高中数列经典题型 大全
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。
(完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典)
数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
数列求通项经典题型
数列求通项经典题型
数列求通项公式的经典题型有：
1. 已知数列的前 n 项和为 S_n，求数列的通项公式。
2. 已知数列的前 n 项和 S_n 和数列的第 n 项 a_n 的关系，求数列的通项公式。
3. 已知数列的前 n 项和 S_n 和数列的递推关系式，求数列的通项公式。
4. 已知数列的递推关系式，求数列的通项公式。
5. 已知数列的递推关系式和数列的前 n 项和 S_n，求数列的通项公式。
6. 已知数列的递推关系式和数列的第n 项a_n 的性质，求数列的通项公式。
7. 已知数列的递推关系式和数列的前 n 项和 S_n 的性质，求数列的通项公式。
8. 已知数列的第 n 项 a_n 和其前 n 项和 S_n 的关系，求数列的通项公式。
9. 已知数列的第 n 项 a_n 和其前 n 项和 S_n 的关系以及数列的一些性质，求数列的通项公式。
10. 已知数列的第 n 项 a_n 和其前 n 项和 S_n 的关系以及数列的一些性质，求数列的通项公式。
高中数列经典例集(习题)
一、 经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b na +++=（n=1，2，3…）， （1）求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。
（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题 2.已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。
考点二：求数列的通项与求和 例题3..已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个…… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N n n a a a n nn n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2)12(sinπ-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ．考点三：数列与不等式的联系例题5.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b nb b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈例题7. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅. 考点四：数列与函数、向量等的联系 例题8.已知函数f(x)=52168xx+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1)写出2a 、3a 的值; (2)试比较n a 与54的大小，并说明理由； (3)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n－1)．例题9.在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6）的线上.,11a b a a -==（1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ；（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。
高考教学数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题汇总一、选择题1、无穷等比数列a n的公比为q，前n项和为S n，且limS n S.以下条件中，使得n2S n Sn N 恒成立的是〔〕〔A〕a1q〔B〕a10,q〔C〕a1q〔D〕a10,q 【答案】B2、等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，那么a100=〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97【答案】C3、定义“标准01数列〞{a}如下：{a}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，n na1,a2,,a k中0的个数不少于1的个数.假设m=4，那么不同的“标准01数列〞共有〔A〕18个〔B〕16个〔C〕14个〔D〕12个【答案】C4、如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且A n A n1A n1A n2,A n A n2,n N*，B n B n1B n1B n2,B n B n2,n N*，〔PQ表示点P Q与不重合〕.假设d n A n B n，S n为△A n B n B n1的面积，那么A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列D．{d n2}是等差数列【答案】A二、填空1、{a n}等差数列，S n其前n和，假设a16，a3a50，S6=_______..【答案】62、无数列a n由k个不同的数成，S n a n的前n和.假设任意n N，S n2,3，k的最大________.【答案】43、等比数列{an}足13=10，24，12鬃?a n的最大.a+a a+a=5aa【答案】644、数列{a n}的前n和S n.假设S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，a1=，S5=.【答案】1121三、解答1、数列A：a1，a2,⋯a N(N).如果小于n(2n N)的每个正整数k都有ak＜a n，称n是数列A的一个“G刻〞.“G(A)是数列A的所有“G刻〞成的集合.〔1〕数列A：-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素；〔2〕明：假设数列A中存在a n使得a n>a1，G(A)；〔3〕明：假设数列A足a-a1≤1〔n=2,3,⋯〕,NG(A)的元素个数不小于a-a.nn N1如果G i ，取m iminG i，那么对任何1k m i,a k a n i a m i.