高中数列经典习题(含答案)讲解学习

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高中数列经典习题(含

答案)

1、在等差数列{a n }中,a 1=-250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和,

(1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除.

2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12>0,S 13<0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围; (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由.

3、数列{n a }是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负的,回答下列各问:(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值.

4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S .

5、已知数列{n a }的前n 项和3

1=n S n(n +1)(n +2),试求数列{n a 1}的前n 项和.

6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设

2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答:(1)求所有这些方程的公共根;

(2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1

1+n m ,…也成等差数列.

7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,

当a 1=2时,试求c 100的值.

8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.

9、有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列, n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log 2x n }的第m 项等于n ,第n 项等于m(其中m ≠n),求数列{x n }的前m +n 项的和。

11、设{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,且a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2b 4=a 3分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.

12、已知等差数列{a n }的前项和为S n ,且S 13>S 6>S 14,a 2=24.

(1)求公差d 的取值范围;(2)问数列{S n }是否成存在最大项,若存在求,出最大时的n ,若不存在,请说明理由.

13、设首项为正数的等比数列,它的前n 项和为80,前2n 项的为6560,且前n 项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比.

14、设正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且存在正数t ,使得对所有正整数n ,t 与a n 的等差中项和t 与S n 的等比中项相等,求证数列{n S }为等差数列,并求{a n }通项公式及前n 项和.

15、已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,数列{}n b a 是公比为q 的等比数

列,且.17,5,1321===b b b

①求q 的值;

②求数列{}n b 前n 项和.

16、 若a 、b 、c 成等差数列,且a +1、b 、c 与a 、b 、c +2都成等比数列,求b 的值.

答案:

1、 解: a 1=-250, d=2, a n =-250+2(n -1)=2n -252

同时满足70≤n ≤200, n 能被7整除的a n 构成一个新的等差数列{b n }.

b 1=a 70=-112, b 2=a 77=-98,…, b n ′=a 196=140

其公差d ′=-98-(-112)=14. 由140=-112+(n ′-1)14, 解得n ′=19

∴{b n }的前19项之和266142

1819)112(19=??+

-?=S . 2、解: (Ⅰ)依题意,有 02)112(1212112>?-?+=d a S 02)113(1313113+)2(06)1(01121

1

d a d a 由a 3=12,得 a 1=12-2d (3)

将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ???<+>+0

30724d d ,∴3724-<<-d . (Ⅱ)由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13.

因此,若在1≤n ≤12中存在自然数n,使得a n >0,a n+1<0,则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值. 由于 S 12=6(a 6+a 7)>0, S 13=13a 7<0,即 a 6+a 7>0, a 7<0.

由此得 a 6>-a 7>0.因为a 6>0, a 7<0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大.

3、 (1)由a 6=23+5d >0和a 7=23+6d <0,得公差d=-4.(2)由a 6>0,a 7<0,∴S 6最大, S 6=8.(3)由a 1=23,d=-4,则n S =2

1n(50-4n),设n S >0,得n <12.5,整数n 的最大值为12. 4、∵a 1=3, ∴S 1=a 1=3.在S n+1+S n =2a n+1中,设n=1,有S 2+S 1=2a 2.而S 2=a 1+a 2.即a 1+a 2+a 1=2a 2.∴a 2=6. 由S n+1+S n =2a n+1,......(1) S n+2+S n+1=2a n+2, (2)

(2)-(1),得S n+2-S n+1=2a n+2-2a n+1,∴a n+1+a n+2=2a n+2-2a n+1

即 a n+2=3a n+1

此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.a n 的通项公式a n =???≥?=-.2,32,

1,31时当时当n n n

此数列的前n 项和为S n =3+2×3+2×32+…+2×3n – 1=3+1

3)13(321--?-n =3n . 5、n a =n S -1-n S =31n(n +1)(n +2)-31(n -1)n(n +1)=n(n +1).当n=1时,a 1=2,S 1=31×1×(1+1)×(2+1)=2,∴a 1= S 1.则n a =n(n +1)是此数列的通项公式。∴

)111()3121()211()1(143132*********+-++-+-=+++?+?+?=++n n n n a a a n ΛΛΛ=1-11+n =1

+n n .

