数列专题复习之典型例题(含答案)
数列专题 (优秀经典练习题及答案详解).
，已知 S n 求 an ，应分n 1 时a1
S1
；
n 2时， an = Sn Sn1
两步，最后考虑 a1 是否满足后面的an .
4.①在等差数列{an}中，已知 a1，d，m，n，则 d＝ann－ －a11＝ann－－mam(n>1，m≠n)， 从而有 an＝am＋(n－m)d. ②若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
①等差数列 an a1 (n 1)d ②等比数列 an a1qn1
2.前n项和公式：
①等差数列：
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列： Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
3. an 与 Sn 的关系：
Sn
与
an
的关系：an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n 1)
故选 A
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S9 ＝72，则 a2 ＋a4 ＋a9＝ ________. 7.解析：∵{an}是等差数列，由 S9＝72，得 S9＝9a5，a5＝8， ∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.
8.已知数列的通项公式 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝________.
A. 22018 1
B. 32018 6
C.
1 2
2018
7 2
D.
1 3
2018
10 3
6.解析 A：由题可知：当 n 1 时,3S1 2a1 31 ,所以 a1 3 ,
当 n 2 时,
① 3Sn 2an 3n
2021年高考数学专题复习：数列(含答案解析)
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝2 an，求{bn}的前n项和Tn．
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+16a3＝1，a1a5＝16a42．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝log2an，求数列{ }的前n项和Tn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明： ．
13．设数列{an}满足a1＝2，an+1＝an+2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2（a1•a2…an），求数列{ }的前n项和Sn．
14．已知等比数列{an}的各项都为正数，Sn为其前n项和，a3＝8，S3＝14．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Tn ，求使得Tn 成立的正整数n的最小值．
15．设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足an+Sn＝2n+1．
（1）证明数列{an﹣2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝n（2﹣an），求数列{bn}的前n项和Tn．
16．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式 1 恒成立，求λ的取值范围．
18．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，S3 ，a3a4＝a5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若4an＝3Sn，求正整数n的值．
19．已知等差数列{an}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a14．
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=.（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---1213133312n n n a ---+=++++=， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求na 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =(n ∈*N ）①2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-，∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-(4)(2)(28)n =-+-++-2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则 ，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n nT -=++++231111231(2322222n n n n n T --=+++++） ，得2111111(1)232222nn n n T -=++++-，111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '. 解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-，11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即 当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即 当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， 即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n .为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S ，两式相减得：n n nS 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-（2）由（1）得n n n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++= 1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=，则 ()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-.（2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++， ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+.2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*N n ∈成立， *()1N n n n ∈+的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *. （1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若8131220,a a m b b b +=求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。
