极限的常用求法及技巧.
求极限的方法和技巧
1
= b + lim x(e x −1) x→+∞
(a = 1)
= b + lim x ⋅ 1 x x→+∞
（等价无穷小代换）
= b+1
故 a = b = 1.
【例
2】（1997 年
4）求极限
lxi→m0 ⎢⎣⎡
a x
−( 1 x2
− a 2 ) ln(1 +
ax)⎥⎦⎤
(a ≠ 0)
a2 []
2
6
（B）仅有一个跳跃间断点；
（C）有两个可去间断点；
（D）有两个跳跃间断点；
答案
1.1;
β 2 −α 2
n ( n +1)
2.(D); 3. − 2; 4. e 2 ；5. e 2 6.（B）; 7.(D).
方法 2 利用有理运算法则求极限
若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则
+ 1)(5x
+ 1)
=
α
≠
0, ，则（
）
（A）α = 5!, β = 5.
（C） α
=
1 25
,β
=
5.
（B） α
=
5! 25
,β
=
5.
（D） α
=
5 25
,β
=
4.
(B)
【例 9】已知 lim (x + 1)(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)(5x + 1) + ax + b = 16, ，则（ ）
4.
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 1
+ +
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点或者趋向某个点时的变化规律。
求函数极限的方法与技巧有很多，下面将详细介绍。
1. 直接代入法直接代入法是求函数极限最简单的方法之一。
当函数在某一点或者趋向某一点时，可以直接将该点代入函数中进行计算。
如果得到的结果是有限值，则函数在该点的极限存在且等于该有限值；如果得到的结果是无穷大或者不存在，则函数在该点的极限也相应不存在。
要求函数f(x)在x=1时的极限，可以直接计算f(1)的值，如果得到的值是有限的，那么f(x)在x=1时的极限存在且等于f(1)的值；如果得到的值为无穷大或者不存在，那么f(x)在x=1时的极限也相应不存在。
2. 夹逼定理夹逼定理是求函数极限的重要方法之一，它适用于求极限存在的情况。
夹逼定理的思想是通过找到一个比较“简单”的函数序列，将要求的函数夹在这些函数之间，从而利用这些函数的极限值来判断原函数的极限是否存在。
夹逼定理的具体步骤是：(1) 找到两个函数序列g(x)和h(x)，它们分别比要求的函数f(x)小和大；(2) 当x趋向某一点a时，g(x)和h(x)的极限分别为L和M；(3) 如果L=M，则函数f(x)在x趋向a时的极限存在且等于L=M。
要求函数f(x)=x^2sin(1/x)在x=0时的极限，可以采用夹逼定理。
我们知道-1≤sin(1/x)≤1，因此-x^2≤x^2sin(1/x)≤x^2，而当x趋向0时，-x^2和x^2两个函数的极限都为0。
根据夹逼定理，可以得到f(x)在x=0时的极限存在且等于0。
3. 分式分解法对于一些复杂的函数，可以通过将其进行分式分解来求解极限。
分式分解法的思想是将函数表示为分子、分母分别进行分解，并利用极限的四则运算性质来求得要求的极限。
要求函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1时的极限，可以将f(x)进行分解得到f(x)=x+1，从而得到函数在x=1时的极限为2。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
极限求解的方法技巧题型
极限求解的方法技巧题型极限求解是数学中一个重要的概念，它描述了一个函数在某一特定点或接近某一特定点时的行为。
在数学的各个领域中都使用到极限的概念，如微积分、数列与级数、微分方程等。
在求解极限时，有一些常见的方法和技巧可以帮助我们更好地理解和解决问题。
下面我们来探讨一些常见的极限求解的方法和技巧。
1. 代入法：这是最基本的求解极限的方法，其基本思想是将函数中的变量替换为极限点的值，然后计算得到一个确定的值作为极限的结果。
例如，对于函数f(x) = x^2，要求解极限lim(x->2) f(x)，我们可以直接将 x 替换为 2，得到 f(2) = 2^2 = 4，所以极限的结果是 4。
2. 因式分解法：当极限问题中包含有分式的形式时，可以尝试使用因式分解法来求解。
这种方法可以帮助我们取消不确定的因子，将问题转化为更简单的形式。
例如，对于极限 lim(x->0) (x^2 - 1)/(x - 1)，我们可以将分子进行因式分解，得到 (x - 1)(x + 1)/(x - 1)。
此时分式中的(x - 1) 因子可以约去，得到x + 1。
然后再将x 替换为 0，得到极限的结果为 1。
3. 夹逼定理：夹逼定理是一种常见的用于求解极限的方法，在某些情况下能够帮助我们确定极限的值。
夹逼定理的基本思想是找到两个函数，一个恒大于待求函数，一个恒小于待求函数，并且它们的极限值相等。
然后我们可以利用这两个函数的极限值来确定原函数的极限。
例如，对于函数f(x) = x^2sin(1/x)，要求解极限lim(x->0) f(x)，我们可以将f(x) 夹在两个函数g(x) = -x^2 和 h(x) = x^2 之间。
显然，g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 对于所有的 x 都成立。
并且我们可以求出 g(x) 和 h(x) 的极限值均为 0。
所以根据夹逼定理，我们可以得出 f(x) 在 x=0 处的极限也为 0。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是微积分的重要内容之一，也是数学分析中的基本问题。
