(完整版)等差数列典型例题及分析

第四章 数列 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.正解：（1）an=3n－2;(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.

[例2] 已知数列na的前n项之和为① nnSn22 ② 12nnSn

求数列na的通项公式。正解： ①当1n时，111Sa 当2n时，34)1()1(2222nnnnnan

经检验 1n时 11a 也适合，34nan

②当1n时，311Sa

当2n时，nnnnnan21)1()1(122

∴ nan23 )2()1(n

n

[例3] 已知等差数列na的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。

正解：由题意：7022930301029101011dada得152,5

2

1da

代入得S40 ＝1204023940401da。 [例5]已知一个等差数列na的通项公式an=25－5n，求数列||na的前n项和；

正解： 6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？

[例7]已知：nna12lg1024 （3010.02lg）Nn （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） 02lg102402lg)1(10241nanann3403340112lg10242lg1024nn ∴3402n （2） 0)2lg(2)1(1024nnnSn

当nnSS或0近于0时其和绝对值最小

令：0nS 即 1024+0)2lg(2)1(nn

得：99.680412lg2048n ∵ Nn ∴6805n[例8]项数是n2的等差数列，中间两项为1nnaa和是方程02qpxx的两根，求证此数列的和nS2是方程 0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。 （02nS） 证明：依题意paann1

∵paaaannn121 ∴npaanSnn2

)(2212

∵0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx∴ 0)lg(lg2npx ∴nSnpx2 （获证）。 四、典型习题导练1．已知nnnSaa2311且，求na及nS。

2．设)1(433221nnan，求证：2)1(2)1(2nannn。3.求和: n3211321121

11

4.求和： )12()34()9798()99100(222222225.已知cba,,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,,依次成等差数列.6.在等差数列na中， 40135aa，则 1098aaa（ ）。A．72 B．60 C．48 D．367. 已知na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于________。8.已知数列21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。

§4.2等比数列的通项与求和三、经典例题导讲

[例1] 已知数列na的前n项之和Sn=aqn（qqa,1,0为非零常数），则na为（ ）。

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;

当n>1时，)1(11qaqSSannnn

qaann1（常数）

但qqaa112 na既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

[例2] 已知等比数列na的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于. 错解：S30= S10·q 2.  q 2＝7，q＝7， S40= S30·q =770. 错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.

正解：由题意：701)1(101)1(301101qqaqqa得)(3210110101舍去或qqqa，

S40=20011401）（qqa.

[例3] 求和：a+a2+a3+…+an. 错解： a+a2+a3+…+an＝aan11. 错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1. 正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0; 当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;

当a1时， a+a2+a3+…+an＝aan11.

[例4]设dcba,,,均为非零实数，0222222cbdcabdba， 求证：cba,,成等比数列且公比为d。 证明： 证法一：关于d的二次方程0222222cbdcabdba有实根，

∴0)(44222222cbbacab，∴022acb 则必有：02acb，即acb2，∴非零实数cba,,成等比数列 设公比为q，则aqb，2aqc代入 02422222222qaqadaqaaqdqaa ∵0122aq，即0222qqdd，即0qd。 证法二：∵0222222cbdcabdba ∴022222222cbcddbbabdda ∴022cbdbad，∴bad，且cbd ∵dcba,,,非零，∴dbcab。 [例5]在等比数列nb中，34b，求该数列前7项之积。 解：45362717654321bbbbbbbbbbbbbb ∵53627124bbbbbbb，∴前七项之积2187333732 [例6]求数列}21{nn前n项和 解：nnnS21813412211 ①

12121)1(161381241121nnnnnS ② 两式相减：112211)211(21212181412121nnnnnnnS nnnnnnnS2212)2211(211 [例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水， 问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？ (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？ 解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 （kg）, a2=21×0.2（kg）, a3= (21)2×0.2（kg）

由此可见：an= (21)n1×0.2（kg）, a5= (21)51×0.2= (21)4×0.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=21

)(003125.0200625.0)(00625.039375.04.0)(39375.0211)211(2.01)1(6616kgkgkgqqaS

答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式： 1) a1=2, a3=8 2) a1=5, 且2an+1=3an

3) a1=5, 且11nnaann

2.在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a. 3.已知无穷数列,10,10,10,1051525150n， 求证：（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列na为1324,3,2,1nnxxxx0x求此数列前n项的和。 5.已知数列{an}中，a1=2且an+1=Sn，求an ,Sn 6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？

7.在等比数列na中，400,60,364231nSaaaa，求n的范围。

§4.3数列的综合应用 三、经典例题导讲

[例1]设na是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：

12122121log2loglognnnSSS＞。

错解：欲证12122121log2loglognnnSSS＞ 只需证22121loglognnSS＞2121lognS 即证：)(log221nnSS＞2121lognS 由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS＜21nS  2nnSS

－21nS＝221212221)1()1()1()1)(1(qqaqqqannn

＝－021nqa  2nnSS

＜21nS

 原不等式成立.

错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.

正解：欲证12122121log2loglognnnSSS＞ 只需证22121loglognnSS＞2121lognS 即证：)(log221nnSS＞2121lognS 由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS＜21nS 由已知数列na是由正数组成的等比数列，  q>0,01a.

若1q,