16.1.1 二次根式的概念
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
2022-2023学年八年级数学下册《二次根式》精讲与精练高分突破含答案解析
题型二：二次根式有意义的条件4．（2023春·八年级单元测试）代数式56x x --有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．5x ≤B ．5x ≥C ．5x >且6x ≠D ．5x ≥且6x ≠5．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）若式子1a b-+有意义，则点(,)P a b 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2022·全国·八年级专题练习）已知()2117932x x x y ---+-=-，则2218x y -的值为（ ）．A ．22B ．20C ．18D ．16题型三：二次根式的参数问题7．（2022春·四川凉山·八年级校考期中）如果174a +是一个正整数，则整数a 的最小值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．88．（2021秋·八年级单元测试）若最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，则a 、b 的值分别是（ ）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和19．（2019春·山东聊城·八年级校考期末）若(2)(3)23x x x x --=-⋅-()()2323x x x x --=-⋅-成立，则x的取值范围为（ ）A ．x ≤3B ．x ≥2C ．2＜x ＜3D ．2≤x ≤3题型四：复合二次根式的性质化简10．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若3222a a a a +=-+，则a 的取值范围是（ ）A ．20a -≤≤B ．0a ≤C ．a<0D ．2a ≥-11．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）化简二次根式31-x x的正确结果是（ ）A ．x-B ．xC ．x-D ．x--12．（2022·全国·八年级专题练习）当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3题型五：利用二次根式的性质化简13．（2023秋·上海·八年级专题练习）化简：A ．2b c -B ．2b a -A ．2a b +B ．2a b --C ．b①526-③4102541025+②7210-++++．43．（2023春·全国·八年级专题练习）观察下列各式及其化简过程：2223222221222112121（）（）（），+=++=+⨯+=+=+222（）（）（）．5263262323223232-=-+=-⨯+=-=-(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将31106-化简；(2)化简358743-+；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出()±=±>中，m，n与a，b之间的关系．2m n a b a b故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组5060x x -≥⎧⎨-≠⎩．5．B【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值，然后根据平面直角坐标系内各象限点的坐标特征直接判断即可．【详解】解：由题意得，0a -≥，0b >，∴a<0，∴点(,)P a b 在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查平面直角坐标系内各象限点的坐标特征以及二次根式有意义的条件，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值．6．A【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：解：∵11x -一定有意义，∴11x ≥，∴()2117932x x x y ---+-=-，117932x x x y -+-+-=-，整理得：113x y -=，∴2119x y -=，则()2222182112x x x y =--=-．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，解题的关键是正确化简二次根式．7．A【分析】根据174a +是一个正整数，得出174a -＞，根据a 为整数，得出a 的最小值为4-，最后代入4a =-验证174a +是一个正整数符合题意，得出答案即可．【详解】解：∵174a +是一个正整数，∴1740a +＞，∴174a -＞，∵a 为整数，∴a 的最小值为4-，且4a =-时，17417161a +=-=符合题意，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出174a -＞，是解题的关键．8．D【分析】由二次根式的定义可知32a b -=，由最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，可得4326a b a b +=-+，由此即可求解．【详解】解：∵最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，∴324326a b a b a b -=⎧⎨+=-+⎩，∴3223a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．9．D【分析】利用二次根式的定义和二次根式的乘除，即可解答.【详解】根据二次根式根号下被开方的数是非负数，得2030x x --⎧⎨⎩…… ，所以2⩽x ⩽3．故选D.【点睛】此题考查二次根式的乘除法，二次根式的定义，解题关键在于利用其定义.10．A【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．【详解】∵32222 ()2a a a a a a +=+=-+，∴020a a ≤+≥，，∴-20a ≤≤．故选A ．【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．【详解】解：由题意可得：x ＜0∴()11x x x x x x x⋅-=⋅--=--故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．12．A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=()()2223232323x x x x -+--+112323x x =--+将4x =代入得，原式11423423=--+()()22111313=--+113113=--+()()13313113+-+=-+1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．