6、 (1)设公共根为p,则02212=++++i i i a p a p a ①023221=+++++i i i a p a p a ②则②-① ,

得dp 2+2dp+d=0,d ≠0为公差,∴(p +1)2=0.∴p=-1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为-1).(2)另一个根为i m ,则i m +(-1)=i i i a d a a 2221--=-+.∴i m +1=i a d 2- 即d a m i i 211-=+,易于证明{11+i m }是以-2

1为公差的等差数列. 7、解由根与系数关系, n a +1+n a =-3n,则(1+n a +2+n a )-(n a +1+n a )=-3,即2+n a -n a =-

3.∴a 1,a 3,a 5…和a 2,a 4,a 6…都是公差为-3的等差数列,由a 1=2,a 1+a 2=-3,∴a 2=-5.则k a 2=-3k -2,∴a 100=-152, 12-k a =-3k +5,∴a 101=-148,∴c 100= a 100? a 101=22496

8、设首项分别为a 和b,公比q 和r. 则有1,1??r q .依据题设条件,有q a -1=1,① r b -1=2,② ()121--=n n br aq ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1-q)222-n q =2(1-r)1-n r .令n=1,有(1-q)2=2(1-r),④设n=2.则有(1-q)2q 2=2(1-r)r,⑤ 由④和⑤,可得q 2=r,代入④ 得(1-q)2=2(1-q 2).由于

q ≠1,∴有q=31-,r =91.因此可得a=1-q=34,b=2(1-r)=9

16. ∴?????-==3134q a 和?????==91916r b 经检验,满足n n b a =2的要求. 9、依据题设条件,有?????=+=+++1

11)(21n n n n n n b b a a a b 由此可得)(2

111+-+=n n n n n b b b b b =)(2111+-+n n n b b b .∵n b >0,则211+-+=n n n b b b 。∴{n b }是等差数列.∴n b =2

)1(2

+n . 又 ?==-2212n b b a n n n 2)1(2+n =22)1(??

????+n n ,∴n a =)1(21+n n 10、2m+n -1

11、解:设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则:

???=+=+4221)21(2q

d q d 解得:22,83±=-=q d ∴32

)22(3111,855451010110110±=--=-=+=q q b T d a S

12、解:(1)由题意:

???<+=+++=->=+++=-0)(40711101487614101387613a a a a a S S a a a a S S ΛΛ∴)1748,3(0

1720822--∈????<+>+d d a d a (2)由(1)知,a 10>0,a 10+a 11<0,∴a 10>0>a 11,又公差小于零,数列{a n }递减,

所以{a n }的前10项为正,从第11项起为负,加完正项达最大值。 ∴n =10时,S n 最大。

13、解:设该等比数列为{a n },且公比为q

若q =1,则S n =na 1,S 2n =2na 1,与题意不符,故q ≠1。

???

????=--==--=65601180112121q q a S q q a S n n n

n 两式相除,得1+q n =82,q n =81,∴111=-q a q =a 1+1>1,数列{a n }为递增数列,前n 项中最大的项为a n =a 1q n -

1=54811=?q

a 解得:a 1=2,q =3

14、证明:由题意:n n tS a t =+2即n n a t tS +=2 当n =1时,t S t S S t a t tS ==-∴+=+=121111,0)(,2

当n ≥2时,0)()(22121=--∴-+=+=--n n n n n n S t S S S t a t tS

0))((11=---+--t S S t S S n n n n 。

因为{a n }为正项数列,故S n 递增,0)(1=-+-t S S n n 不能对正整数n 恒成立, ∴t S S n n =--1即数列{n S }为等差数列。公差为t

21,)1(tn S t n t n S S n n =∴=-+=,t n a nt tS t a n n n )12(,22-=∴==+ 所以数列{n S }为等差数列,{a n }通项公式为a n =(2n -1)t 及前n 项和S n =tn 2。

15、①3②13--n n

16、设a 、b 、c 分别为b -d 、b 、b +d ,由已知b -d +1、b 、b +d 与b -d 、b 、b +d +2都成等比数列,有

b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22-++①-++②?????