求函数极限需要掌握一定的方法与技巧，下面将从常用的方法、典型的技巧和注意事项等方面进行详细介绍。
1. 代入法代入法是求函数极限最简单的方法之一。
当函数在极限点附近没有特殊的性质时，可以通过直接代入极限值来求解极限。
求函数f(x)=2x-1在点x=3处的极限，直接代入x=3，即可得到f(3)=2*3-1=5，所以极限值为5。
2. 分式化简法对于复杂的函数极限，通常可以利用分式化简法来解决。
将函数化为分式形式，通过合并同类项或者提取公因式等方法，将分式化简至最简形式，然后再进行极限运算。
这样可以简化计算，并且更容易得到极限值。
3. 夹逼准则夹逼准则也是求解极限常用的方法之一。
夹逼准则是一种利用不等式来求解极限的方法，通常用于求解无穷小的极限。
利用夹逼准则可以将复杂的极限问题转化为相对简单的不等式推导问题，从而更容易求得极限值。
4. 极限换元法极限换元法是求解函数极限的一种有效方法，也是求极限的一个经典技巧。
通过将变量进行适当的换元，可以将原来复杂的极限问题转化为相对简单的形式，从而更容易求解极限值。
常见的换元方式包括三角换元、指数换元、对数换元等。
二、典型的技巧1. 分步求解有些复杂的函数极限问题可以通过分步求解来进行，先将函数进行分解或者阶段性的处理，然后逐步求解各个部分的极限值，最后将结果进行合并得到整体的极限值。
这样可以降低计算的复杂度，更容易求得极限值。
2. 极限的运算法则在进行极限运算时，可以利用极限的运算法则来简化计算。
其中包括加减法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则、复合函数法则等，这些运算法则可以在极限计算中起到一定的简化作用，并帮助求得极限值。
3. 利用对称性对称性在求解函数极限中也是一种常用的技巧。
对于对称性的函数或者函数的特殊性质，可以利用对称性来简化极限计算，例如利用奇偶性、周期性等性质，从而简化计算过程，更容易求得极限值。
求极限的13种方法
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限是微积分中的重要概念之一，它的求解方法与技巧有很多。
在本文中，将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解过程。
一、常用的极限求解方法1. 代数化简法将复杂的极限式子进行代数化简，化为比较简单的极限式子，从而进行计算。
例如：$$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^n-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^n-1}{x}\cdot{\frac{(1-x)^n+(1-x)^n}{(1-x)^n+(1-x)^n}}$$2. 夹逼定理当需要证明某一极限存在时，可以使用夹逼定理。
夹逼定理是指：若$\lim_{x\toc}f(x)=\lim_{x\to c}h(x)=A$，且存在另一个函数$g(x)$，满足$f(x)\leq g(x) \leqh(x)$，则$\lim_{x\to c}g(x)=A$。
例如：$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$证明：$$\because \cos x\leq\frac{\sin x}{x}\leq1, (\forall x \in (0,\frac{\pi}{2}])$$3. 最高阶同类项法二、常用的技巧1. 分子有理化当极限式子中含有分数时，可以使用分子有理化技巧，将分数化为更容易计算的形式。
例如：使用分子有理化技巧：2. 三角函数性质当极限式子中含有三角函数时，可以利用三角函数性质进行化简。
例如：3. 比较大小法$$x>0, e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$$4. 提取公因数法总之，我们在计算函数极限的时候，需要耐心分析和具体问题具体分析，从而选择合适的方法和技巧进行计算。
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极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。
极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。
极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。
极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。
函数的极限等等。
本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。
1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。
数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。
若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞→或)(,∞→∞→n a n读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明2322n lim -∞→n n 解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要ε<n9，便有 ε<--33322n n即当n ε9>时，（2）试成立。
