求多元函数极限的方法
多元函数的泰勒公式与极限
多元函数的泰勒公式与极限多元函数的泰勒公式是数学中重要的概念，它与极限有密切关系。
在本文中，我们将介绍多元函数的泰勒公式以及其与极限的关联。
首先，让我们回顾一元函数的泰勒公式。
对于一元函数$f(x)$，其在$x=a$处的泰勒展开式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，以此类推。
泰勒公式可以将函数在$x=a$附近的值用无穷项级数展开，使我们能够近似计算函数在该点的值。
现在我们将泰勒公式推广到多元函数。
考虑一个二元函数$f(x,y)$，我们希望在点$(x=a,y=b)$处进行泰勒展开。
多元函数的泰勒公式可以表示为：$$f(x,y) = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b) + \frac{1}{2!} \left( \frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(a,b)(x-a)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 \right) + \cdots$$其中$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$表示函数$f(x,y)$在点$(x=a,y=b)$处对$x$的偏导数，$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$表示对$y$的偏导数，类似地，$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)$表示二阶偏导数，以此类推。
多元函数求极值
多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。
一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。
多元函数求极限
多元函数求极限多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。
有界函数放缩为固定值/常用不等式？去分母？例2.1：求极限: limx→0y→0sin(x2y+y4)x2+y2 .解：因为|sinx|⩽|x| ,因而有0≤|sin(x2y+y4)x2+y2|≤|x2y+y4x2+y2|≤x2x2+y2×|y|+y2x2+y2×y2≤|y|+y2→0例2.2：求极限limx→+∞y→+∞(xyx2+y2)x2解：注意到：0≤xyx2+y2≤12(x2+y2)x2+y2=12所以：0≤(xyx2+y2)x2≤(12)x2→0由夹逼准则知极限为0例2.3：（中科院，2016）求极限limx→∞y→∞x+yx2−xy+y2解：法I. 由于|x+yx2−xy+y2|≤|1y+1x||xy−1+yx|≤|1y+1x||xy+yx|−1≤|1y+1x|→0故由夹逼准则知极限为0法II. 由于|x+yx2−xy+y2|≤2|x+y|x2+y2≤2|x|+|y|x2+y2≤2(1|x|+1|y|)→0故由夹逼准则知极限为0法III. 注意到x2+y2−xy≥2xy−xy=xy由于|x+yx2−xy+y2|≤|x+yxy|≤(1|y|+1|x|)→0极坐标：，，x2+y2，x3+y3，x4+y4...都可以考虑极坐标例2.4：求极限lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2解：令x=ρcosθ , y=ρsinθ , 则极坐标有界无穷小量lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2=极坐标limρ→0ρ3(cos3θ+sin3θ)ρ2=limρ→0ρ(cos3θ+sin3θ)⏟有界×无穷小量=0=0整体替换化为一元函数：可以分拆，可以整体代换的重极限可以尝试。
当变成一元函数那方法就多了，如：等价，洛必达，泰勒...... 例2.5：求极限: limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y) .解：由于0<(x2+y2)ex+y=x2ex+y+y2ex+y≤x2ex+y2ey而洛必达洛必达limx→+∞x2ex=洛必达limx→+∞2xex=洛必达limx→+∞2ex=0洛必达洛必达limy→+∞y2ey=洛必达limy→+∞2yey=洛必达limy→+∞2ey=0故由夹逼准则知limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y)=0注意：多元函数洛必达教材没有，不可用！