从而m i G(A)且m i n i1.又因为n p是G(A)中的最大元素，所以G p.2、数列a的前n项和S n=3n2+8n，b n n n1. n n是等差数列，且a b b〔Ⅰ〕求数列b n的通项公式；〔Ⅱ〕令c n (a n1)n1.求数列c n的前n项和T n.(b n2)n【解析】(Ⅰ)因为数列a n的前n项和S n3n28n，所以a111，当n2时，a n S n Sn13n28n3(n1)28(n1)6n5，又a n6n5对n1也成立，所以a n6n5．又因为b n是等差数列，设公差为d，那么a n b n bn12b n d．当n1时，2b111d；当n2时，2b217d，解得d3，所以数列b n的通项公式为b n a n d3n1．2(Ⅱ)由c n(a n1)n1(6n6)n1(3n3)2n1，(b n2)n(3n3)n于是T n6229231224(3n3)2n1，两边同乘以２，得2T n623924(3n)2n1(3n3)2n2，两式相减，得T n62232332432n1(3n3)2n2322322(12n)(3n3)2n212T n12322(12n)(3n3)2n23n2n2．3、假设无穷数列{a n}满足：只要a p a q(p,q N*)，必有a p1a q1，那么称{a n}具有性质P.〔1〕假设{a}具有性质P ，且a1,a2,a43,a2，a a a21，求a；n1256783〔2〕假设无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1c51，b5c181，a n b n c n判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；〔3〕设{b n}是无穷数列，a n1bn sina n(n N*).求证：“对任意a1,{a n}都具有性质P〞的充要条件为“{b n}是常数列〞.【解析】试题分析：〔1〕根据条件，得到a6a7a8a332，结合a6a7a821求解．〔2〕根据b n的公差为20，c n的公比为1，写出通项公式，从而可得3a nb nc n20n1935n．通过计算a1a582，a248，a6304，a2a6，即知a n不具有性质．3〔3〕从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：〔1〕因为a5a2，所以a6a3，a7a43，a8a52．于是a6a7a8a332，又因为a6a7a821，解得a316．〔2〕b n的公差为20，c n的公比为1，3n1所以b n 120n12019，c n8115n．n33a nb nc n20n1935n．a1a582，但a248，a6304a6，，a23所以a n不具有性质．〔3〕[证]充分性：当b n为常数列时，a n1b1sina n．对任意给定的a1，只要ap a，那么由b sinapb sina，必有a1aq1．q11q p充分性得证．必要性：用反证法证明．假设b n 不是常数列，那么存在k，使得b1b2b k b，而b k1b．下面证明存在满足a n1b n sina n的a n，使得a1a2a k1，但a k2a k1．设f x x sinx b，取m，使得m b，那么fm m b0，f m m b0，故存在c使得f c0．取a1c，因为a n1b sina n〔1n k〕，所以a2b sinc c a1，依此类推，得a1a2a k1c．但a b sina b sincb sinc，即a a．k2k1k1k1k2k1所以a n不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a 1，a n 都具有性质 〞的充要条件为“b n 是常数列〞．4、数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n1qS n1，其中q>0，nN *.〔I 〕假设2a 2,a 3,a 22 成等差数列，求a n 的通项公式；(ii)设双曲线x 2y21的离心率为e n ，且e 2 5 ，证明：e 1 e 2e n 4n3n.a n 233n1【答案】〔Ⅰ〕a n =q n-1；〔Ⅱ〕详见解析.解析：〔Ⅰ〕由， S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1, 两式相减得到a n+2=qa n+1,n?1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1，故a n+1=qa n 对所有n31都成立.所以，数列{a n }是首项为 1，公比为 q 的等比数列.从而a n =q n- 1 .由2a 2，a 3，a 2+2 成等比数列，可得 2a 3=3a 2+2 ，即2q 2=3q+2,，那么(2q+1)(q-2)=0，由,q>0，故q=2.所以a n =2n-1(n?N *).〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，a n =q n-1.2所以双曲线x 2-y2=1的离心率e n =1+a n2=1+q 2(n-1).a n由q=1+q 2=5解得q=4.332(k-1)>q2(k-1)1+q 2(k-1)>qk-1*因为1+q，所以〔k?N 〕.于是e 1+e 2 +鬃? e n >1+q+鬃?qn-1=q n-1，q-1故e 1+e 2+鬃?e 3>4n -3n.3n-15、a n 是各项均为正数的等差数列， 公差为d ，对任意的nN,b n 是a n 和a n1的等比中项.(Ⅰ)设c nb n 2 1 b n 2,nN * ，求证： c n 是等差数列；(Ⅱ)设a 1d,T n 2nnb n 2,nN *，求证：n11 2.1k1k1T k 2d【解析】⑴C n b n 1 2 b n 2 a n1a n2a n a n12da n1C n1C n2d(a na n1)2为定值．22d∴C n为等差数列2n1)k b k 2n(n1) 4d 2 nC 12d 2n(n1)〔*〕⑵T n(C 1C 3C2n 1nCk112由C 1b 22b 12 a 2a 3 a 1a 2 2d a 2 2d(a 1 d)4d 2将C 1 4d 2代入〔*〕式得T n21)2dn(nn 1 1n∴1T k 2d 2kk 11k(k 1)12，得证2d6、S n 为等差数列a n 的前n 项和，且a 1=1，S 7 28.记b n =lga n ，其中 x 表示不超过x 的最大整数，如=0，lg99=1．〔Ⅰ〕求b 1，b 11，b 101；〔Ⅱ〕求数列b n 的前1000项和．【解析】⑴设a n 的公差为d ，S 77a 428，∴a 4a 4 a 11，∴a n a 1 (n1)dn ．