整理,得

b =b d b d b =b d 2b 2d

222222-++-+-????? ∴b +d=2b -2d 即b=3d

代入①,得

9d 2=(3d -d +1)(3d +d)

9d 2=(2d +1)·4d

解之,得d=4或d=0(舍) ∴b=12

高中数学数列基础知识与典型例题

数学基础知识例题

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时,111==S a ,当2n ≥时,34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解:∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解:1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解:)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 , 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时,()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解:14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解:∵5a 是2a 与8a 的等比中项,∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解:12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一:设首项为1a ,公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二:??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解:∵109181a a a a =,∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析: 法一:利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1,公差为d ,则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二:{a n }为等差数列,设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得:12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-,下略 注:法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解:设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①: a a q 24+=代入②得:2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析: ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列

数列常见题型总结经典(超级经典)

数列常见题型总结经典(超 级经典) -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1.前n 项和法(知n S 求n a )???-=-11n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ,求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足22n S T n n -=, 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型(累加法) (1)若f(n)为常数,即:d a a n n =-+1,此时数列为等差数列,则n a =d n a )1(1-+. (2)若f(n)为n 的函数时,用累加法.

例 1. 已知数列{a n }满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =+型(累乘法) (1)当f(n)为常数,即:q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =11-?n q a . (2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ,求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. {

、 ~

、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高中数列经典题型-大全教学教材

高中数列经典题型-大 全

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a : ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是:02532=+-x x 。 32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 13212+=++,求n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法:这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2()1(11n S S n S a n n n 与 例:已知数列{}n a 前n 项和2214-- -=n n n a S .(1)求1+n a 与n a 的关系;(2)求通项公 式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠,a 、p 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++,与已知递推式比较,解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例:设数列{}n a :)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ,求n a .

高中数学必修5 数列经典例题集锦

高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . (2)证明:由已知1 13--=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L , 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{ }n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{ }n b 的各项为正, 其前n 项和为n T ,且315T =,又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公比为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式, 可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=.

(完整版)数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D .189 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为 41的等差数列,则 |m -n |等于( ). A .1 B .43 C .21 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ). A .4 005 B .4 006 C .4 007 D .4 008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若 35a a =95,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D .2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则 212b a a 的值是( ). A .21 B .-21 C .-21或21 D .4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ).

数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)

数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =,n a =,n N *∈2≤n ≤8),则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列,并且112n n n n a a a a ---=,则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列,并且23 1n n a a -=,则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中,10a =,112n n a a += -,* N n ∈.

求证:11n a ?? ??-?? 是等差数列;并求数列{}n a 的通项公式; 5.已知数列{}n a 中,13a =,1222n n a a n +=-+,如果2n n b a n =-,求数列{}n a 的通项公式 (二)含有n S 的递推处理方法 1)知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式.

2.)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,2 (2)8 n n a S +=则,数列n a 3 4)1a +求数列a (三) 累加与累乘 (1)如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a

(2)已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(1 1≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式 (3) 1a = (4 (四)一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12 n n a a a -==+(2)n ≥,数列n a

2 .若数列{}n a 满足111 1,22 n n n a a a -==+ (2)n ≥,数列n a (1 (2 (六)求周期 16 (1) 121,41n n n a a a a ++==-,求数列2004a

高中数列经典习题(含答案)讲解学习

高中数列经典习题(含 答案)

1、在等差数列{a n }中,a 1=-250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12>0,S 13<0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围; (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负的,回答下列各问:(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n +1)(n +2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答:(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.

高中数列经典题型 大全

高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+2 11 ,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+, 其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++,求n a 。

精品高考数列经典大题

精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数,4352,,4a a a 成等差数列,且2322a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()25 2123n n n b a n n += ++,求数列{}n b 的前n 项和n S . 2.已知数列{}n a 满足:11a =,且对任意∈n N *都有 n a ++ += . (Ⅰ)求2a ,3a 的值; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; n n a a ++∈n N *). 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ (1)求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ (2)设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证:121+=+n n b b ; (3)求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4.设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n .(1)求数列}{n a 的通项公 式;(2)证明:对于一切正整数n ,121+≤+n n b a . 5: 已知数列{}n a 是等差数列,() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 (1)判断数列{}n c 是否是等差数列,并说明理由;(2)如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的 通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在,求出k 的取值范围;