例2.6：求极限lim(x,y)→(0,0)x2ln(x2+y2)=0解：因为lim(x,y)→(0,0)x2ln(x2+y2)=lim(x,y)→(0,0)x2x2+y2(x2+y2)ln(x2+y2)令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)(x2+y2)ln(x2+y2)=limt→0+tlnt=limt→0+lnt1/t=limt →0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)x2ln(x2+y2)=0例2.7：求极限lim(x,y)→(0,0)xln(x2+y2)解：因为limx→0y→0xln(x2+y2)=2limx→0y→0xx2+y2x2+y2lnx2+y2令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)x2+y2lnx2+y2=limt→0+tlnt=limt→0+lnt1/t=limt→0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)xln(x2+y2)=0例2.8：求极限lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sinx2+y2(x2+y2)3/2解：lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sinx2+y2(x2+y2)3/2=x2+y2=ρlimρ→0ρ−sinρρ3=limρ→0ρ−(ρ−16ρ3+o(ρ3))ρ3=16。
多元函数求极限的方法
多元函数求极限的方法在学习多元函数求极限的方法时，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点或无穷远时，函数的取值趋于一个确定的值。
接下来，我们将介绍多元函数求极限的几种常用方法。
首先，我们来看一下多元函数极限存在的条件。
对于二元函数来说，当自变量(x, y)在点(x0, y0)的任何一个邻域内，函数值都无限接近于一个确定的常数L时，就称函数f(x, y)在点(x0, y0)处有极限，记作lim(f(x, y)) = L。
这里需要注意的是，这里的邻域可以是任意小的开区域，而不仅仅是点(x0, y0)的某个小邻域。
接下来，我们将介绍多元函数求极限的方法。
首先是直接法，即通过代入法来求解多元函数的极限。
这种方法适用于一些简单的多元函数，通过直接代入自变量的值，可以求得函数在某一点的极限值。
其次是夹逼法，这种方法常用于证明多元函数在某一点的极限存在。
夹逼法的核心思想是通过构造两个函数，一个比原函数小，一个比原函数大，并且它们的极限值相等，从而得出原函数的极限存在并且等于夹在中间的函数的极限值。
另外，我们还可以利用极坐标法来求解多元函数的极限。
极坐标法适用于一些具有极坐标对称性的函数，通过将自变量用极坐标表示，可以简化函数的求解过程，从而得出极限值。
最后，我们还可以通过换元法来求解多元函数的极限。
换元法的核心思想是通过一些变量替换或者代换，将原函数转化为一个更容易求解的形式，从而得出极限值。
综上所述，多元函数求极限的方法包括直接法、夹逼法、极坐标法和换元法等。
在实际应用中，我们需要根据具体的函数形式和求解的难度来选择合适的方法，从而准确求解多元函数的极限值。
希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和掌握多元函数求极限的技巧。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数求极限方法
多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一，它与微积分、数学分析等领域密切相关。
在学习多元函数求极限的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。
下面，我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。
一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。
当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时，可以先将这个点的坐标代入到这个函数中，从而得到一个实数值。
如果这个实数值存在且唯一，那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。
例如，对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)，当(x,y) = (1,1)时，我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到：f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此，在点(1,1)处，该二元函数的极限值为1。
二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。
夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。
夹逼定理的核心思想是，如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间，而这两个函数的极限值相等，那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。
例如，对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。
首先，我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y)，使得：g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然，在点(0,0)处，g(x,y)和h(x,y)都等于1。
因此，我们可以将f(x,y)表示为：h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时，g(x,y)趋近于1，而h(x,y)趋近于1。