4，∴d3∴b 1 lga 1 lg10，b 11lga 11lg11 1，b 101 lga 101lg 1012．⑵ 记b n的前n 项和为T n ，那么T 1000 b 1 b 2b1000lga 1lga 2lga 1000 ．当0≤lga n 1时，n 1，2，，9；当1≤lga n2时，n 10，11，，99；当2≤lga n3时，n 100，101， ，999；当lga n3时，n1000．∴T1000091902900311893．7、数列{a n}的前n项和S n1a n，其中0．〔I〕证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；〔II〕假设S531，求．32【解析】8、设数列a na n11，n．满足a n2〔I〕证明：a n2n1a12，n；3n〔II〕假设a n，n，证明：a n2，n．2〔II〕任取n，由〔I〕知，对于任意m n，a n a m a n an1an1an2am1a m2n2m2n2n12n12n22m12m 1112n2n12m11，2n1故a n1a m2n2n12m113m2n 2n12m2m232n．4从而对于任意m n，均有高考教学数学数列题型专题汇总11 / 1111。
高考数列10大题型
高考数列10大题型
1. 等差数列求和问题：已知等差数列的首项和公差，求前n项的和。
2. 等差数列通项问题：已知等差数列的首项和公差，求第n项的值。
3. 等比数列求和问题：已知等比数列的首项和公比，求前n项的和。
4. 等比数列通项问题：已知等比数列的首项和公比，求第n项的值。
5. 递推数列求和问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求前n项的和。
6. 递推数列通项问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求第n项的值。
7. 斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n项的值。
8. 拆分数列：已知一个数列中的某一项满足特定条件，求拆分数列中满足条件的项数。
9. 数列特性问题：已知一个数列满足特定条件，求满足条件的项数或项的值。
10. 数列推理问题：已知一个数列的部分项或规律，推理出数列的通项式或递推关系。
高中数学数列试题精选以及详细答案
高中数学数列试题精选以及详细答案【例1】 求出下列各数列的一个通项公式(1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的通项公式为：．a =2n 12n n+1- (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为：a n n n n =-+22121()()． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为：a n n n n =-+()()112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为1242921622521，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所给数列的通项公式为．a =n n 22【例2】 求出下列各数列的一个通项公式．(1)2，0，2，0，2，…(2)10000，，，，，，，， (131517)(3)7，77，777，7777，77777，…(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1．所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ⎧⎨⎩(2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然1315171102130415061767 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2，02020，，，，，…的每一项的构成为，因此所给数列的通项公式为．1211211211()()-+=-+++n n n a n (3)7777777777777779所给数列，，，，，…可以改写成×，79 79797979797979797979×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n (4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写成×，×，×，×，×，…可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通式公式为．292929292929292929292911100.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a =n ()-n 说明1．用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来．2．对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，a n =n ；自然数的平方数列，a n ＝n 2；奇数数列，a n ＝2n －1；偶数数列，a n =2n ；倒数数列，＝要很熟悉，由联想将较复杂的数列通过合理的转化归a n 1n) 纳出数列的通项公式．3．要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列．【例3】 已知数列，，，，…则是这个数列的第25221125 几项．解 4a =3n 1n n 77n 由所给数列的前项，，，可归纳得通项公式为．此时运用方程的思想问题转化为解关于正整数的方程，解得＝，即是该数列的第项．252211253125-=-n 【例4】 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求数列的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n (2)S n ＝n 2＋1(3)S n ＝2n ＋3 (4)S n ＝(－1)n+1·n解 (1)当n=1时，a 1=S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1=(2n 2－3n)－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，因此a n =4n －5．