等差数列经典试题(含答案) 百度文库

一、等差数列选择题 1.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103 B .107 C .109 D .105 2.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大21 2 ,则该数列的项数是( ) A .8 B .4 C .12 D .16 3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10- B .8 C .12 D .14 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45 B .50 C .60 D .80 5.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n - B .n C .21n - D .2n 6.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米 7.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10 B .9 C .8 D .7 8.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A . 4 7 B . 1629 C . 815 D . 45 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且 77b a =,则3810b b b =( ) A .1 B .8 C .4 D .2 10.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( ) A .9 B .12 C .15 D .18 11.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ?∈都有333 122n n n a a a ++=+,则10a 等于

数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列,,,则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案:B 解析:设的公差为. ∵,,∴两式相减,得,.∴,. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和,若,公差, ,则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的:考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案:D 解析:由得,,即,将, 代入,解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是( ) A.若,则数列有最大项 B.若数列有最大项,则 C.若数列是递增数列,则对任意,均有 D.若对任意,均有,则数列是递增数列 考查目的:考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案:C 解析:根据等差数列的前项和公式,可得,因为,所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时,该抛物线开口向下,所以这群孤立的点中一定有最高点,即数列有最大项;反之也成立,故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的,举出反例:等差数列-1,1,3,5,7,…满足数列是 递增数列,但.对于选项D的命题,由,得, 因为此式对任意都成立,当时,有;若,则,与矛盾,所以一定有,这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题

4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和,且,,则 . 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:81. 解析:设的公差为. 由,,得,. ∴,故. 5.(2008湖北理)已知函数,等差数列的公差为. 若 ,则 . 考查目的:考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质,考查运算求解能力. 答案:. 解析:∵是公差为的等差数列,∴,∴ ,∴,∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,,则 ____. 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:10. 解析:设等差数列前项和为. ∵,∴;∵ ,∴. ∴,故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为,且,求: ⑴的通项公式及前项和; ⑵. 考查目的:考查等差数列通项公式、前项和的基本应用,考查分析问题解决问题的能力. 答案:⑴;.⑵ 解析:设等差数列的公差为,依题意,得,解得. ⑴; ⑵由,得.

数列的概念经典试题(含答案) 百度文库

一、数列的概念选择题 1.若数列的前4项分别是 1111,,,2345 --,则此数列的一个通项公式为( ) A .1(1)n n -- B .(1)n n - C .1 (1)1 n n +-+ D .(1)1 n n -+ 2.已知数列{}n a 满足: 12a =,11 1n n a a +=-,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2017S =( ) A .1007 B .1008 C .1009.5 D .1010 3.已知数列{}n a 满足12a =,11 1n n a a +=-,则2018a =( ). A .2 B . 12 C .1- D .12 - 4.在数列{}n a 中,10a = ,1n a +,则2020a =( ) A .0 B .1 C .D 5.已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ,则该数列第2019项是( ) A . 1019892 B . 10 2019 2 C . 11 1989 2 D . 11 2019 2 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2 1n S n n =++,则{}n a 的通项公式是( ) A .2n a n = B .3,1 2,2n n a n n =?=? ≥? C .21n a n =+ D .3n a n = 7.在数列{}n a 中,11a =,对于任意自然数n ,都有12n n n a a n +=+?,则15a =( ) A .151422?+ B .141322?+ C .151423?+ D .151323?+ 8.数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是( ) A . 21n n + B . 23 n n + C . 23 n n - D . 21 n n - 9.在数列{}n a 中,11a =,20192019a =,且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+,则下列结论正确的是( ) A .存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a n ≤. B .存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a n ≥. C .对常数M ,一定存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a M ≤.

数列经典例题(裂项相消法)

数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型 1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A .100101 B .99101 C .99100 D .101 100 2.数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中, 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A .-10 B .-9 C .10 D .9 3.等比数列}{n a 的各项均为正数,且6 22 321 9,132a a a a a ==+. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和. 4.正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T . 5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1 2,4224 +==n n a a S S . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T . 6.已知等差数列}{n a 满足:26 ,7753 =+=a a a .}{n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;