完整版)数列典型例题(含答案)
完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。
因此，前项和为。
⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。
8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。
1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。
2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。
考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。
答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。
解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。
2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。
根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。
高考数学专题训练：数列大题50题(含答案和解析)
1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1.研究通项的性质例题1.已知数列{a }满足nn1a 11,a3a 1(n2).nn（1）求a 2,a 3；a nn 31 2（2）证明： .解：（1） 2a 11,a 2314,a 33413.（2）证明：由已知 n1 a n a ，故()()()n122113a n a n a n1a n a n aa 13a n a n a n1a n a n aa n1221a 1 n1n2 3331 n 31 2 ，所以证得 a nn312.例题2.数列a n 的前n项和记为S ,a1,a2S1(n1) n1n1n（Ⅰ）求a n 的通项公式；（Ⅱ）等差数列b n 的各项为正，其前n项和为T ，且 nT 315，又a 1b 1,2a 2b 3,a 3b成等比数列，求T n .解：（Ⅰ）由a n12S n 1可得a n 2S n11(n2)， 两式相减得：a n1a n 2a n ,a n13a n (n2)， 又a 22S 113∴a 23a 1故a 是首项为1，公比为3的等比数列 n∴ a nn 31 （Ⅱ）设b n 的公比为d ，由T 得，可得b 1b 2b 315，可得b 25 315故可设b 15d,b 35d ，又a aa ， 11,23,39由题意可得 2(5d1)(5d9)(53)，解得 d 12,d 210 ∵等差数列b n 的各项为正，∴d0∴d2∴n(n1)2T3n2n2n n2例题3.已知数列a n 的前三项与数列 b 的前三项对应相同，且 n2a 12a 22a 3...n12a8n 对任意的nn 都成立，数列b n b n N * 1是等差数列.⑴求数列a n 与b 的通项公式； n⑵是否存在k N ，使得ba(0,1)，请说明理由.kk点拨：（1）2n1aaaan左边相当于是数列12223 (28)nn21an前n项和的形式，可以联想到已知S n求a的方法，当n2时，nS Sa.nn1n -1-（2）把b k a k 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究b 的取值情况. kak解：（1）已知 2a 12a 22a 3,n 2 1 a 8n(nN*）① nn2时， 2a 12a 22a 3,n2 28(1)an(nN*）② n1 ①－②得， n1 2a8，求得 n 4n a2，n在①中令n1，可得得 41a 182，所以4n a2(n N*）.n 由题意b 18，b 24，b 32，所以b 2b 14，b 3b 22， ∴数列{b n1b n }的公差为2(4)2， ∴b n1b n 4(n1)22n6，bb 1(b 2b 1)(b 3b 2)(bb 1)nnn(4)(2)(2n8)n 27n14(nN*）.（2）b k a k2714 kk4 2k ，当k4时，77 2f(k)(k) 244 2k 单调递增，且f(4)1，所以k4时， 2f(k)k7k1424k 1， 又f(1)f(2)f(3)0，所以，不存在kN*，使得b k a k (0,1).例题4.设各项均为正数的数列{a n }和{bn}满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1 成等比数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n ，b n解：依题意得： 2bn+1=an+1+an+2① 2a n+1=b n b n+1②∵a n 、b n 为正数，由②得11,212a ，nbbabbnnnnn代入①并同除以b n1得： 2b n b n b n 12 ， ∴{b}为等差数列n9 2 a 2bb,则b 212∵b 1=2，a2=3，2，92(n1)b n 2(n1)(2)(n1),b n ∴2222 ，n(n abb nnn1∴当n ≥2时，21)，1)n(nan又a1=1，当n=1时成立，∴2质2.研究前n项和的性例题5.已知等比数列{a}的前n项和为2nnnSab，且a13.-2-（1）求a 、b 的值及数列{a }的通项公式； n（2）设 bn n a ，求数列{b }的前n 项和nnT . nn111解：（1）n2时，aSS 12a .而{a }为等比数列，得a 12aa ，nnnn又a3，得a3，从而 1n1 a.又 32 na 12ab3,b3.（2） nn b nn1 a ，32n123n T(1)n n21322211123n1n T( n23n1n 2322222 ），得 11111n T(1) n2n1n 232222，1 1(1) 2[2]4(11)nnnT n nnn113123222. 例题6.数列{a }是首项为1000，公比为n110的等比数列，数列{b} n 满足1 b(lgalgalga)k12kk* (k N )， （1）求数列{b n }的前n项和的最大值；（2）求数列{|b n |}的前n 项和S n .解：（1）由题意：4n a10，∴lg4an ，∴数列{lga}是首项为3，公差为1nnn的等差数列，∴lgalgalga3k 12kk (k1) 2，∴ 1n(n1)7n b[3n] nn22b nb 由1n 0 0 ，得6n7，∴数列{b} n 的前n项和的最大值为SS 6721 2 .（2）由（1）当n7时，b0，当n7时，b0，nn∴当n7时， 当n7时，7n 311322Sbbb()nnn n12n244Sbbbbbb n12789n1132 2S(bbb)nn21712n44S n1132nn(n7) 441132nn21(n7) 44∴.例题7.已知递增的等比数列{a n}满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项.（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若b aa，lognn1n2 S bbb求使n12n-3-Sn 成立的n 的最小值.230 n1n解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由 1 a 1q+a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q+a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q=2或a 1=32，q=2+a 1q 3=28，a 1q+a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q=2或a 1=32，q=2（舍） （n －1） ∴a n =2·2=2n（2）∵n balogan2 nn1n 22+3·23+⋯+n ·2n ） ，∴S n =－（1·2+2·2 2+2·23+⋯+n ·2n+1），∴S n =2+22+23+⋯+2n －n ·2n+1=－（n －1）·2n+1－2，∴2S n =－（1·2 若S n +n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8.