13．(1)52-(2)222(++1++1)2a a a a -【分析】（1）根据完全平方差公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论；（2）根据完全平方和公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论．解：945-=9220-22=(5)254+(4)⋅⋅-()2=54-=52-=52-；（2）解：2241++1++a a a 2242+2+21++=2a a a 2222(++1)+2(++1)(+1)+(+1)2a a a a a a a a --=222(++1++1)2a a a a -=222++1++12a a a a =-222(++1++1)2a a a a =-．【点睛】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，被开方式可转化为一个完全平方式，即()2+2==a b ab a b a b ±±±，同时根据二次根式性质及去绝对值运算进行相关化简是解决问题的关键．14．1【分析】先由数轴上a ，b 两点的位置，判断出a ，b 的符号，再化简二次根式，立方根，进行运算解答．【详解】根据数轴可知，20a <<－，12b <<，则20a +>，10-<b ，∴()()2232321a a b b ++-+-()2(1)a ab b =++--+-21a ab b =+--+-1=．【点睛】本题考查了二次根式、立方根的性质与化简以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握运算法则．15．(1)3±2，7±5(2)6±3(3)106222+-【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把62变形成218，仿照阅读材料的方法可得答案；（3）将5变形成524，3变形成324，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．【详解】（1）解：2526(32)32±=±=±，212235(75)75±=±=±，故答案为：32±，75±；（2）29629218(63)63±=±=±=±；（3）3523-++53322244=-++225131()()2222=-++51312222=-++1062+=，同理可得1062235232+--+-=．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．16．B【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断30x -≥，由此即可求出x 的范围．【详解】解：2(3)3x x -=-，可得30x -≥，解得：3x ≥，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握2a a =是解本题的关键．17．A【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．【详解】解：由题意得，0x <，1x x x x x x---=-=--g ，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．18．B【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、x ，x 有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B 、21x +，210x +>，故21x +一定是二次根式，符合题意；C 、21x -，若11x -<<时，21x -无意义，不合题意；D 、35是三次根式，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如()0a a ≥的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．19．B【分析】直接利用二次根式的定义，进行分析得出答案．【详解】解：∵||0a ≥，20a ≥，210a +>，2(1)0a -≥，∴||a 、2a 、21a +、2(1)a -四个是二次根式，因为a 是实数时，10a +、21a -不能保证是非负数，因此10a +与21a -不一定是二次根式，故选：B.【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如(0)a a >的代数式是二次根式，正确把握定义是解题关键．20．C【分析】根据a 、b 、c 在数轴上的位置得出0c a b <<<，c b >，从而得出0a c b ++<，0c a -<，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．【详解】解：根据a 、b 、c 在数轴上的位置可知，0c a b <<<，c b >，∴0a c b ++<，0c a -<，∴2||()a c b c a ++--()()a c b c a =-++---⎡⎤⎣⎦()a cbc a =---+-a cbc a=---+-2a b =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a 、b 、c 在数轴上的位置确定0a c b ++<，0c a -<．21．23x ≤且12x ≠-【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，210x +≠，且230x -≥，解得23x ≤且12x ≠-，故答案为：23x ≤且12x ≠-．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22．0【分析】根据三角形三边关系得到0,0a b c b a c --<-+>，再化简二次根式及绝对值即可．【详解】解：∵a ，b ，c 是三角形的三边长，∴0,0a b c b a c --<-+>，∴2()a b c b a c----+a b c b a c=----+b c a b a c=+--+-0=，故答案为：0．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，二次根式的化简，化简绝对值，正确理解三角形的三边关系：两边和大于第三边是解题的关键．23．(1)53(2)0.7(3)9(4)45【分析】(1)首先把带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(2)首先根据二次根式的性质化简，再进行有理数的减法运算，即可求得结果；(3)首先根据平方差公式进行运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(4)首先进行有理数的减法运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果．