的极限值就是y=f （a）/[f（a）]，其中f（a）表示函数在x=a处的导数。
其次，如果在某点处函数的导数不存在，而且函数在该点处有定义，那么可以利用函数在该点处的凸性来求解极限值，即，如果函数在某点处不存在导数，而且该点是凸函数，则函数的极限值等于该点的函数值。
反之，如果函数在某点处不存在导数，但是该函数是凹函数，则该函数在该点处的极限值就是该点左右两处函数值的中点值。
最后，如果函数在某点处存在明显的异常情况，比如跳跃，则可以利用定义结合函数的连续性和连续导数的有界性，以及梯形定理等，来求解函数在该点处的极限值。
总之，二元函数极限的求解一般是根据函数在某点处的行为来确定的，有的时候可以利用函数的导数来求解，有的时候利用函数的凸凹性来求解，而有的时候则要利用函数的异常情况来解决。
因此，理解二元函数极限的求法就显得尤为重要。
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
二元函数求极限的定义与基本性质
二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。
求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。
本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。
一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。
二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。
2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。
3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。
4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。
二元函数的极限求法
求解二元函数的极限需要根据具体函数形式和极限的定义进行分析。
以下是常见的二元函数极限求解方法：
代数法：对于简单的二元函数，可以直接使用代数法进行极限求解。
例如，对于二元函数f(x, y)，可以将x和y分别替换成具体的数值，然后计算函数值，观察当变量趋于某个值时函数的变化情况。
分量法：对于形如f(x, y) = g(x)h(y)的二元函数，可以使用分量法将二元函数转化为一元函数的极限问题。
将其中一个变量固定，求解关于另一个变量的一元函数的极限，然后再将这些极限组合起来求得原二元函数的极限。
二重极限法：当二元函数在某点的极限存在但与路径有关时，可以使用二重极限法求解。
首先固定其中一个变量，求解关于另一个变量的极限；然后再固定另一个变量，求解关于第一个变量的极限。
如果两个单变量极限存在且相等，则可以得到二元函数的极限。
极坐标法：对于以极坐标表示的二元函数，可以使用极坐标法求解。
将二元函数转化为极坐标表示，然后求解关于极径r和极角θ的一元函数的极限。
通路法：对于二元函数的极限存在但与路径有关的情况，可以使用通路法进行求解。
通过选取不同的路径，比如直线路径、曲线路径等，求解沿该路径的一元函数极限，并观察不同路径下的极限值是否相同。
求二元函数极限的方法
求二元函数极限的方法一、利用函数的极限定义二元函数极限的定义是通过在自变量（x，y）的取值趋近于特定极点（x0，y0）的时候，来确定因变量（z）趋近于极限L的值。
我们可以利用函数定义来求二元函数的极限。
方法：1、对于定义函数可以用数列的方法逼近，令 (x_n, y_n) -> (x_0, y_0)。
即在点(x_0, y_0) 的无限小领域内，在它左上角，左下角，右上角，右下角四个方向各自建立一条数列 (x_n, y_n) 使它们分别趋近于 (x_0, y_0)，然后再求出数值L。
公式：lim (x_n, y_n) -> (x_0, y_0) f(x_n, y_n) = L2、通过ε-δ方法和极限定义结合来求二元函数的极限。
公式：∀ε > 0, ∃δ > 0, d((x,y),(x_0, y_0)) < δ 时， |f(x,y) - L| < εd((x,y), (x_0, y_0)) 是二元函数两点间的距离。
二、分量函数的极限对于一个二元函数 z = f(x,y)，如果存在一些分量函数，使得当(x,y) → (x_0, y_0) 时，分量函数的值也趋于一些确定的极限，则可以通过分量函数的极限来求二元函数的极限。
方法：1、将二元函数表示为一个分量函数的形式，例如：f(x,y) = u(x,y)v(x,y)。
确定分量函数u(x,y)和v(x,y)的极限。
2、将二元函数表示为两个分量函数的和的形式 f(x,y) = g(x,y) + h(x,y)。
确定分量函数g(x,y)和h(x,y)的极限，再将两个分量函数的极限相加即可。
3、利用拉格朗日中值定理 (Lagrange Mean Value Theorem) 或者柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem）等定理来确定分量函数的极限。
三、利用集合和控制变量法在一些特殊情况下，可以通过设定一个限制条件或者控制变量来求出二元函数的极限。
利用洛必达法则求解二元函数的极限
利用洛必达法则求解二元函数的极限在高等数学中，洛必达法则是一种常用的求解极限的方法。
它可以用于求解二元函数的极限。
本文将介绍洛必达法则的基本概念以及应用方法，并结合实例进行详细解析。
一、洛必达法则的基本概念洛必达法则是由法国数学家洛必达（L'Hospital）在17世纪提出的一种极限计算法则。
它适用于计算形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
其基本思想是将极限转化为函数的导数的极限。
二、洛必达法则的应用方法根据洛必达法则，若要计算二元函数$\frac{f(x)}{g(x)}$在$x=a$处的极限，当 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = 0$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) =0$，或者 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = \infty$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) = \infty$时，可以进行以下步骤：1. 求出$f(x)$在$x=a$处的导数$f'(x)$和$g(x)$在$x=a$处的导数$g'(x)$；2. 计算$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$；3. 若存在极限$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，则$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
三、实例解析现以二元函数$\frac{x^2-1}{x-1}$为例来说明洛必达法则的应用方法。