已知数列{a }的前n 项和为Sn，且1,S,a 1成等差数列，nnn*n N ,a 1.函数1fxx.()log3（I ）求数列{a }的通项公式；nbn （II ）设数列{b }满足n1 (n3)[f(a)2]，记数列{} b 的前n 项和为Tn，试比较nnT 与n 52n5 12312的大小. 解：（I ）1,S n ,a n1成等差数列，2S n a n 11①当n2时，2S n1a n 1②.①－②得：2(S n S n1)a n 1a n ，3a n a 1， n a n13.an当n=1时，由①得2S 12a 1a 21，又 a 11,a 2 a2 3,3, a 1{a n }是以1为首项3为公比的等比数列， a n n1 3. （II ）∵fxlog 3x ， n1f(a)logalog3n1，n3n3b n11111 ()(3)[()2](1)(3)213 nfannnn ，nT n 1111111111111 ()224354657nn2n1n3 11111 ()223n2n352n5122(n2)(n3),T 与n 比较52n5 12312 的大小，只需比较2(n2)(n3)与312的大小即可.22又2(n2)(n3)3122(n5n6156)2(n5n150)2(n15)(n10)∵n N∴当*,*,*1n9且n N时，52n52(n2)(n3)312,即T;n12312当n10时，52n5 2(n2)(n3)312,即T;n12312当*n10且n N时，2(n2)(n3)312,即Tn52n512312 .3.研究生成数列的性质-4-例题9.（I ）已知数列c n ，其中nn c23，且数列c n1pc n 为等比数列，求常数 np ；（II ）设a n 、b n 是公比不相等的两个等比数列，c n a n b n ，证明数列c n 不是 等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n+1－pc n }是等比数列，故有（c n+1－pc n ） 2=（c n+2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n＋3n代入上式，得n ＋1n ＋1－p （2n＋3n ）]2[2+3n ＋2+3n ＋2－p （2n+1＋3n+1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，=[2n+（3－p ）3n ]2即[（2－p ）2n+1n+1n －1n －1=[（2－p ）2+（3－p ）3][（2－p ）2+（3－p ）3]，1整理得6n n=0，（2－p ）（3－p ）·2·3解得p=2或p=3. （Ⅱ）设{a n }、{bn}的公比分别为p 、q ，p ≠q ，cn=an+bn.为证{c n }不是等比数列只需证 2 c ≠c1·c 3. 2事实上， 2 c=（a 1p ＋b 1q ） 2 2= 2 a p 1 2＋ 2 b q1b 1pq ，1 2＋2a22 a p b q 2＋b 1q 2）=2＋2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.c1·c3=（a 1＋b 1）（a 1p11 由于p ≠q ，p2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此 2 cc1·c 3，故{c n }不是等比数列.2例题10.n2（n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成13 a 42,a43等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，816求S=a 11+a 22+a 33+,+a nn解：设数列{a 1k }的公差为d ，数列{a }（i=1，2，3，,，n ）的公比为q ik则a 1k =ak －111+（k －1）d ，a kk =[a 11+（k －1）d]qa 24 (a 11 3d)q1a 42 (a 11d)q 3 1 833a(a 2d)q4311依题意得：16 又n 2个数都是正数，1k1，解得：a 11=d=q=±2∴a 11=d=q=2 ，∴a kk =k 2S1 22 1 22 3 1 3 2 n1 2 n，1 2S 11123n 22 342221n1，-5-两式相减得：S21 n2 1 n n 2例题11.已知函数f(x)log 3(axb)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记f(n)*a3,n N. n（1）求数列{a }的通项公式；n（2）设anb,nTbbb2，若Tm(mZ ) nn12nn ，求m的最小值；（3）求使不等式 (1 111 )(1)(1)p2n1aa n 对一切nN*均成立的最大a 12实数p.log(2ab)1a23解：（1）由题意得log(5)2 ab 3，解得b1， f(x)log 3(2x1) a n log(2n1)21,33nnN *b n 2n n 21 ，T n1 123 2 25 3 2 2n n 2 1 3 2n n 21 （2）由（1）得 ①1 2 T n132n52n32n2n2n3n122221 1②①－②得1 2 T n1 12 2 2 2 23 2 2 n 2 1 2 n 2 2n n 2 1 1 1 1 2 ( 1 1 2 1 2 2 1 n 2 2 1 n 2 1 ) 2n13 1 22n n1n1n 2221 1 . T n 3 1 n2 22n 2 n1 3 2n n23 ，设 f2n3 (n),n N n2 *，则由2n5f 得(n1)12n1n51 2 2n3f(n)2(2n3)22nn3 1 2 1 512 2n3*f(n),n Nn 随n 的增大而减小2当时，T3又T n m(mZ )恒成立，3mnnminp 1 2n 1 (1 1 a 1 )(1 1 a 2 ) (1 1 a n ) 对 n N*（3）由题意得恒成立F(n) 1 2n 1 (1 111)(1)(1a 1aa n2)，则记-6-F(n1) 1 2n3(1 1 a 1 )(1 1 a 2 ) (1 1 a n )(1 1 a n 1)F (n) 1 2n 1(1 1 a 1 )(1 1 a 2 ) (1 1 a n)(2n2n2 1)(2n 3) 4(n 2(n 2 1) 1) (n 1) 2 2n n 1 1 1F 即是随n 的增大而增大(n)0,F(n1)F(n),F(n)F 的最小值为 (n)F(1) 23 3 ， p 23 3 ，即 p max 23 3 . （二）证明等差与等比数列 1.转化为等差等比数列.a 中，a 18,a2且满足例题12.数列{}n4a n22a 1a ， nn*n N .⑴求数列{a n }的通项公式；⑵设S n |a||a||a|，求12nS ； n1⑶设b n =n (12a) n **(n N ),Tbbb(n N )，是否存在最大的整数m ，使得n12n对任意 m n ，均有T n 32N * 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，a n2a n a n a n ，{a }为等差数列，设公差为d ，11n由题意得283dd2，a82(n1)102n.n（2）若102n0则n5，5,||||||n 时S n aaa12n8102n2aaan9nn, 12n2n 时，S n aaaaaa n6125672S 5(S n S 5)2S 5S n n9n402 9nn n5nS 2故n9n40n6（3）bn11111()nannnn，(12)2(1)21nT n 1111111111[(1)()()()()]222334n1nnn1n.2(n1)mTn 若32 对任意nm*n N成立，即116n对任意*n N成立，1n*(n N)n的最小值是2 1 ，m1162,m的最大整数值是7.即存在最大整数m7,使对任意*n N，均有Tnm.32 a例题13.已知等比数列{b n}与数列{a n}满足3,bn N*.nn-7-（1）判断{a}是何种数列，并给出证明；n（2）若a8a13m,求b1b2b20.aa1n。