【详解】（1）解：729259=53=；（2）解：0.810.04-0.90.2=-0.7=；（3）解：224140-()()41404140=+⨯-81=9=；（4）解：9125-1625=45=．【点睛】本题考查了利用利用二次根式的性质化简运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．24．2x +【分析】先根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，得到210390x x ->⎧⎨-<⎩，进而推出30210x x -<->，，据此利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵点()2139P x x --，在第四象限，∴210390x x ->⎧⎨-<⎩，解得132x <<，∴30210x x -<->，，∴2269441x x x x -++-+()()22321x x =-+-321x x =-+-2x =+．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，解一元一次不等式组，已知点所在的象限求参数，正确得到30210x x -<->，是解题的关键．25．C【分析】变形26=24，525=，比较24，25，27的大小即可．【详解】因为26=24，525=，且24＜25＜27，所以262527<<即26527<<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键．26．D【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可．【详解】解：20b a -≥ 0b ∴≤0ab > 所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，22b b b a a a b a a a---===---故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．27．A【分析】先根据三角形的三边关系求出n 的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可．【详解】解：由三角形三边关系可知：37n <<，∴30n -<，81n ->，38n n=-+-原式()()38n n =--+-38n n=-++-5=故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．28．A【分析】由题意可得：0ab <，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由题意可得：0ab <，22222211333933ab a b a b a b ab ab ab ab--=⨯=⨯--⨯-ab ab=--故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数．29．C【分析】根据点的坐标，可得a 、b 的关系，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．【详解】解：由数轴上点的位置关系，得0,||||a b a b <<>．22()()a a b a a b a a b b -+=----=-++=．故选：C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的性质，利用点的坐标得出a 、b 的关系是解题关键．30．A【分析】根据二次根式有意义的条件得出130x -≥，进而可得320x -<，然后根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵130x -≥∴31x ≤∴320x -<229124(13)x x x -+--()()23213x x =---2313x x=--+21=-1=，故选：A.【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键．31．A【分析】利用因式分解和平方差公式和完全平方公式进行简便运算即可．【详解】解：()59120212020591x =⨯-=，()()220202*********y =-+-22202020201=-+1=，22588225882z =+⨯⨯+()25882=+2600=600=，∵1591600<<，∴y x z <<，故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、二次根式的性质、有理数的混合运算，会利用平方差公式和完全平方公式简便运算是解答的关键．32．2532-【分析】根据2a a =化简即可．【详解】∵2532=2018>0--，∴原式＝|2532|=2532--．故答案为：2532-．【点睛】本题考查二次根式的性质，熟记2a a =是解题的关键．33．2a b -##-2b+a【分析】根据题意可得：0b a <<，从而可得0b a -<，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简计算即可解答．【详解】解：由图可知0b a <<，0b a ∴-<，()2b a b ∴-+()()b a b =--+-a b b =--2a b =-．故答案为：2a b -．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．34． 5x x 3 3.14π-## 3.14π-+【分析】根据二次根式性质进行的化简即可得解．【详解】解：3225255x x x x x =⋅=，()()22333-==，2(3.14π)π 3.14-=-，故答案为：5x x ，3，π 3.14-．【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键．35．1【分析】根据三角形的三边关系得到24k <<，再判断得到23>0k -，290k -<，再化简代数式即可．【详解】解：∵ABC V 的三边长分别为1、k 、3，∴24k <<，∴23>0k -，290k -<，∴274368123k k k --+--()()272923k k =----()79223k k =---+10292k k =--+1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．36．8或2##2或8【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x 与y 的值，然后代入原式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：50y -≥且50y -≥，5y ∴=，3x ∴=±，当3x =时，358x y +=+=；当3x =-时，352x y +=-+=．故答案为：8或2．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．37．m【分析】根据二次根式性质化简，再利用绝对值意义去绝对值即可得到答案．