数列常见题型总结经典

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法１．前ｎ项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=,求数列|}{|n a 的前ｎ项和n T练习：１、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=,求该数列的通项公式。

答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。

答案：nn a 32⨯=3、设数列}{n a 的前ｎ项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式.4.n S 为{n a }的前n 项和，n S ＝3（n a －1）,求n a (n ∈N +） ５、设数列{}n a 满足2*12333()3n na a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式(作差法） 2。

形如)(1n f a a n n =-+型（累加法)（１）若f(ｎ）为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+。

（２)若ｆ(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，证明213-=n n a例2．已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.例３.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。

3。

形如)(1n f a a nn =+型(累乘法) （1）当f(ｎ)为常数,即：q a a nn =+1(其中q 是不为0的常数）,此数列为等比且n a =11-⋅n q a 。

(2)当f(n ）为n 的函数时，用累乘法． 例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式.答案:12+=n a n练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。

答案:)1(2+=n n a n２、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a an n 的通项公式。

4。

形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法)例１. 已知数列{}n a 中,21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习:１、若数列}{n a 中，11=a ，131+=+n n n a a a ，求通项公式n a 。

答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中,11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案:121-=n a n５.形如0(,1≠+=+c d ca a n n ，其中a a =1）型（构造新的等比数列）（1)若c=1时,数列｛n a }为等差数列；(2）若d ＝０时，数列{n a ｝为等比数列；(３)若01≠≠且d c 时，数列{n a ｝为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下:设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出Ａ例1．已知数列}{n a 中,,2121,211+==+n n a a a 求通项n a ． 练习：1、若数列}{n a 中,21=a ，121-=+n n a a ,求通项公式n a 。

答案:121+=-n n a2、若数列}{n a 中,11=a ，1321+=+n n a a ，求通项公式n a 。

答案：1)32(23-⨯-=n n a6。

形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列)(1)若b kn n f +=)(一次函数（ｋ，ｂ是常数,且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。

例题。

在数列{}n a 中,231=a ,3621-+=-n a a n n ,求通项n a 。

解：原递推式可化为b n k a b kn a n n+-+=++-)1()(21比较系数可得：ｋ=－6，b ＝9，上式即为12-=n n b b所以{}n b 是一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为21． 1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996⋅=+-，故96)21(9-+⋅=n a n n .练习:1、已知数列{}n a 中，31=a ,2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a（2）若nq n f =)(（其中q 是常数，且ｎ≠0,1）①若ｐ=１时，即：nn n q a a +=+1，累加即可②若1≠p 时,即：nn n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式.两边同除以1+n q 。

即：qq a q p q a n n n n 111+⋅=++, 令nnn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+。

然后转化为类型5来解, 例1． 在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--。

求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ,n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a .答案：121++=n n n a2、已知数列{}n a 中，11=a ,n n n a a 2331⋅+=+,求通项公式n a 。

答案：nn n a 23371⋅-⋅=-题型二 根据数列的性质求解（整体思想)１、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ; 2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ,则=55b a ．3、设n S 是等差数列{}n a 的前ｎ项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） 5、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=，则35a a +=__＿＿＿__。

6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ,602=n S ，则=n S 3 。

7、在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ) ８、在等比数列中,已知910(0)a a a a +=≠,1920a ab +=，则99100a a += ． 题型三：证明数列是等差或等比数列 A ）证明数列等差例1、已知数列{a n ｝的前n 项和为S ｎ，且满足a n +２S n ·S n －1=０（n ≥2)，ａ1=21.求证：｛n S 1｝是等差数列；Ｂ)证明数列等比例１、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； 题型四：求数列的前ｎ项和 基本方法：A ）公式法, Ｂ）分组求和法1、求数列n{223}n +-的前n 项和n S 。

2.)12()1(7531--+⋯++-+-=n S nn3.若数列｛ａｎ}的通项公式是a n ＝（－1)n·(３n —2），则a 1＋a 2+…+a １0=( ） A ．15 B ．12 Ｃ.-１2 Ｄ．—15 4.求数列1，２+21,3+41，4+81，…,121-+n n 5。

已知数列｛a n ｝是3＋2－1，6+2２－1，9+23—1,12＋2４－1,…，写出数列｛ａｎ｝的通项公式并求其前n 项和S ｎ.C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++;n n n n -+=++111；例1、求和:S =1+n++++++++++ 32113211211 例２、求和:nn +++++++++11341231121 。

D)倒序相加法,例、设221)(xx x f +=，求:).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ Ｅ）错位相减法，1、若数列{}n a 的通项nn n a 3)12(⋅-=,求此数列的前n 项和n S .2.21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑)题型五：数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中,492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n 。

例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值；例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S 。

已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ)设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ）若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围。

题型六：总结规律题 1． 已知数列{}n a 满足),2(525*11N n n a a a n n n ∈≥--=--，且{}n a 前2０1４项的和为4０３，则数列{}1+⋅n n a a 的前201４项的和为？2． 数列｛a ｎ｝满足a n ＋1+（－１）nａn ＝2n －１，则{ａn }的前６0项和为？ 常见练习1．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（ ）Ａ。

3 B ．2± Ｃ. Ｄ。

2 2、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A.342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ Ｂ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C.1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D.1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3．一个有限项的等差数列,前４项之和为４0，最后４项之和是8０，所有项之和是210,则此数列的项数为（ ) A.12 B.14 C.16 D ．18 4．｛a n }是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是( )A ．5B 。

6 C.７ Ｄ.８ 5。

若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（ ）A. ()3k k Z ππ±∈ B. 2()3k k Z ππ±∈ C. 22()3k k Z ππ±∈ D ．以上的答案均不对 6。