高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学数列经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共15小题，每题2分，共30分）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-12．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-39．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．9910．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．52212．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．17．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．18．数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．第Ⅱ卷（非选择题）三．简答题（共5小题,50分）26．（10分）已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．27．（8分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．28．（7分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．29．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．30．（12分）在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．参考答案一．单选题（共__小题）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-1答案：C解析：解：∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==，故选C．2．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-答案：C解析：解：∵{a n}为等比数列a5•a11=3，∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3∴q10=或3，∴=或3，故选C．3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．答案：A解析：解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．答案：D解析：解：∵数列{a n}是等差数列，a1=1，a3=4，∴a3=a1+2d，即4=1+2d，解得d=．故选：D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）A．12B．13C．14D．15答案：A解析：解：令a n=＜0，解得n≤6，当n＞7时，a n＞0，且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0，所以S12=0，S13＞0，即使S n≥0的最小正整数n=12．故选A．6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列答案：A解析：解：∵S n=2n2-2n，则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2（n-1）2-2（n-1）]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A．7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．答案：C解析：解：当n=1时，a1=S1=21-1=1，当n≥2时，a n=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2•2n-1-2n-1=2n-1，对n=1也适合∴a n=2n-1，∴数列{a n}是等比数列，此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1，公比为4．∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-3答案：C解析：解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．9．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．99答案：A解析：解：当n为奇数时，a n+2-a n=1+（-1）n=0，可得a1=a3=…=a59=2．当n为偶数时，a n+2-a n=1+（-1）n=2，∴数列{a2n}为等差数列，首项为2，公差为2，∴a2+a4+…+a60=30×2+=930．∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30×2+930=990．故选：A．10．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列答案：A解析：解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2（n-1）∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．522答案：B解析：解：由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4（a n-1+1），故可得=4，由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1，公比为4的等比数列，故可得a5+1=44=256，故a5=255故选B12．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵a n•b n=1∴b n==∴s10==（-）+=-=故选项为B．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）A．20B．18C．10D．8答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=8，a3-a1=16，∴，解得，∴=2×32=18．故选：B．14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．