又因为（1）式是在3≥n 的条件下也成立，故应取.9,3max ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=εN在利用数列的N -ε定义时，应意识到下几点1.ε的任意性 定义中的正数ε的作用在于衡量数列通项{}n a 与定数a 的接近程度，ε越小，表示接近的愈好；而正数ε可以任意的小，说明{}n a 与a 可以接近到任何程度。
然而，尽管ε有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又1.2 利用极限的四则运算极限的四则运算法则若{n a }与{n b }为收敛数列，则{n n a b +}，{n n a b -}，{n n a b •}也都是收敛数列，其有lim()lim lim()lim lim n n n nn n n n n nn n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞±=±•=例求n 解==由111()n n+→→∞ 得1lim 2n n == 1.3利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即 若数列{}n a 的各项关系式，)(11++≥≤n n n n a a a a则称{}n a 为递增（递减）数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。
有界性即M 存在使得对于一切正整数n,有M a n ≤这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A 。
（2）建立数列相邻两项之间的关系式。
（3）在关系式两端取极限，得以关于A 的方程，若能解出A ，问题就可以解决了。
一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第n 项和第n+1项的关系式。
首先应用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证有界，再证单调）。
由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限，其中（a>0）极限解:设0x，1x ==11,1,2...)n x n +==则{n x }是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A 在1n x +=A =20A A a --=所以A =A>0所以A =即1lim 2n n x →∞=例设x 0>0, a >0,x 1n +=21(x n +x na ), n=0,1,2….z 证明数列{}x n 的极限存在，并求之。
证明：易见x n >0,n=0,1,2….所以有x 1n +=21(x n+x na )≥xn.xna=ax 1n +=21(x n +x n a )≥21(x n +x x nn 2)=x n=)(1)(1121a a a ll n-+--+由0<l<1,故lim n ∞→0)(-=n l ，从而lim n ∞→=a n lim n ∞→a n 1+=l l la a a a a ++=+-+1121121 aann n 1lim+∞→=11lim lim limn =+∞→∞→∞→a a nn n n1.4利用迫敛法则利用迫敛法则求极限主要利用放缩法将其同时放大或缩小成俩个已知数列。
（已知数列的极限相同）即设数列{}n a ,{}n b 都以a 为极限，且存在0N ,使得当n>0N 时b c a n n n ≤≤则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim 。
由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等例 求limn ∞→)n 26.4.21-n 25.3.1（）（ΛΛ解 ：记x n =)n 26.4.21-n 25.3.1（）（ΛΛ ，y n =)1n 27.5.32(6.4.2+（）ΛΛn 显然x n <y n ,n=1.2…,所以即数列{}x n单调递减有下界，极限存在。
记lim n ∞→xn=A , 对关系式x 1n +=21(x n +x na ) 令n →∞取得极限得到A=a .(其中A=-a <0，因不合舍去) 例 设 a i﹥0（i=1，2，3…m ）,记 M=max(a 1,a 2,…a m )。
证明limn ∞→a n 1+a n 2+…a m n=M n证明：因M n<a n1+a n2+…a m n<m Mn→M (n →∞)即 limn ∞→a n1+a n2+…a m n=M n1.5利用递推关系有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理，此时可尝试采用递推关系应用压缩原理去解决.这些题目一般都给我们一个递推式)(1n n a f a =+，但单调性不易或根本无单调性，例 设 a 1，a 2为任意取定的实数，且a 12+a 22≠0，定义a a a n n n l k 11-++=① 其中，k ,l 为正数，且,1=+l k n=1,2….试求aa nn n 1lim +∞→证明 由,1=+l k 即0< k<1,0<l <1.由①式得l a a a a n n n l 21n 1)(-=--=-+（)()12121a a la a n n n -=----Λa a a a a a a an n n n n 112111)()()(+-+-+-=-++Λ=a a a l l l n n 11221))](1)()[(+++-++-+---Λ所以有0<x n 2<x nyn=1n 21+ 即0<xn<1n 21+→0，(n →∞) 故lim n ∞→xn=01.6利用上下极限一个有界数列未必存在极限，但它一定有上下极限，且有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。
