(整理)多元函数的极限与连续习题.
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
高数8多元函数的极限与连续
二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1 14)23(lim 212=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x yx y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限)(lim 00y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：累次极限定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设B y x f y ax b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即C y x f by a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则)(lim lim (lim 0000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.二元函数的连续性定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.1. 用极限定义证明下列极限：1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→yx y x y x ； 3）0lim 22200=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x yx y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数32444)()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2x y =上讨论.) 4. 若将函数2222)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).5. 求下列极限：1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 40→→； 3）)()(lim 2200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
7-2多元函数的概念、极限和连续-精品文档
1
复习
1.柱面: 柱面方程一定是二元方程，缺少哪个变量字母，
母线就平行于哪个坐标轴.
2. 椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
3. 椭圆锥面 4. 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 a2 b2 z
5. 双曲抛物面
x2 y2 a2 b2 z
y
P 0
{(x,y)0(xx0)2(yy0)2}.o
x
注意: (1)如果不强调邻域的半径, 则用U(p0)表示, 0 去 心 邻 域 用 U(p0)表 示 . ( 2 ) U ( p 0 ,) 在 平 面 上 表 示 圆 形 邻 域 .
即 U ( P 0 ,δ ) ( x ,y )(xx0)2(yy0)2δ
7
3. 内点和开集
设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
pE
p
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 则称 P 为 E 的外点 ;
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
例如，E 1 {x ( ,y )1 x 2 y 2 4 }即为开集．
10
(x,y) xy0
闭区域
(x,y)1x2y24
整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域；
点集 (x,y) x1是开集，
y
但非开区域 .
y
o
x
y
o 1 2x
1o 1 x
11
6. 有界区域及无界区域
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章
第十六章 多元函数的极限与连续一、证明题1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p n }⊂E,p ≠p 0. ∞→n lim P n =P 0时P 0是E 的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.3. 证明:点列{p n (x n ,y n )}收敛于p 0(x 0,y 0)的充要条件是∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E 为开集,则E c 为闭集;若E 为闭集,则E c 为开集.5. 证明:(1) 若F 1,F 2为闭集,则F 1∪f 2与F 1∩F 2都为闭集;(2) 若E 1,E 2为开集,则E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集;(3) 若F 为闭集,E 为开集,则F\F 为闭集,E\F 为开集.6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之.7. 证明定理16.4(有限覆盖定理):8. 证明: 若1°y)f(x,lim (0,0)y)(x,→存在且等于A;2°当y 在b 的某邻域内时,存在有(y)y)f(x,lim a x ϕ=→,则A y)f(x,lim lim a x b y =→→.9. 试应用ε-δ定义证明: 0y x y x lim 222(0,0)y)(x,=+→. 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.12.设f(x,y)=()()⎪⎩⎪⎨⎧=+>≠++0y x 0,0p 0y x ,y x x 2222p 22试讨论它在(0,0)点的连续性.13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f 对y 在[c,d]上处处连续.对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f 在S 上处处连续.14. 证明:若D ⊂R 2是有界闭域,f 为D 上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.15. 若一元函数ϕ(x)在[a,b]上连续,令f(x,y)=ϕ(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f 在D 上是否连续?是否一致连续?16. 设(x,y)=x y11-,(x,y)∈D=[)[)1,01,0⨯,证明f 在D 上不一致连续.17. 设f 在R 2上分别对每一自变量x 和y 是连续的,并且每当固定x 时f 对y 是单调的,证明f 是R 2上的二元连续函数.二、计算题1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
(整理)多元函数的极限与连续.
数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。
E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。
高等数学c类第二册教材答案
高等数学c类第二册教材答案一、导论高等数学C类第二册是大学高等数学的进阶教材，主要涵盖了多元函数微分学、多元函数积分学和无穷级数三个部分。
本教材的答案旨在帮助学生更好地理解和掌握课本内容，提供一种参考和辅助学习的工具。
以下是高等数学C类第二册教材的答案。
二、多元函数微分学答案1. 多元函数的极限与连续1.1 多元函数极限概念及性质(1) 定义和性质练习题1. 将以下多元函数的极限求出：(1) lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y)(2) lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2)解答：(1) 这是一个两个变量的极限问题，我们可以使用直接代入法：lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y) = 0/0 (无法直接代入)为了解决这个问题，我们可以进行坐标轴变换：令x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r>0，0≤θ<2π。
