函数极限的求法和极限不存在的判断
求函数极限的八种方法
求函数极限的八种方法
常见的求函数极限的方法有八种：
1.定义域内求函数极限：在函数的定义域内直接计算函数值，即可得到函数的极限值。
2.不存在极限：若函数在某一点的极限不存在，则在该点处函数没有极限。
3.左右极限存在且相等：若函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则在该点处函数的
极限等于左右极限的值。
4.不等式法求极限：通过不等式将函数的上下界确定，从而确定函数的极限值。
5.函数的单调性求极限：通过函数的单调性可以确定函数在某一点处的极限值。
6.函数连续性求极限：通过函数的连续性可以确定函数在某一点处的极限值。
7.函数导数存在求极限：通过函数的导数存在性可以确定函数在某一点处的极限值。
8.无穷小量法求极限：通过考虑无穷小量对函数值的影响，可以确定函数在某一点处的极
限值。
这八种方法都可以用来求解函数的极限，但是在实际应用中，不同的方法适用于不同的情况。
例如，当函数的定义域内有足够的数据时，定义域内求函数极限是最直接的方法；如果函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则可以直接使用左右极限的值作为函数在该点处的极限值；如果函数有明显的单调性或连续性，则可以利用这些性质来求解函数的极限；如果函数的导数存在，则可以利用导数的性质来求解函数的极限。
总之，求函数极限有许多方法，选择哪种方法取决于函数的性质和特点。
在实际应用中，应该根据函数的具体情况选择适当的方法，以得到最准确的结果。
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。
函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。
如果左右极限不相同、或者不存在。
则函数在该点极限不存在。
即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。
2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。
（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。
下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
极限的运算法则
|y|>E 恒成立,则称变量y是该变化过程中的无穷 大量,或称变量y 趋于无穷大,记作limy=
注意：(1)无穷大是变量,不是很大的数
(2)无穷大的函数其极限是不存在
即 勿将 lim f (x) 认为极限存在. xx0
lim
2
=0
x x 2 x
题 求 lim
x2
x0 1 1 x2
解
x2 lim
lim
x2 (1 1 x2 )
x0 1 1 x2 x0 (1 1 x2 )(1 1 x2 )
lim x2 (1 1 x2 )
x0
x2
2
例8
7. 3
x2
多项式
小结: 1. 设f(x)=a0xn+a1xn1+...+an ,则有
lim
x x0
f
(
x
)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1 an
=a0x0n+a1x0n1+...+an =f(x0)
有理分式
2.设
f (x)
P( Q(
x) x)
A
B
A B
A B
B A B(B )
∵BA 0, |B+ |≥|B|| |
又∵ 0
>0,在变量的变化过程中,总有那么
一个时刻,在那个时刻以后,||<成立
|B+ |≥|B|| | >|B|
函数极限的求法
- 1 -
一、函数极限的定义
定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x lim f(x)=a 或f(x )→a(x →+∞)。
定义二：若当x 无限接近0x 时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向0x 时，函数f （x ）趋向于a ，记作0
x lim →x f(x)=a 或f(x) →a(x-0x )。
二、函数极限的求法
下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：
1、直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。
例1：求1
352lim 22+-+→x x x x 分析：由于
2lim
→x (22x +x-5)=22lim →x 2x +2lim →x x-2lim →x 5=2·22+2-5=5, 2lim →x （3x+1）=32lim →x x+2
lim →x 1=3·2+1=7 所以采用直接代入法。
解：原式=)13(lim 5x x 2lim 222
x +-+→→x x ）
（=12352222+⋅-+⋅=7
5 2、利用极限的四则运算法则求极限
这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。
定理 若0x lim →x f(x)=A 0x lim →x g （x ）=B。
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法是数学分析中非常重要的一种方法，它可以帮助我们确定一个函数是否存在极限，从而更好地理解函数的性质。
本文将介绍证明极限不存在的方法的主要内容，并以优美的紧凑的排版格式输出。
一、定义在介绍证明极限不存在的方法之前，我们先来回顾一下极限的定义。
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$x$满足$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\epsilon$，则称$L$是$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$。
二、证明极限不存在的方法1. 构造两个不同的数列证明极限不存在的一种方法是构造两个不同的数列，使得它们分别趋近于不同的极限。
具体来说，如果存在两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，满足$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$，且$a\neq b$，则$f(x)$在$x_0$处的极限不存在。
例如，考虑函数$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$，当$x\neq 1$时，$f(x)=x+1$。
我们可以构造两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，分别为$x_n=1+\dfrac{1}{n}$和$y_n=1-\dfrac{1}{n}$，则有$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1$，但是$\lim\limits_{x\to 1}f(x)$不存在，因为当$x\to 1$时，$f(x)$趋近于$2$和$0$，不满足极限存在的条件。
2. 利用夹逼定理夹逼定理是证明极限存在的重要方法，但它也可以用来证明极限不存在。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
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万方数据
万方数据
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
作者：唐新华
作者单位：山东政法学院
刊名：
科技信息
英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
年，卷(期)：2009，""(18)
被引用次数：0次
1.吴赣昌高等数学 2006
2.马顺业数学分析研究 1996
1.期刊论文郭俊杰.GUO Jun-jie二元函数求极限的方法-衡水学院学报2006,8(1)
二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理.
2.期刊论文王润桃关于二元函数的极限-株洲工学院学报2001,15(5)
讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法.
3.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6)
讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系.
4.期刊论文王海燕二元函数求极限的方法-考试周刊2007,""(37)
二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法.
5.期刊论文王旭琴二重极限与累次极限的关系-南昌高专学报2010,25(2)
本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系.
6.期刊论文樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3)
本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续.
7.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明.
8.期刊论文郭安学二元函数的极限-科学决策2008,""(11)
本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异.
9.期刊论文邹泽民.Zhou Zemin二元函数未定型极限问题的研究-广西梧州师范高等专科学校学报2002,18(1)
给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理.
10.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2)
大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论.
本文链接：/Periodical_kjxx200918384.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6303e070-b0c9-4d3e-83e0-9dca0148959f
下载时间：2010年8月6日。