因此，根据夹逼定理，f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。
三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。
多元函数求极限例题
多元函数求极限例题多元函数求极限是微积分学中一个重要的概念，也是应用数学和科学工程中经常遇到的问题。
在本文中，我们将讲解多元函数求极限的概念和例题。
一、概念解析多元函数可以看做是具有多个自变量的函数，例如f(x,y)。
多元函数的求极限可以看做是在自变量逐渐逼近一个确定值的情况下，函数值的趋势。
即当(x,y)趋近于点(x0,y0)时，f(x,y)可能无限逼近某个值，这个值就是(x0,y0)点的极限。
二、例题解析1. 例题一：求f(x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 + x * y在点(1, -1)处的极限。
解：对于多元函数f(x, y)，我们可以采用依次逼近法来求解极限。
即将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。
首先，我们可以以(1, -1)为中心，沿着x轴方向逼近，此时f(x, y) = (x - 1) ^ 2 + y ^ 2 - 2，当x趋近于1时，f(x, y)趋近于-2。
然后，我们以(1, -1)为中心，沿着y轴方向逼近，此时f(x, y) = x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 - 1，当y趋近于-1时，f(x, y)趋近于1。
综上所述，极限不存在。
2. 例题二: 求f(x, y) = sin(xy) / xy 的极限。
解：对于这道例题，我们可以将其转化为一元函数，令u = xy，则函数变为f(x, y) = sin u / u。
然后，我们可以以(0, 0)为中心，沿着某个代码逼近。
比如，以x = 0的直线为例，此时f(x, y) = sin y / y，当y趋近于0时，f(x, y)趋近于1。
根据夹逼定理，当x^2+y^2趋近于0时，f(x,y)也趋近于1。
因此，原函数在(0,0)点极限为1。
三、总结在求解多元函数极限时，可以采用依次逼近法，将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。
同时，我们要掌握夹逼定理的应用，通过夹逼来判断函数的极限是否存在。
多元函数的极限
多元函数的极限摘要:多元函数是是一元函数的推广，由于自变量个数的增加，函数的极限和连续与一元函数相比复杂了很多。
本文研究了多元函数的极限与连续，文章第一部分通过例题的形式总结了求解多元函数极限的几类方法。
而极限与连续是紧密联系的，在本文第二部分中，我们讨论了连续、对单变量连续、以及一致连续之间的关系。
关键词:多元函数;极限;连续一元函数只有一个自变量，它所能描述的只是客观现实中的很少一部分事物的变化，而更多的情形需要我们考虑多因素影响下事物的变化规律。
例如，矩形的面积依赖于两个量:长和宽;长方体的体积则依赖于三个量:长、宽和高;而空间每一点温度的变化不仅依赖于每一点的位置(x,y,z)，而且还随时间的变化而变化，这时它依赖于四个变量。
因此，为了研究这些比较复杂的问题，我们需要在一元函数的基础上增加自变量的个数。
这就是多元函数。
和一元函数一样，极限与连续是研究多元函数微积分的基础。
自变量由一个变成多个，一方面，多个要以一个为前提。
因此，我们学过的一元函数的极限、连续性与微积分，对多元函数的学习是必不可少的。
另一方面，由单个自变量到多个，也必然会有本质的变化。
变化之一是，一个自变量作为直线上的点是有大小顺序的，而多个自变量，例如两个自变量，作为平面上的点是没有大小顺序的。
本质变化之二是，对直线上固定的一点，其它点趋向于它只有左右两个方向，十分简单，而平面上则有无穷多个方向。
因此，掌握从一元到多元的差异，应该是在学习多元函数中需要特别注意的。
从一元到二元，是需要许多新思想的，但从二元到多于二元，新的思想就不多了，只是形式和计算上会复杂很多。
因此，其它多元函数可以仿照二元函数的性质来研究。
下面我们从二元函数说起，来研究多元函数的极限和连续。
1 多元函数的极限1.1重极限1.1.1定义及性质2,定义1.1:设f是定义在DR上的二元函数，为D的一个聚点，A是一P0。
,个确定的数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P(;δ)?DPU0时，都有f(P)-A<ε，则称f在D上当时以A为极限，记作f(P)=A.PP,lim,,0PP,0PD,,在对于PD不致产生误解时，也可以简单地写作limf(P)=A. PP,0当P, 分别用坐标(x,y),()表示时，也可以记作Pxy00,0=A. lim,fxy，，(,)()xyxy,0,0下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则。
ch7-6-多元函数求极值
umax 63 42 2 6912. 故最大值为
小结
• 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） • 多元函数的最值 • 条件极值（拉格朗日乘数法）
练习
1 求函数f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2的极值. 2 求函数f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )的值.
