(整理)多元函数的极限与连续习题.
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多元函数的极限与连续习题
1. 用极限定义证明:14)23(lim 1
2=+→→y x y x 。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）y
x y
x y x f +-=),(；
(2) y
x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=；
(3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
(4) x
y y x f 1
s i n ),(=。
3. 求极限 （1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； （4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2
1
2=+→→y x y x 。
因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2
2
-+-=-+y x y x
|1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 0>∀ε，要使不等式 ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2 y x y x 成立 取}1,30 min{ ε δ=，于是 0>∀ε， 0}1,30 min{ >=∃ε δ，),(y x ∀：δδ<-<-|1|,|2|y x 且 )1,2(),(≠y x ，有ε<-+|1423|2 y x ，即证。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-= ),(； 1lim lim 00=+-→→y x y x y x ， 1l i m l i m 00-=+-→→y x y x x y ， 二重极限不存在。 或 0l i m 0=+-=→y x y x x y x ， 3 1l i m 20-=+-=→y x y x x y x 。 (2) y x y x y x f 1sin 1sin )(),(+=； |||||1 sin 1sin )(|0y x y x y x +≤+≤ 可以证明 0|)||(|lim 0 0=+→→y x y x 所以 0),(lim 0 =→→y x f y x 。 当πk x 1≠ ，0→y 时，y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(+=极限不存在， 因此 y x y x y x 1 s i n 1s i n )(lim lim 00+→→不存在， 同理 y x y x x y 1s i n 1 s i n )(lim lim 0 0+→→不存在。 (3) y x y x y x f ++=23 3),(； 02lim ),(lim 23 00=+=→=→x x x y x f x x y x ， 当 P(x, y )沿着3 2x x y +-=趋于（0,0）时有 1)(lim ),(lim 2 323 23303 20=-+-+=→+-=→x x x x x x y x f x x x y x ， 所以 ),(lim 0 0y x f y x →→不存在； 0),(lim lim 0 0=→→y x f y x ， 0),(lim lim 0 0=→→y x f x y 。 (4) x y y x f 1sin ),(= |||1 sin |0y x y ≤≤ ∴ 0),(lim 0 0=→→y x f y x ， 01s i n lim lim 00=→→x y y x ， x y x y 1 s i n l i m l i m 00→→不存在。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； |)ln(|4 )(|)ln(|0222 222 2 2 2y x y x y x y x ++≤+≤， 又 0ln 4lim )ln(4 )(lim 2 0222220 0==+++→→→t t y x y x t y x ， ∴ 1) (lim )22ln(22) 0,0(),(lim 2 222 ==++→→→y x y x y x y x y x e y x 。 （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； 211)11)((lim 11lim 2222220 0222 200=-++++++=-+++→→→→y x y x y x y x y x y x y x 。