【详解】解：由数轴可知：0,,m m n m n ＜＜＞，∴0,0m n m n -+＜＜，∴22()||m m n m n ---+||m m n m n---+=m m n m n =-+-++（）（）m m n m n=-+-++m =，故答案为：m ．【点睛】本题考查代数式化简，涉及二次根式性质、去绝对值运算等知识，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．38．26【分析】图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，据此可得答案．【详解】解：由图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，∴第6行最后一个数为67212⨯=，则第7行从左至右第3个数是2132426+==，故答案为：26．【点睛】本题主要考查数字的变化类，二次根式的性质化简，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为()12n n +．39．c 【分析】根据数轴、绝对值、二次根式的性质，分别进行绝对值、二次根式化简即可得解．【详解】解：由数轴可知：+=0a b ，0c a ->，0c <，0a <原式02a c a c=-+---2a c a c=--++=c【点睛】本题考查数轴、相反数、绝对值、二次根式的综合运用，熟练掌握相应的定义性质是关键．40．1．【分析】先根据二次根式被开方数为非负数得出3x ≥，即可得到24>0x -，原式可变为()2+2+3=0y x y -，再根据非负数的性质得到二元一次方程组，求解得到x 和y 的值，代入即可求出+x y 的值．【详解】∵()230x y ≥-，∴30x -≥，即3x ≥，∴24>0x -，∴()224++2+3=24x y x y x ---，即()2+2+3=0y x y -，∴2+2=0(3)=0y x y ⎧⎨-⎩，解得：=3=2x y ⎧⎨-⎩．∴()+321x y =+-=．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，解二元一次方程组，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．41．(1)1±；(2)94．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x ，进而求出y ，根据平方根的概念解答；（2）根据平方根的概念列出方程，解方程求出a ，根据有理数的平方法则计算即可．【详解】（1）解∶由题意得，20200x -≥，20200x -≥，解得，2020x =，∴2019y =-，∴202020191x y +=-=，∵1的平方根是1±，∴x y +的平方根1±；（2）解：∵正数x 的两个平方根分别是2a +和5a +，∴250a a +++=，解得，72a =-，∴732222a +=-+=-，∴23924x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．42．(1)227m n +，2mn(2)12或28(3)①32+，②52-，③51+【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到62mn =，利用a 、m 、n 均为正整数得到1m =，3n =或3m =，1n =，然后利用223a m n =+计算对应a 的值；（3）设41025+41025t -+++=，两边平方得到2410254t =-++1025++216(1025)+-+，然后利用（1）中的结论化简得到2625t =+，最后把625+写成完全平方形式可得到t 的值．【详解】（1）设()22277727a b m n m n mn +=+=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有227a m n =+，2b mn =；故答案为：227m n +，2mn ；（2）∵62mn =，∴3mn =，∵a 、m 、n 均为正整数，∴1m =，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，2222313328a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，2222333112a m n =+=+⨯=；即a 的值为12或28；（3）①526+32232=++⨯()232=+32=+②7210-52252=+-⨯()252=-52=-③设41025+41025t -+++=，则2410254t =-++1025++216(1025)+-+282(51)=+-()8251=+-625=+()251=+，∴51t =+．【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．43．(1)56-；(2)43-；(3)m a b =+，n ab =．【分析】（1）将31分解成256+，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先将7分解成43+，计算第二层根式，再将35分解成163+，利用完全平方公式即可求出答案；（3）将等式两边同时平方即可求出答案．【详解】（1）31106-251066=-+2(56)=-56=-（2）358743-+3584433=-++2(23583)-+=358(23)=-⨯+351663=--1963=-16633=-+43=-（3）()2m n a b a b ±=±>两边平方可得：22m n a b ab±=+±∴m a b =+，n ab=【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键．。
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。
16.1.1二次根式的概念
2
归纳
一般地， （a≥0） ( a) a
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0 | 0 | ___.
0 02 ___,
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关 系?当 a 0 时, a 2 ____; a . a ;当a 0 时, a 2 ____
3
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)
2
2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
x≤1
y
想一想： 已知：y= x-2 + 2-x +3，求 x 的值。
解：由 x-2≥0 且 2-x≥0， 得 x≥2 且 x≤2 ∴x=2。 ∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x =2 =8
y 3
x-2 例 2：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x ≥2 且 x ≠3 。
2
4 4 4 _________
2
x 1 ( x 1)
2
x 1
( a ) 与 a 有区别吗 ?
