数列经典例题(裂项相消法)
数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型
1．已知等差数列}{n
a 的前n 项和为,
15,5,55==S a S
n 则数列}1
{1
+n n
a
a 的前100项和为( )
A ．100101
B ．99101
C ．99100
D ．101
100
2．数列,
)1(1
+=
n n a
n
其前n 项之和为,109
则在平面直角坐标系中，
直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n
a 的各项均为正数，且6
22
321
9,132a a a a a
==+．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设,
log log log 32313n n
a a a b
+++= 求数列}1{n
b 的前n 项和．
4．正项数列}{n a 满足0
2)12(2
=---n a n a
n n
．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式n
a ； (Ⅱ)令,
)1(1
n
n
a n b
+=
求数列}{n
b 的前n 项和n
T ．
5．设等差数列}{n
a 的前n 项和为n
S ，且1
2,4224
+==n n a a S S ．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设数列}{n
b 满足,,2
1
1*221
1N n a b a b a
b
n n n ∈-=+++
求}{n
b 的前n 项和n
T ．
6．已知等差数列}{n
a 满足：26
,7753
=+=a a a ．}{n
a 的前n 项和为n
S ．
(Ⅰ)求n
a 及n
S ；
(Ⅱ)令),(1
1
*2
N n a b
n n
∈-=
求数列}{n
b 的前n 项和n
T ．
7．在数列}{n
a 中n
n a n
a a
211
)1
1(2,1,+==+．
(Ⅰ)求}{n
a 的通项公式； (Ⅱ)令,
2
1
1n n n
a a b
-=+求数列}{n
b 的前n 项和n
S ；
（Ⅲ）求数列}{n
a 的前n 项和n
T ．
8．已知等差数列}{n
a 的前3项和为6，前8项和为﹣4．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设),
,0()4(*1N n q q a b
n n n
∈≠-=-求数列}{n
b 的前n 项和n
S ．
9．已知数列}{n
a 满足,
2,021
==a a
且对*
,N n m ∈?都有
2
11212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．
(Ⅰ)求5
3
,a a ；
(Ⅱ)设),
(*1212N n a a b
n n n
∈-=-+证明：}{n
b 是等差数列；
（Ⅲ）设),
,0()(*11N n q q a a c
n n n n
∈≠-=-+求数列}{n
c 的前n 项和n
S ．
10．已知数列}{n
a 是一个公差大于0的等差数列，且满足
16
,557263=+=a a a a ．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式； (Ⅱ)数列}{n
a 和数列}{n
b 满足等式),(2
222*
33221N n b b b b a
n n n
∈++++=
求数
列}{n
b 的前n 项和n
S ．
11．已知等差数列}{n
a 的公差为2，前n 项和为n
S ，且4
21,,S S S 成
等比数列．
(1)求数列}{n
a 的通项公式；
∴a n=2n．
(Ⅱ)∵a n=2n，b n=，
∴b n===，
T n===．
数列{b n}的前n项和T n为．
5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由
S4=4S2，a2n=2a n+1有：，
解有a1=1，d=2．
∴a n=2n﹣1，n∈N*．
(Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N *，有：
当n=1时，=，
当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．
∴=，n∈N *
由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．
∴b n=，n∈N*．
又T n=+++…+，
∴T n=++…++，
两式相减有：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣
∴T n=3﹣．
6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，
∵a3=7，a5+a7=26，
∴有，
解有a1=3，d=2，
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；
S n==n2+2n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1，
∴b n====，
∴T n===，
即数列{b n}的前n项和T n=．
7．解：(Ⅰ)由条件有，又n=1时，，
故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．
(Ⅱ)由有，，两式相减，有：，∴．
（Ⅲ）由有．∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=．
8．解：(Ⅰ)设{a n}的公差为d，
由已知有
解有a1=3，d=﹣1
故a n=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n=n?q n﹣1，于是
S n=1?q0+2?q1+3?q2+…+n?q n﹣1．
若q≠1，将上式两边同乘以q，有
qS n=1?q1+2?q2+3?q3+…+n?q n．
上面两式相减，有
（q﹣1）S n=nq n﹣（1+q+q2+…+q n﹣1）=nq n﹣
于是S n=
若q=1，则S n=1+2+3+…+n=
∴，S n=．
9．解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6 再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20
(Ⅱ)当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可有a2n+3+a2n﹣+8
1=2a2n+1
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8
即b n+1﹣b n=8
∴{b n}是公差为8的等差数列
（Ⅲ）由(Ⅰ) (Ⅱ)解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列
则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可有
a n=﹣（n﹣1）2．
∴a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c n=2nq n﹣1．
当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，S n=2?q0+4?q1+6?q2+…+2n?q n﹣1．
两边同乘以q，可有
qS n=2?q1+4?q2+6?q3+…+2n?q n．
上述两式相减，有
（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n=2?﹣
2nq n=2?
∴S n=2?
综上所述，S n=．
10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，
则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16， 有，2a 1+7d=16①
由a 3a 6=55，有（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②
由①②联立方程求，有d=2，a 1=1/d=﹣2，a 1=（排除） ∴a n =1+（n ﹣1）?2=2n ﹣1 (Ⅱ)令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n a n+1=c 1+c 2+…+c n+1 两式相减，有
a n+1﹣a n =c n+1，由（1）有a 1=1，a n+1﹣a n =2 ∴c n+1=2，即c n =2（n ≥2）， 即当n ≥2时，
b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2 ∴b n =
于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n ≥2，
．
11．解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，
S 4＝4a 1＋4×3
2
×2＝4a 1＋12，
由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，
所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)
n －1
4n a n a n ＋1＝(－1)n －1
4n (2n －1)(2n ＋1)
＝(－1)n －
1
(12n －1＋1
2n ＋1
)． 当n 为偶数时，
T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(1
2n －1＋
12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，
T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋
12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1
.
所以
T n ＝????
???
2n ＋22n ＋1
，n 为奇数，2n 2n ＋1
，n 为偶数.(或T n ＝
2n ＋1＋(－1)n －1
2n ＋1
)
12．(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0，
得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)． n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式． ∴a n ＝2n (n ∈N *)．
(2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *)得b n ＝n ＋1
(n ＋2)2a 2n ＝n ＋1
4n 2(n ＋2)
2
＝
116???????
?1n 2－1(n ＋2)2 T n
＝
1
16
????
?
?????1－132＋? ?????122－142＋? ??
??
?132－152＋…
????
＋? ?????1(n －1)2－1(n ＋1)2＋?
?????1n 2－1(n ＋2)2 ＝116????????1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116? ?????1＋122＝564
(n ∈N *)． 即对于任意的n ∈N *
，都有T n <564
.