函数极限的求法(正文).

目录 0.引言 .......................................................... 1 1.函数极限的定义 ................................................ 1 2. 一元函数极限的求法 ........................................... 3 2.1 利用函数极限定义求极限 .................................. 3 2.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限 ........................ 4 2.3 利用迫敛性求极限 ........................................ 4 2.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限 .................. 5 2.5 利用洛必达法则求解 ...................................... 6 2.6 利用函数的连续性质求解 .................................. 7 2.7 利用等价无穷小量代换求解 ................................ 8 2.8 利用导数的定义求解 ...................................... 8 2.9 利用泰勒公式求极限 ...................................... 9 2.10 利用微分中值定理求极限 ................................ 10 2.11 利用积分中值定理求极限 ................................ 10 2.12 利用瑕积分的极限等式求极限 ............................ 11 3. 二元及多元函数极限的解法 .................................... 11 3.1 利用二元函数的连续性求解 ............................... 12 3.2 利用极限的运算法则求解 ................................. 12 3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解 ........................... 12 3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解 ......... 13 3.5 利用恒等变形法求解 ..................................... 13 3.6 利用两个重要极限求解 ................................... 14 3.7 利用等价无穷小代换求解 ................................. 15 3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解 ....... 16 3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限 ....................... 16 3.10 利用极坐标变换求解 .................................... 17 3.11 利用二元函数的泰勒展式求解 ............................ 17 4. 总结 ........................................................ 18 致谢 ........................................................... 18 参考文献 ....................................................... 20 1

函数极限的求法 0.引言 极限描述了数列和函数在无限变化中的一种趋势，它体现了从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的数学思想。在数学分析和微积分学中，极限的概念占有重要的地位并以各种形式出现且贯穿全部的内容。极限理论又是研究连续，导数，积分，级数等的基本工具，是微积分的理论基础。极限的计算在解决许多实际问题中不可缺少。因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分学的关键一环。 对于如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是让绝大多数学生较为头痛的问题。我们如何在准确理解极限的概念、性质和极限存在条件的基础上，灵活巧妙的运用各种不同的方法解决有关极限的实际问题。本文针对一元函数和二元函数极限，对它们的求解方法进行了归纳总结。

1.函数极限的定义 定义1 设函数)(xf在),(0xUo(0x的空心邻域)内有定义,A为一个确定的常数, 若对任给的正数,总存在某一正数, 使得当00xx

时, 都有Axf)(, 记作:Axfxx)(lim0或)()(0xxAxf, 称)(xf当

0xx时以A为极限. 或简单地写成:

00lim()0,0x,0,().xxfxAxxfxA，使得当时总有

定义2 设函数)(xf在,00xU（或,00xU ）内有定义,A为定数, 若对任给的0, 存在正数, 使得当00xxx（或00xxx）时有Axf)(, 则称数A为函数)(xf当x趋于0x（或0x）时的右(左)极限. 2

记作: AxfAxfxx)(lim)(0和AxfAxfxx)(lim)(0, 或者记作: 0)(xxAxf和0)(xxAxf. 右极限与左极限统称为单侧极限。

定义3 设f为定义在2RD上的二元函数,0P为D的一个聚点,A是一个确定的实数。若对任意的正数0, 总存在某正数, 使得当DPUPo;

0时, 都有APf，则称f在D上当0PP时, 以A为

极限, 记作： APfDPPP0lim （1）

当0,PP分别用坐标00,,,yxyx表示时, 在不产生误解时, 1式也常写作： Ayxfyxyx,lim

00,, （2）

定义 4 设REEyx, , 0x是xE的聚点, 0y是yE的聚点, 二元函数f在集合yxEED上有定义, 若对每一个0,yyEyy, 存在极限yxfxExxx,lim

0



, 由于此极限一般与y有关, 因此记作

yxfyxExxx,lim0

而且进一步存在极限 yLyEyyy0lim 则称此极限为二元函数f先对0xx后对0yy的累次极限, 并记作： yxfLxyExxxEyyy,limlim00，

或简记作： 3

yxfLxxyy,limlim00.

类似地可以定义先对y后对x的累次极限: yxfKyyxx,limlim00.

2. 一元函数极限的求法 求一元函数极限使高等数学的基本运算之一，能够合理运用解决函数极限的方法至关重要。对求于函数极限问题，从不同的角度思考，从不同角度分析，能得出各种不同的方法。

2.1 利用函数极限定义求极限 利用函数极限的定义以及不等式证明方法,关键是找出和的函数表达式,满足函数极限定义中的要求。

例1 证明211lim21xxx. 分析：用"-"定义验证Axfxx)(lim0的过程，就是根据给出的找的过程，就是解不等式的过程。将Axf)(经适当的变化（如放大等）00()xx为为止（()表示仅与常数和有关的表达式），这里()

证明：这里,函数在点1x是没有定义的,但是函数当1x时的极限存在或不存在与它有没有定义并无关系。事实上, 0 ,不等式2112xx约

去非零因子1x后就化为121xx,因此只要取,那么当4

10x时,就有2112xx.

所以由函数极限定义知： 211lim21x

x

x.

2.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限 恒等变形通常是利用提取出因式约简分式, 分子或分母有理化及三角函数变换等。利用极限运算法则时则应特别注意法则的适用条件即各项极限存在且和, 积运算只能推广出有限项。

例2 求)cos1(sin1tan1lim0xxxxx. 分析：当0x时，分母1cos0xx，显然不能运用极限运算法则进行处理，但在0x的过程中，0x，所以在所求的极限公式中可约去不为零的公因式，在求解中所用的方法就是对分子、分母进行合理的因式分解，约去产生奇异的因子，从而达到化简求解的目的。

解：原式xxxxxxxsin1tan1)cos1()sin1(tan1lim0

)cos1(sincossinlimsin1tan11lim00xxxxxxxxx 21cos1limsinlim2100xxxxx. 2.3 利用迫敛性求极限 利用迫敛性求极限，就是利用所谓的夹逼定理，通过确定两端式子的极