2
2
1:从运算顺序来看,
2
a 先开方,后平方 a a≥0
人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
16.1.1二次根式的概念与性质
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例题学习 1
例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) 3 2a a1
(4) a2 1 (5) 1 3x (6) (1 a)2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a (a 0)
a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
53 53
5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
(3) (a 2)2 2 a
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
16.1.1 二次根式的概念-2018年八年级下册数学名师教学设计(沪科版)
16.1.1 二次根式的概念2018年八年级下册数学名师教学设计（沪科版）一、概念引入1. 问题引入请你们回答一个问题：什么是根式？有哪些根式的形式？带着这个问题，我们将一起来学习今天的新知识。
2. 学习目标通过本节课的学习，我们可以掌握以下几个重点： - 理解二次根式的概念；- 掌握二次根式的读法和代数表达； - 发现和利用二次根式的特性。
二、概念解释1. 二次根式的定义所谓二次根式，指的是含有平方根的式子。
通常，二次根式的一般形式可以表示为√a（a≥0），其中a是被开方数，√表示平方根。
2. 二次根式的读法当我们看到√a时，我们可以念出为“根号a”，也可以直接读作“二次根号a”。
例如，√16可以读作“根号16”或者“二次根号16”。
3. 二次根式的代数表达二次根式可以用代数形式表示，即√a = b，其中a表示被开方数，b表示开方后的结果。
4. 二次根式的特性二次根式具有以下特性： - 如果a≥0，则√a≥0； - 如果a>0，则√a>0；- 如果a>0且b>0，则√a > √b。
三、巩固练习1.用代数形式表示：√9 = ___。
2.化简：√36 = ___。
3.填空并判断大小关系：√25 ___ √49。
四、总结与拓展1. 总结通过本节课的学习，我们学习了二次根式的概念、读法和代数表达方式，并掌握了二次根式的特性。
同学们通过巩固练习，加深了对二次根式的理解。
2. 拓展在实际应用中，二次根式经常出现在几何图形的计算中，如计算三角形的边长、正方形的对角线长度等。
所以，同学们在学习二次根式的同时，可以了解一些与几何有关的知识，加深对数学的应用理解。
五、思考题1.如果a<0，那么√a是否有意义？为什么？2.请列举一个无理数的例子，并解释其特征。
以上就是今天关于二次根式的概念的全部内容，希望同学们通过本节课的学习，对二次根式有更深入的认识。
同学们要积极思考思考题，并加深对二次根式的理解。
人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念
(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？ 分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数 ，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式， 叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需 要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式 子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分 代数式 的值为0，则a= .
代数式 的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游 【戏变规式则 训： 练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
§16.1(1)二次根式的概念和性质
16.1(1)二次根式的概念和性质【教学目标】1、理解二次根式的概念，知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；2.理解a 有意义的条件，理解a a =2，掌握二次根式的性质；3．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围.【教学重点和难点】 理解a 有意义的条件，掌握a a =2，并能运用其熟练计算.由引出并理解二次根式有意义所必须满足的条件. 通过练习使学生掌握如何求二次根式中字母的取值范围. 回顾数的开方中所学知识，归纳得出二次根式的性质. 最后通过习题进一步巩固和运用二次根式的性质.【教学过程】一、复习引入1、提问：在实数一章中，我们学习了开平方运算，4的的平方根可表示为什么？2、正数a 的平方根可表示为什么？a ±3、0的平方根是什么？4、负数呢？5、2a 和2)(a 中a 的取值范围是什么？二、学习新知（一）二次根式的概念a （a 0≥）中的a 在以前的学习中是一个数，现在将它的取值范围扩大到代数式，于是得到： 代数式a （a 0≥）叫做二次根式，a 是被开方数，读法与原来一样. 举例说明：2、32、12+a 、)04(422≥--acb ac b 、)2(21>-x x 等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以象5-，)0(<b b 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.2、例题例1、设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？