对于一个有界数列{}n a 取掉它的最初K 项以后，剩下来的仍旧是一个数列，记这个数列的上确界为k β ，下确界为k α亦即k β={}{}Λ32,1kn ,sup sup +++>=k k k n a a a ak α={}{}Λ32,1,inf inf +++>=k k k n kn a a a a可见k α< k β,Λ3,2,1=k 令于是可以得到一列{}k β和一列{}k α,显然{}k β是单调递减的，{}k α是单调递增的，所以这两个数列的极限都存在，我们称{}k β的极限为数列{}n a 的上极限，{}k α为数列{}n a 的下极限。
我们可根据上下极限处理一些极限问题 例 设lim n ∞→x n =A.求证limn ∞→=+++nn n x x x n 1322121Λ A证明 由lim n ∞→x n =A,知对任给0>ε，存在N,使得当n>N 时，有 A-ε<x n <A+ε于是y n =n n nx x x n1322121+++Λ =)121(1)1N N 3221(1121x x x x x nN N n nN N n n ++++++++++ΛΛ ≤))(n (1)1N N 3221(121ε+-+++++A N nn x x x N Λ两边取上极限得ε+≤∞→A ny n lim同理可证ε-≥∞→A y nn lim _____于是ε-≥∞→A y nn lim _____于是≤-εA y nn lim _____∞→≤limn ∞→y n≤ε+≤∞→A n y n lim由ε的任意性得limn ∞→A y=n亦即limn ∞→=+++nn nx x x n 1322121Λ A1.7利用stolz 定理Stolz 定理 若所求极限为x y nn 型，且{}y n 是单调增加的无穷大量.。
且limn ∞→yy x x n nn n 11----=a 则 limn ∞→xy nn =a或 {}n x ，{}n y 都是无穷小量，且{}n y 是严格单调减少数列，且1n 1limn n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞)，则n lim n nxa y →∞=证明{}n y 是严格单调增加的正无穷大量，且1n 1limn n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞)则n limnnx a y →∞= 证：(1) 考虑a = 0的情况由1n 1lim 0n n n n x x y y -→∞--=-，有11,,(),n n n n x x N n n N y y εε---∀∃∀><-即11n n n n x x y y ε---<-则 1121n n n n n N N N x x x x x x x x ---+=-+-++-+L 1121n n n n N N N x x x x x x x ---+≤-+-++-+L1121n n n n N N N y y y y y y x ε---+≤⎡-+-++-⎤+⎣⎦Ln y 是严格单调增加的，因此1121N n n n n n N Nn n nx x y y y y y y y y y ε---+-+-++-≤+L N n n Nn n n x x y y y y y ε-≤+ N nn nx x y y ε≤+ n y 是正无穷大量22,(),Nnx N n n N y ε∃∀>< 取'2N max(,)1N N =+，'()n n N ∀>有2nnx y ε≤ 所以n lim0nnx y →∞= (2) 当a 是非零有限数时，令'nn n x x ay =-，于是由 ''11n n 11lim lim 0n n n n n n n n x x x x a y y y y --→∞→∞----=-=-- 得到'n lim 0n n x y →∞=，从而'n n lim lim n nn nx x a a y y →∞→∞=+=(3) a =+∞的情况首先'11,(),n n n n N n n N x x y y --∃∀>->-说明{n x }也严格单调增加，且从n N n N x x y y ->-可知{n x }是正无穷大量将前面的结论应用到n n y x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得到11limlim 0n n n n n n n n y y y x x x -→∞→∞--==- 因而n limnnx y →∞=+∞ (4) 对于a =-∞的情况，证明方法类同2． {}n x ，{}n y 都是无穷小量，且{}n y 是严格单调减少数列，且1n 1limn n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞)，则n limnnx a y →∞= 证： a 为有限量因11n n 11limlim n n n n n n n n x x x x a y y y y +-→∞→∞+---==--，所以11,,(),22n n n n x x N n n N a a y y εεε++-∀∃∀>-<<+-，其中10n n y y +->111()()()()22n n n n n n a y y x x a y y εε+++--<-<+-采用类似定理1的证明，可以得到()()()()22n n p n n p n n p a y y x x a y y εε+++--<-<+-令p →+∞，且0n p x +→，0n p y +→利用Stolz 定理时，应注意验证题目所给数列是否满足定理的内容 例 求极限lim n ∞→nnk kk1k21+++Λ解 经检验分母1n +k ∞→，时，∞→n 且单调递增，所以满足条件。