高中一年级数学数列部分经典习题及答案

.数 列 一.数列的概念: (1)已知* 2()156n n a n N n = ∈+,则在数列{}n a 的最大项为__(答:125 ); (2)数列}{n a 的通项为1 += bn an a n ,其中 b a ,均为正数,则n a 与1+n a 的大小关系为__(答:n a <1+n a ); (3)已知数列{}n a 中,2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列,数λ的取值围(答:3λ>-); 二.等差数列的有关概念: 1.等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数)或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 设{}n a 是等差数列,求证:以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2.等差数列的通项:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 (1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a = (答:210n +); (2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值围是______(答: 8 33 d <≤) 3.等差数列的前n 和:1()2n n n a a S += ,1(1) 2 n n n S na d -=+ 。 (1)数列 {}n a 中,*11(2,)2n n a a n n N -=+ ≥∈,32n a =,前n 项和15 2 n S =-,求1a ,n (答:13a =-,10n =); (2)已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-,求数列{||}n a 的前n 项和n T (答: 2* 2* 12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??). 三.等差数列的性质: 1.当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且率为公差d ;前n 和 211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2.若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 3.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=. (1)等差数列{}n a 中,12318,3,1n n n n S a a a S --=++==,则n =____ (答:27) (2)在等差数列{}n a 中,10110,0a a <>,且1110||a a >,n S 是其前n 项和,则

高中数列经典题型大全

高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a

高中数学-数列经典例题(裂项相消法)(1)

数列裂项相消求和的典型题型 1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{ 1+n n a a 的前100项和为() A .100101 B .99101 C .99100 D .1011002.数列,) 1(1+= n n a n 其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中,直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为()A .-10B .-9C .10D .9 3.等比数列}{n a 的各项均为正数,且6223219,132a a a a a ==+. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{ n b 的前n 项和.4.正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ;(Ⅱ)令,)1(1n n a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T .5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且12,4224+==n n a a S S . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 11*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T .6.已知等差数列}{n a 满足:26,7753=+=a a a .}{n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令),(1 1*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T .7.在数列}{n a 中n n a n a a 211)11(2,1,+ ==+.(Ⅰ)求}{n a 的通项公式;(Ⅱ)令,2 11n n n a a b -=+求数列}{n b 的前n 项和n S ;

最新数列知识点大全及经典测试题

数列知识点回顾 第一部分:数列的基本概念 1.理解数列定义的四个要点 ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念. ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列. 2.数列的通项公式 一个数列{ a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系,如果用一个公式a n =)(n f 来表示,就把这个公式叫做数列{ a n }的通项公式。若给出数列{ a n }的通项公式,则这个数列是已知的。若数列{ a n } 的前n 项和记为S n ,则S n 与a n 的关系是:a n =???≥-=-2 .1,11n S S n S n n 。 第二部分:等差数列 1.等差数列定义的几个特点: ⑴公差是从第一项起,每一项减去它前一项的差(同一常数),即d = a n -a 1-n (n ≥2)或d = a 1+n -a n (n ∈N +). ⑵要证明一个数列是等差数列,必须对任意n ∈N +,a n -a 1-n = d (n ≥2)或d = a 1+n -a n 都成立.一般采用的形式为: ① 当n ≥2时,有a n -a 1-n = d (d 为常数). ②当n +∈N 时,有a 1+n -a n = d (d 为常数). ③当n ≥2时,有a 1+n -a n = a n -a 1-n 成立.

若判断数列{ a n }不是等差数列,只需有a 3-a 2≠a 2-a 1即可. 2.等差中项 若a 、A 、b 成等差数列,即A=2b a +,则A 是a 与b 的等差中项;若A=2 b a +,则a 、A 、 b 成等差数列,故A= 2 b a +是a 、A 、 b 成等差数列,的充要条件。由于a n =211-++n n a a ,所以,等差数列的 每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 3.等差数列的基本性质 ⑴公差为d 的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d . ⑵公差为d 的等差数列,各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列,其公差为kd . ⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列,则{ a n ±b n }与{ka n +b}(k 、b 为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何m 、n +∈N ,在等差数列{ a n }中有:a n = a m + (n -m)d ,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果l ,k ,p ,…,m ,n ,r ,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a n }为等差数列时,有:a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … . ⑹公差为d 的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k 为取出项数之差). ⑺如果{ a n }是等差数列,公差为d ,那么,a n ,a 1-n ,…,a 2、a 1也是等差数列,其公差为-d ;在等差数列{ a n }中,a l m +-a l = a k m +-a k = md .(其中m 、k 、l ∈+N ) ⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差d >0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d <0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d =0时,等差数列中的数等于一个常数. ⑽设a l ,a m ,a n 为等差数列中的三项,且a l 与a m ,a m 与a n 的项距差之比 n m m l --=λ(λ≠-1),

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