1）12-x ；2）x -2；3）x 1；4）21x + 解：（1）由012≥-x ，得21≥x ∴当21≥x 时，12-x 有意义 （2）由02≥-x ，得2≤x∴当2≤x 时，x -2有意义（3）由01≥x以及x ≠0，可知x 与1同号，得0>x ∴当0>x 时，x1有意义（4）因为不论x 是什么实数，都有02≥x ，可知012>+x .所以，当x 是任何实数时，21x +都有意义补充练习：当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ 1）1-x ；2）x 2-；3）32+x ；4）21-x 如果题目中的“有意义”改成“无意义”呢？（二）二次根式的性质1、由数的开方引出，二次根式的两个性质：（1）)0(2≥=a a a ；（2）)0()(2≥=a a a2、填表，书P3.填表后，由学生归纳出当a 为任意实数时，2a 与a 的关系.即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 3、性质的应用例2、求下列二次根式的值： (1)2)3(π-； (2)122+-x x ，其中3-=x .解：(1)2)3(π-=|3-π|∵03<-π∴|3-π|=-(3-π)=π-3 ∴2)3(π-=π-3 (2)122+-x x =2)1(-x =|x -1| 当3-=x 时，原式=|-3-1|∵-3-1<0,∴|-3-1|=-(-3-1)=3+1 ∴当3-=x 时，122+-x x =3+1补充练习：求下列二次根式的值： 1) 2)3(-; 2) 2)32(-; 3) 962+-a a ，其中22+=a(三)课内练习书P4/1、2、3在做练习时，先让学生看清是否需要化简其中的第3题有一定难度，老师可以适当引导三、小结1.要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，同时还要特别注意当分母含有字母时分母要不等于0.2.能根据2a 与a 的关系求出被开方数是完全平方数的二次根式的值，在计算时可先将其整理，尤其注意符号.四、作业练习册习题16.1(1)。
初中数学：16.1.1二次根式的概念(人教版八年级数学下册第十六章二次根式)
第16章二次根式16．1二次根式第1课时二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h 5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)；(7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x ；(2)3－xx －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)－x ≥0，－2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x x －2有意义；(3)＋5≥0，≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)a ＋8＝0，－3＝0，＝－4，＝3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)－3≥0，－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．。
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自学指导
内容：精读课本 P2-3的内容 要求： 1.理解二次根式的概念 2.找出二次根式有意义的条件 a 0 3.二次根式的双重非负性是什么？ a 0(a 0) 时间：6分钟
自学效果检测
1.若正方形的面积S，则
S 正方形的边长是___S___
2.圆形的面积为 6.28,则半径
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号) ， (6) a2 1 , (7) 3 5
自学效果检测
例2.当x是怎样的实数时, 3x 1在实数范围内
有意义?
解：由3x-1≥0，得：x≥
1 3
1
当x≥ 3时，在实数范围内有意义．
当堂训练（一）
（3）二次根式的性质: a ≥0 (a≥0) 双重非负性
为 ____2___（设圆周率为 3.14）.
6.28
3.h=5t2,则t=_____h__ 5
自学效果检测 形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数 定义包含三个内容:
1.必需含有二次根号 “ ”. 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.
自学效果检测 例1.下列式子中,是二次根式的 有 ___(_1_)(_4_)_(6_)__________(填序号)
能力提升
已知 y 3 x x 3 5,求 x 的值 y
思考: a (a≥0)是一个什么数?
非负数 即 a ≥0能力提升例4.已知 (a 2)2 b 8 0,求 ab的值.
题型：利用二次根式的双重非负性解题
课堂小结 （1）二次根式的概念
形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. （2）二次根式有意义的条件 a≥0
1
例3．当x是多少时， 2x 3 在实数范围内有意义？
+
x 1
解：依题意，得
2x 3 0 x 1 0
由①得：x≥- 3由②得：x≠-1
2
3
当x≥- 且2 x≠-1时，在实数范围内有意义．
二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。