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1=1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1=n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，由于a 1不适合于此等式，因此，≥且∈．a = 2 n =12n 1 n 2n N *n -⎧⎨⎩(3)当n ＝1时，a 1=S 1＝2＋3=5；当n ≥2时，a n =S n －S n-1＝2n ＋3－(2n-1＋3)＝2n-1，由于a 1不适合于此等式，因此，＝≥且∈．a 5 n =12 n 2n *n 1n N -⎧⎨⎩(4)当n ＝1时，a 1＝S 1=(－1)2·1=1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1=(－1)n+1·n －(－1)n ·(n －1)=(－1)n+1(2n －1)，由于a 1也适可于此等式，因此a n ＝(－1)n+1(2n －1)，n ∈N*．说明 已知S n 求a n 时，要先分n ＝1和n ≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一．【例5】 a =a 1n(n 1)(n 2)a 1n n 11已知＋≥，＝，-- (1)写出数列的前5项；(2)求a n ．解 (1)a =a (n 2)a =1a a n n 1123由已知＋≥，得＝·＝·--+-=+=+=1111221323213291653n n ()() a a 45＝·＝·53143531122112747415474120362095+=+==+=+== (2)由第(1)小题中前5项不难求出． a n n a n n n =-=-2121()或 【例6】 数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2．(1)求a 3＋a 5；(2)256225是此数列中的项吗？ 解 由已知：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2得a a a a a a a a a n n N a n n n n nn n ==--123123122212···……····……·≥，∈，≥．由于＝不适合于此等式．因此(*)()a 11 a = 1 n =1 n n 2n *n 2()n N -⎧⎨⎪⎩⎪12，≥且∈(1)a a =3(2)n =16n 16*16352＋令，解方程可得∵＝∈，∴是此数列的第项．2546116256225125622522222+==-n n N () 说明 (1)“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法．(2)运用方程思想求n ，若n ∈N*，则n 是此数列中的项，反之，则不是此数列中的项．【例7】 已知数a n =(a 2－1)(n 3－2n)(a=≠±1)是递增数列，试确定a 的取值范围．解法一 ∵数列{a n }是递增数列，∴a n+1＞a na n+1－a n ＝(a 2－1)[(n ＋1)3－2(n ＋1)]－(a 2－1)(n 3－2n)＝(a 2－1)[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n]＝(a 2－1)(3n 2＋3n －1)∵(a 2－1)(3n 2＋3n －1)＞0又∵n ∈N*，∴3n 2＋3n －1=3n(n ＋1)－1＞0∴a2－1＞0，解得a＜－1或a＞1．解法二∵{a n}是递增数列，∴a1＜a2即：(a2－1)(1－2)＜(a2－1)(8－4)化简得a2－1＞0∴a＜－1或a＞1说明本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+2
11
，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ，求n a 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1n n n a pa rq +=+,
其中p ，q, r 均为常数） 。
例:已知数列{}n a 中，65
1=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征
方程是：02532=+-x x 。
32,121=
=x x ,∴1
2
11--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨
⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)
2()
1(11n S S n S a n n n 与
例：已知数列{}n a 前n 项和2
214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公
式n a .
类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是
公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+2
11
，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ，求n a 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1n n n a pa rq +=+,
其中p ，q, r 均为常数） 。
例:已知数列{}n a 中，65
1=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征
方程是：02532=+-x x 。
32,121=
=x x ,∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨
⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()
1(11n S S n S a n n
n 与
例：已知数列{}n a 前n 项和2
2
14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公
式n a .
类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是
公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a。