答案：C解析：解：∵a4=2S3+3，a5=2S4+3，即2S4=a5-3，2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-（a4-3）=a5-a4=2a4，即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3，故选C15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项答案：D解析：解：由题意得=，∵n是正整数，∴=当且仅当时取等号，此时，∵当n=9时，=19；当n=9时，=19，则当n=9或10时，取到最小值是19，而取到最大值．故选D．二．填空题（共__小题）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．答案：-40解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，∵a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=a1+a2+a3+9d，∴-4=8+9d，解得d=-，∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40，故答案为：-4017．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．答案：8解析：解：由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=（a3+a11）+a7+（a5+a9）=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为：818．（2015秋•岳阳校级月考）数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．答案：2n+n2-1解析：解：数列a n的前n项和S n=（2+22+23+…+2n）+[1+3+5+…+（2n-1）]=+=2n-1+n2．故答案为：2n-1+n2．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．答案：2n-1解析：解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n-1=2n，则a n=2n-1．故答案为：2n-1．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．答案：3解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以==．故答案为3．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．答案：1023解析：解：由题意，两边同加1得：a n+1+1=2（a n+1），∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023．故答案为：1023．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．答案：解析：解：由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-（与正项等比数列矛盾，舍去）．故答案为：23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．答案：2n+1-1解析：解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-1．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．答案：=5解析：解：等差数列{a n}中，∵a3+2a8+a9=20，∴（a1+2d）+2（a1+7d）+（a1+8d）=4a1+24d=4（a1+6d）=4a7=20，∴a7=5．故答案为：5．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．答案：解析：解：由题设条件知a1+a1q=a1q2，∵a1＞0，∴q2-q-1=0解得，∵数列{a n}为正项等比数列，∴．故答案：．三．简答题（共__小题）26．已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．答案：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．解析：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．28．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．解析：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．29．已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．答案：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）解析：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）30．在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．答案：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．解析：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．。
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数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。
答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。
4 . ()n f pa a n n +=+1(1） 。
n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1nn n a pa rq +=+，其中p ，q, r 均为常数）（2）b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 5。
递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s,t 满足⎩⎨⎧-==+q st pt s6、 递推公式为n S 与n a 的关系式.（或()n n S f a =）7、rn n pa a =+1)0,0(>>n a p8。
)()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 9。
q pn a a n n +=++1或nn n pq a a =⋅+1 10.双数列型数列知识点————求和问题一、掌握数列求和的常见方法:1.公式法求和：（1）等差数列 11()(1);22n n n a a n n S na d +-==+(2)等比数列 11111111 .() n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2。