A 0,B2 AC 4e2 0
故函数在点 ( 1 1 e ,1)处取得极小值 f( ,1) 2 2 2
(3)某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产 品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂 的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY • 求该公司在生产总量为30单位时使得总成 本最低的产量？ • 解：目标函数C= X2+3Y2-XY • 约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）
(4)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函 数，f(x,y)=60x ¾ y ¼,若劳动力单价为100元 ，原料单价为200元，则在投入30000元资 金用于生产情况下，如何安排劳动力和原 料，可使产量最多？ • 解：目标函数f(x,y)=60x ¾ y ¼ • 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0 ）
最大利润为1650单位。
(3)某企业生产两种产品的数量分别为x单位和y单位，单价 分别为：200,150，总成本函数为 C ( x, y) 2 x 2 y 2 求最大 利润。 L( x, y) R( x, y) C ( x, y) (200 x 150 y) (2 x 2 y 2 ) 解：
解：令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
机动
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
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求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。
而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。
【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。
这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，212(3)3n n n n a a a a a a++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则1!lim!nk n k n =→∞∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。
【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。
1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x →12时函数y =21x x +的极限。
我们列出了当x →12时某些函数值，考察从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2时，y =21x x +的极限是0.75。
2、利用四则运算法则求极限例2（1）求23321lim(4)x x x →-+（2）221lim 21x x x →-+解（2）221lim 21x x x →-+=222lim(1)3lim(21)5x x x x →→-=+3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求01lim sinx x x→ 解因为0lim x x →=0，且1sin1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x→=04、利用两个重要极限求极限 例4 求11lim sinlim(1)x x x x x x→∞→∞- 解1lim sin x x x →∞=1sinlim 1x x x→∞=1（因为x →∞时10x→）。
令u x =-则当x →∞时u →∞所以1lim(1)x x x →∞-=111lim(1)lim 1(1)e x u u u ex-→∞→∞+==+也可以直接计算1lim(1)x x x →∞-=1111lim[(1)]x x e x e---→∞+==5、利用初等函数的连续性求极限 例5求2lim ln sin x x π→解：点02x π=是初等函数()lnsin f x x =的一个定义区间(0,)π内的点，所以2limln sin ln sin02xx x π→==6、利用等价无穷小代换求极限 例6 求01cos limln(12)x xx →-+解：当0x →时，211cos 2x x -≈，ln(12)2x x +≈ 所以20011cos 2limlim 0ln(12)2x x xx x x→→-==+ 7、利用罗比达法则求极限 例7 求0ln sin 2lim ln sin 3x xx+→解：0ln sin 2lim ln sin 3x x x +→=0cos 22sin 2lim cos33sin 3x xx xx+→⋅⋅=0sin 3cos 22lim 1sin 2cos33x x x x x +→⋅⋅= 8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限232(0)()1(01)2(1)x x f x x x x x ⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪>⎩求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →解：因为0lim ()x f x -→=0lim(32)2x x -→+= 0lim ()x f x +→=20lim(1)x x +→+=1 00lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠ 所以0lim ()x f x +→不存在 因为1lim ()2x f x →=1利用极限的定义来验证极限的存在极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由n x A ε-<或()f x A ε-<去寻找满足条件的充分大的正整数 N 或充分小的正数δ或充分充分的正数 X 。
比如:证明2221lim44x x x →-=- 证明对0ε∀>，要使22144x x ε--<-，只要22214442x x x x ε---=<-+因为2x →，不妨设21x -<，此时13x <<，从而325x <+<，因此，22144x x ---242x x --+<111224312x x c ⨯---<,于是取min{}δε=，从而min{1,12}δε∃=，当02x δ<-<时，总有22144x x ---ε<，从而2221lim 44x x x →-=-2利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)比如 求1x →此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式解：1x →1x →==1112x →= 3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限比如 求lim )x x →+∞-本题是“∞-∞”型的极限,先对分子有理化,可转化为∞∞型将分子分母同时除以 x 的最高次幂变形后求解。