根据坐标轴变换的性质，当(x,y)→(0,0) 时，可得r→0。
将坐标变换后的表达式代入原函数：(x^2+y^2)/(x+y) = [(rcosθ)^2+(rsinθ)^2]/(rcosθ+rsinθ) =(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)/(rcosθ+rsinθ)= [r^2(cos^2θ+sin^2θ)]/(rcosθ+rsinθ) =r([r(cos^2θ+sin^2θ)]/[rcosθ+rsinθ])= r，当r → 0 时，此极限为lim(r)→0 r = 0。
所以，该极限的解为 0。
(2) 类似地，根据直接代入法：lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2) = (3(2)^2+4(3)^2)/((2)^2-(3)^2) = 33/7。
所以，该极限的解为 33/7。
1.2 多元函数连续概念及性质(1) 定义和性质练习题2. 判断函数 f(x,y) = (3x^2+y^2)/(x^2-y^2) 在点 (2,3) 处是否连续。
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多元函数的极限与连续习题
1. 用极限定义证明:14)23(lim 1
2=+→→y x y x 。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）y
x y
x y x f +-=),(；
(2) y
x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=；
(3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
(4) x
y y x f 1
s i n ),(=。
3. 求极限 （1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； （4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。
4. 试证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2
1
2=+→→y x y x 。
因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2
2
-+-=-+y x y x
|1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-<y x
0>∀ε，要使不等式
ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2
y x y x 成立 取}1,30
min{
ε
δ=，于是
0>∀ε， 0}1,30
min{
>=∃ε
δ，),(y x ∀：δδ<-<-|1|,|2|y x
且 )1,2(),(≠y x ，有ε<-+|1423|2
y x ，即证。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）y
x y
x y x f +-=
),(； 1lim
lim 00=+-→→y x y x y x ， 1l i m l i m 00-=+-→→y
x y
x x y ，
二重极限不存在。
或 0l i m 0=+-=→y x y x x
y x ， 3
1l i m 20-=+-=→y x y x x
y x 。
(2) y
x y x y x f 1sin 1sin
)(),(+=； |||||1
sin 1sin
)(|0y x y
x y x +≤+≤ 可以证明 0|)||(|lim 0
0=+→→y x y x 所以 0),(lim 0
=→→y x f y x 。
当πk x 1≠
，0→y 时，y
x y x y x f 1
sin 1sin )(),(+=极限不存在， 因此 y
x y x y x 1
s i n 1s i n )(lim lim 00+→→不存在，
同理 y
x y x x y 1s i n 1
s i n )(lim lim 0
0+→→不存在。
(3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
02lim ),(lim 23
00=+=→=→x
x x y x f x x
y x ， 当 P(x, y )沿着3
2x x y +-=趋于（0,0）时有
1)(lim ),(lim
2
323
23303
20=-+-+=→+-=→x x x x x x y x f x x x y x ，
所以 ),(lim 0
0y x f y x →→不存在；
0),(lim lim 0
0=→→y x f y x ， 0),(lim lim 0
0=→→y x f x y 。
(4) x
y y x f 1sin
),(= |||1
sin
|0y x
y ≤≤ ∴ 0),(lim 0
0=→→y x f y x ，
01s i n lim lim 00=→→x y y x ， x
y x y 1
s i n l i m l i m 00→→不存在。
3. 求极限 （1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
|)ln(|4
)(|)ln(|0222
222
2
2
2y x y x y x y x ++≤+≤，
又 0ln 4lim )ln(4
)(lim
2
0222220
0==+++→→→t t
y x y x t y x ， ∴ 1)
(lim )22ln(22)
0,0(),(lim 2
222
==++→→→y x y x y x y x y x e
y x 。
（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
211)11)((lim 11lim 2222220
0222
200=-++++++=-+++→→→→y x y x y x y x y x y x
y x 。
（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； |||1
sin )(|2
2y x y
x y x +≤++， 而 0)(l i m 0
=+→→y x y x
故 01
s i n )(lim 220
0=++→→y x y x y x 。
（4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。
令θcos r x =，θsin r y =， )0,0(),(→y x 时，0→r ，
1sin lim )sin(lim 22
022220
0==++→→→r r y x y x r y x 。
4. 试证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。
证明：显然f (x , y )的定义域是xy >-1.
当0≠x 时，f (x , y )是连续的， 只需证明其作为二元函数在y 轴的每一点上连续。
以下分两种情况讨论。
（1） 在原点（0,0）处
f (0, 0)=0, 当0≠x 时
⎪⎩
⎪⎨
⎧≠+==+=0
)1ln(0
0)1ln(),(1y xy y y x xy y x f xy ,
由于 1)
1l n (lim 10
=+→→xy
y x xy
不妨设 1|1)1
l n (|1
<-+xy
xy ， 2|)1l n (|1<+xy
xy ，
从而 0>∀ε， 取2
ε
δ=，当δδ<<<<||0,||0y x 时，
|)1ln(||0)
1ln(|
1xy
xy y x
xy +=-+
ε<≤+≤||2|)1ln(|||1y xy y xy
，
于是，无论0,0≠=x x ，当δδ<<||,||y x 时，都有 )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→
（2）
（3） 在),0(y 处。
（)0≠y
当0≠x 时， |)
1ln(||),0(),(|1
y xy y y f y x f xy
-+=-
|)()1)1
(l n (|1y y xy y xy
-+-+=
|||1)1ln(|||1
y y xy y xy
-+-+≤
当x=0时, |||),0(),(|y y y f y x f -=-,
注意到，当0≠y 时 1)
1l n (lim 10
=+→→xy
y
y x xy ，
于是，无论0,0≠=x x ， 当0≠y 时 0|),0(),(|lim 0=-→→y f y x f y
y x ，
即 f (x , y )在在),0(y 处连续， 综上，f (x , y )在其定义域上连续。