首先，我们计算$f(x)$和$g(x)$在$x=1$处的导数：$$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^2-1)=2x$$$$g'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1$$然后，我们计算$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}$：$$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim \limits_{x \to1}\frac{2x}{1}=2$$由洛必达法则的推导，我们知道在$x=1$处的极限$\lim \limits_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$等于$\lim \limits_{x \to 1}\frac{2x}{1}$，即极限为2。
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精彩文档1.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即()()221,1,21limy x y x +→=31．精彩文档2.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解：00x y →→00x y →→=00x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(limyx y x y x +-++→．解： 原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →+=++()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→，有sin(,)(,)u x y u x y；2(,)1cos(,)2u x yu x y-；[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y；arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn；(,)1(,)u x yeu x y-；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求xy→→解：当x→，0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算，如：1.2xyxyxy→→→→→→===精彩文档精彩文档2.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解： 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.解： 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .精彩文档所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- . 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，精彩文档从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
定理：函数(),f x y 点()00,x y 的取心领域内有定义的且cos a 、cos b 沿向量()0,0x xy y --的方向余弦，若二元函数的极限()000lim cos ,cos t x t a y t b A →++=,则 )1若A 的值与a 、b 无关，则()()()00,,lim,x y x y f x y A →=； )2若A 的值与a 、b 有关，则()()()00,,lim,x y x y f x y →不存在；例10 求 22()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+解 22222()22()lim ()lim 2x y x y x x y y x y x y x y ee x xy y -++→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+++=⋅⎢⎥++⎣⎦ 因 0,0x y >>时，222212x y x xy y+≤++ ，令 x y t +=，显然满足定理的条件，则22()22lim lim lim lim 0x y t t t x t t t y x y t t e e e e +→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+====，所以 ，22()lim ()0x y x y x y e -+→+∞→+∞+= . 例11 求极限x y →→解：令u =又00lim 0x x y y u →→→→==显然满足定理的条件，则22222000001cos sin 1sin 1limlim lim cos tan 2sec 22tan x u u u y u u u u u u u u x y →→→→→-===⋅⋅=+2.7 利用夹逼准则二元函数的夹逼准则：设在点000(,)P x y 的领域内有(,)(,)(,)h x y f x y g x y ≤≤，且0000(,)(,)(,)(,)lim (,)lim (,)x y x y x y x y h x y g x y A →→==（常数），精彩文档则00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →= . 但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩．例12 求 2200lim x y x y x y →→++解: 因为 222()00(0,0)x y x y x y x y x y x y++≤≤=+→→→++ ，由夹逼准则，得 2200lim0x y x y x y →→+=+ . 例13 求极限222)sin(lim y x y x y x +∞→∞→．解: 222221)sin(0y x y x y x +≤+<， 又01lim22=+∞→∞→y x y x ，故222)sin(lim y x y x y x +∞→∞→=0．2.8 先估计后证明法此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义证明.例14 求函数2222(,)x y f x y x y =+在点(0,0)处的极限.解: 此例分2部考虑：精彩文档先令y kx =，考虑(,)f x y 沿y kx =(,)(0,0)x y →时的极限，4242222222220000lim (,)lim lim lim 0(1)1x x x x y kxx k x k k f x y x x x k x k k →→→→====⋅=+++ .因为路径y kx =为特殊方向，因此我们还不能判断出极限为0.所以下面用定义检验极限是否为0： 因为222222222222222()(,)002()2()xy xy xy x y x y x y f x y x y x y x y x y ⋅⋅+-=-==≤++++10022xy x y ==-⋅- 于是，0,ε∀>取0,(,):0,0x y x y δδδ=>∀-<-<且2222102x y x y δδ-≤⋅+=22δ22εε==，所以222200lim 0x y x y x y →→=+. 例15.求()224,xy f x y x y =+在()0,0的极限.