错位相减法:主要用于求数列{}n n a b 的前n 项和,其中{}n a 、{}n b 中一个为等差数列,另一个为等比数列.3.裂项相消法：一般适用于通项为11n n a a +的前n 项和，其中{}n a 为等差数列.常见的裂项技巧有：1111(1)()(()11111(3)()(21)(21)221211111(4)(1)(2)2(1)(1)(2)k n n k k n n kk n n n n n n n n n n n =-++=-=--+-+⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦其中为整数）4。
倒序相加法：5.分类相加法:将数列适当拆分,重新组合,变成几个可以求和的部分再分别求和。
6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固 例1.求和：21111(1)(11)(4)(7)(32)n n a a a-++++++++- 22222(2)sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒+︒+︒++︒+︒解:13131(1)11212-n n +)n a -a n -)n a =;a ,+a -≠（（时，时89(2)2例2．求和S n ＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!。
解：S n ＝2错误!＝错误!＋2n －2.例3．（08安徽卷）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
解：（Ⅰ）n a n =。
(Ⅱ)12(1),12(1),11(1)n n n n n p T p p np p p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩例4．在数列｛a n }中,a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n 错误!。
(1）求S n 的表达式;（2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n ｝的前n 项和T n 。
解 (1) S n ＝错误!。
（2） T n ＝错误!错误!＝错误!.例5．正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，满足2210n n n a a S -+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记1n nb S =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：1)n T >解：（1）n a =n N +∈）数列知识点--—-数列的单调性例1、已知函数()2)f x x =<-．（1）求()f x 的反函数1()f x -；(2）设11,a =)(111n n a f a -+-= （n ∈N *),求n a ；（3）设22212n n S a a a =+++，21n n n b S S +=-否存在最小正整数m ，使得对任意n ∈N *，有25n mb <成立？若存在，求出m 的值;若不存在，说明理由．例2、．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+,*n ∈N ． （Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ)13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(Ⅱ）所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．例3．设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-；（2)假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.解： a 0的取值范围为).31,0(数列知识点--—-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012·南昌模拟）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＊，点(n ，S n ）均在函数y ＝b x ＋r （b ＞0且b ≠1，b ,r 均为常数）的图象上． （1)求r 的值；(2）当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *），求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。
解：（1）r ＝－1.(2)∴T n ＝错误!－错误!－错误!＝错误!－错误!。
练1 （2011·福建)已知等比数列｛a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝错误!. (1）求数列｛a n }的通项公式；（2)若函数f （x ）＝A sin(2x ＋φ）（A ＞0，0＜φ＜π）在x ＝错误!处取得最大值,且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 （1） a n ＝13×3n －1＝3n －2。
(2)函数f (x ）的解析式为f (x )＝3sin 错误!.二、数列与不等式的综合应用例2、设数列{a n }的前n 项和S n ,=34a n -31⨯2n+1+32,n=1,2，3,…。
（I)求首项a 1与通项a n ;(II)设T n =nnS 2, n=1,2，3，…..,证明：231<∑=i n i T解：（Ⅰ）,24nn n a -= n=1,2，3，…，练2在数列||n a ,||n b 中，a 1=2,b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列(n ∈*N ）(Ⅰ)求a 2,a 3,a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 解:（Ⅰ）2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．练3.数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足(Ⅰ）求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，解 （Ⅰ）{}n a 的通项公式为*2*21,21(N ,22,2(N .n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交于曲线y=e x 于点Q 1(0,1），曲线在Q 1点处的切线与x 轴交与点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1,Q I ；P 2,Q 2…P n ，Q n ，记k P 点的坐标为(k x ，0）(k=1，2，…,n ）。
(Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤n ）;（Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++ 解（Ⅰ）11(2)k k x x k n -=-≤≤.( Ⅱ)112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++11111n ne e e e e -----==--四、数列与三角交汇例4（2011·安徽) 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，n ≥1. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan +⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S 。