解lim )x x →+∞=limxlimx=1lim2x =在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极限。
比如 求sin lim 2nx e n →∞+解 注意到sin ne ≤且1lim 02x n →∞=+所以由无穷小的性质得sin lim02n x e n →∞=+又比如求0x → 解 当0x →时，ln(1+，2arctan x ，2x所以0x →=513320lim 1x x xx →= 4.2重要极限21lim(1)xx e x→∞+=，101lim(1)x x e x →+=，01()lim(1())f x x x f x e →+=，0()1lim(1)()f x x x e f x →+= 特征:①“1 ”型;②底数中要转化为有“1”的形式;③ “1”的后面的变量与幂指数互为倒数。
比如 求21lim(cos )x x x →解21lim(cos )x x x →=21cos 1cos 10lim(1(cos 1))x x x x x --→+-=12e5利用极限存在准则(夹逼定理、单调有界原理)来求极限 5.1利用夹逼定理求极限比如 求222111lim ()11x n n n n n →∞++++++ 解 因为21nn +≤22111n k n ≤++，k =1，2，3n ，从而22n n n +≤222111()11n n n n n++++++≤221n n +而22lim 1x n n n →∞=+，22lim 11x n n →∞=+所以222111lim ()11x n n n n n→∞++++++ 5.2利用“单调有界数列必有极限”定理求极限特点:①能出现关系式;②可转化为关系式解题方法 :一是利用数学归纳法证有界,二是证单调。
比如 设111,2,),nx n +===试证数{}n x 列极限存在，并求此极限。
显然102x <=<，22x =<假设2n x <因12n x +=<=由数学归纳法知对n ∀,0<n x <2,又{n x }有界, n ∀ 0<n x <2,即{n x }有界,又10n n n x x x +-==>,则1n x + >n x ,所以{n x }单调增加。
因此lim n x x →∞存在。
不妨设lim n x x →∞=a ，由1n x +=得a =a =2即lim 2n x x →∞=6利用洛必达法则求极限 用洛必达法则时要注意: ①要注意洛必达法法则条件, ②有时要用多次洛必达法则,③无限次循环型号不能用洛必达法则,如0lim x xx xx e e e e --→-+,④每次用洛必达法则前,要先化简, ⑤x →0(或x →∞)时,极限中含有sin1x ,cos 1x(或sinx,cox)不能用洛必达法则。
⑥“0g ∞”,“∞-∞”,“1 ”,“0∞”,“0∞”,“00”型未定式,通过变形、通分、有理化分子、取对数等方式转化为“00”或“∞∞”未定式极限后再用洛必达法则。
比如求1lim 1ln xx ex e x x→--+解1lim1ln x x ex e x x →--+111()lim lim lim 1111x x x xx x x e e x e e e e xe e x x→→→----====---+7利用连续性求极限比如 求1ln(1)lim arctan x x e x→+解注意到()arctan f x x =在x=1处连续,所以1ln(1)lim arctan x x e x →+=1ln(1)4ln(1)arctan1e e π++= 8利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某些特殊函数在一些点处的极限时,可用此方法。
如求11110limx x x xxe e e e→-+解11110lim x x x xxe e e e+→-+2201lim 11x x xe e+→-==+，1121121lim lim 11x x x x x xxxe e e e ee --→→--==-++，所以11110limx x x xxe e e e→-+不存在。
9利用导数求极限比如设'(0)1,(0)0f f ==求0()limx f x x→ 解0()limx f x x →=0()(0)lim 0x f x f x →--='(0)1f = 10利用泰勒公式求极限特点①“00”型;②1122()()()()f x g x f x g x --或22()()kx f x g x -或11()()k f x g x x -③用洛必达法则较复杂或根本不可能用。
解题的关键是展开到含nx 项,或相互抵消后的后一项。
比如求222012lim (cos )sin x x x x e x→+--解222012lim (cos )sin x x x x e x →+-=224424604241(10()228lim 0()0()243x x x x x x x x x x x →+-+-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦）（1-++）（-+）！！！444040()8lim 30()2x x x x x →+=-+=112- 11利用定积分和积分中值定理求极限 比如设n x 2)()n n +，(1,2,)n =，求lim n n x →∞解因为1ln ln(1)n i x n n==+∑所以11lim lim ln(1)n n n n i ix n n →∞→∞==+∑=10ln(1)2ln 21x dx +=-⎰12利用函数极限与数列极限关系求极限比如求21lim(sin )n n n n→∞解21lim(sin )n n n n→∞=210sin lim()x n x x +→=3sin sin 0sin lim (1)x x x x x x n x x x +-⋅-→-+=16e13利用级数收敛的必要条件求极限比如 求3!lim n n n n n →∞,考察级数13!n n i n n∞=∑,而1113(1)!33lim lim lim 1(1)3!(1)n n n n n n n n n n u n n u n n e n +++→∞→∞→∞+=⋅==++<1 由正项级数比值判别法知13!n n i n n∞=∑收敛,再由级数收敛的必要条件知3!lim n n n n n→∞=014利用幂级数的和函数求极限 比如 求1111lim(1)1!2!3!!n n →∞+++++由于01,(,)!nx n x e n ∞==-∞+∞∑ 当1x =时，1!n n ∞=∑=1e =e 因此1111lim(1)1!2!3!!n n →∞+++++=01!n n ∞=∑=1e =e 以上是求极限常用的一些方法,在求极限的过程中,先要用观察极限属于什么类型,才能去采取相应的方法。