解：若函数()224,xy f x y x y=+中动点(),p x y 沿直线y kx =趋于原点()0,0， 则()()()()()2222322424244242,0,0,0,limlim lim lim 01x y x y kx x o x o xy xy xk x x k x y x y x k x x k x →→→→====++++ 即函数()224,xy f x y x y =+中动点(),p x y 沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极限为0；但根据这个我们不能说它的极限为0；由于动点(),p x y 沿着其它的路径，比如沿抛物线y =()()224,0,0lim x y xy x y →+()(2224220,1lim 2x x y xy x x y x x →→===++从而判断出()()224,0,0lim x y xy x y→+不精彩文档存在；通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径，也就是说，我们沿动点(),p x y 不仅任何路径而且还必须任意方向；2.9 利用极坐标法当二元函数中含有22x y +项时，考虑用极坐标变换：cos ,sin x y ρθρθ==通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数(,)f x y 转化为只含有参量ρ的函数()g ρ，进而求二元函数的极限.例16 计算2222(,)(0,0)lim ()sinx y x yx y x y→+++ 解: 极限中的二元函数含有22x y +，令cos ,sin x y ρθρθ==，使得222222(sin cos )0()sinsin x y x y x y θθρρρ++≤+=≤+ ，20lim00,lim 0ρρρ→→==，由夹逼准则得，20(sin cos )lim sin0ρθθρρ→+=所以，2222(,)(0,0)lim ()sin0x y x yx y x y →++=+.例17 求极限22400lim x y xy x y →→+. 解：若令t 为变量，使cos ,sin x t y t θθ==且[],2o θπ∈，则2222224cos sin 0cos sin xy t x y t θθθθ-=++，当(),x y ()0,0→时，t →0.对任意固定的θ 上式均趋于0，但不能下结论说22400lim x y xy x y →→+=0.事实上22400lim x y xy x y →→+不存在，这只精彩文档让(),x y 沿着任意方向y kx =趋于定点(0,0)，此时224200lim 1x y xy k x y k →→=++. =在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为a ；若化简后的函数为(,)g ρθ，但对于某个固定的00,(,)0g θρθ→，仍不能判断函数的极限为a .2.10 利用累次极限法一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函数(,)f x y 满足定理2的条件，就可以利用累次极限0000lim lim (,)lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→或来计算极限.定理2 若(,)f x y 在点00(,)x y 存在重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →与两个累次极限0000lim lim (,),lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→，则它们必相等.例18 求极限4422(,)(0,0)lim x y x y x y →++解:44222222222()x y y y x x y x y x y+--=≤++，∴对任意4402220(0,),lim y x y x U x x y δ→+∈=+一致的成立；而对4402220(0,),lim x x y y U y x y δ→+∈=+存在，根据定理1，得444422222(,)(0,0)000lim lim lim lim 0x y x y x x y x y x x y x y →→→→++===++. 这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算，如：（1） 用先估计后证明法：解: 通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小量，故极限精彩文档应为0，定义证明：0,ε∀> 因为 4444222222220x y x y x y x y x y x y+-≤+≤++++，故要使4422,x y x y ε+<+只要取δ=，(,):,x y x y δδ∀<<则4422220442x y x y x y εεεε+-≤+<+=<+， 故 4422(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+. （2）用极坐标法解 令 cos ,sin x y ρθρθ==，因为444442442222(cos sin )0(cos sin )2x y x y ρθθρθρρ++≤==+≤+，200lim00,lim 20ρρρ→→==，∴由夹逼准则得，2440lim (cos sin )0ρρθθ→+=， 所以，4422(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+. 例19求函数(),f x y =11sin sin x y y x+的极限. 解：()(),0,0001111lim sin sin limlim sin sin x y y x x y x y y x y x →→→⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当0x →，以y 为常数时，01limsin x x→ 不存在，从而得原函数极限不存在;很显然，这种计算法是错的； 因为()(),0,011lim sin sin x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()(),0,0,0,011lim sin lim sin x y x y x y y x →→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，当0x →时，x 为无穷小量；0y →时，1siny 为有界量，精彩文档从而得 ()()00,,1lim sin x y x y x y →0=，同样()()00,,1lim sin 0x y x y y x→=；所以()(),0,011lim sin sin x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()(),0,0,0,011lim sin lim sin x y x y x y y x →→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=； 此例题我们推出：如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们的存在性，所以应该要注意下列三点：一）若累次极限存在且相等，而重极限不一定存在；例：()()224,0,0lim x y xy x y →+中：2224240000lim lim lim lim 0y x x y xy xy x y x y →→→→==++但()()224,0,0lim x y xy x y →+不存在。