双钩函数
对勾函数模型
第十周 对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b x (ab >0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．2．对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞， ]∪[，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－b a )，(b a ，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． (5)渐近线：y 轴与y=ax(或y=-ax)3．y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a. 求分界点方法：令ax ＝b x ⇒x ＝±b a . 特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x的单调区间的分界点：±a .4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x ≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a时取等号． 在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax 和b x 都是正项，且二者乘积为定值，同时ax ＝b x中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析例1 已知f (x )＝x ＋5x，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．【解析】如图，f (x )在 (－∞，－5)，(5，＋∞)上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝412. (2)因为f (x )在[3,4]上单调递增，所以f (x )min ＝f (3)＝423.(3)因为f (x )在[－3，－ 5 ]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f (－3)＝－423， f (－1)＝－6，所以f (x )min ＝－6.变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．【解析】f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4令t ＝x 2＋4，则t ≥2，y ＝t ＋1t. ∵y ＝t ＋1t在[2，＋∞)单调递增， ∴当t ＝2时，y min ＝2＋12＝52， 此时，x 2＋4＝2，x ＝0.综上，f (x )的最小值为52，此时x 的值为0. 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 【解析】令t ＝x ＋2，则x ＝t －2, 2≤t ≤5，y ＝(t －2)2－2(t －2)－1t＝t 2－6t ＋7t ＝t ＋7t－6,2≤t ≤5. ∵y ＝t ＋7t－6在[2，7 ]上单调递减，在[7， 5]上单调递增， ∴当t ＝7时，y min ＝27－6，且当t ＝2时，y ＝2＋72－6＝－12，当t ＝5时，y ＝5＋75－6＝25，∴y max ＝25. 综上，f (x )的值域为[27－6，25]． 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域． 【解析】f (x )＝x 2－4x ＋12x －1＝(x －1)2－2(x －1)＋9x －1＝x －1＋9x －1－2， 令t ＝x －1，则f (t )＝t ＋9t－2，t ∈[1,4]． 结合y ＝t ＋9t的图象与性质， 可知当t ∈[1,3]时，函数单调递减，当t ∈[3,4]时，函数单调递增，又f (1)＝8，f (3)＝4，f (4)＝174， 所以f (x )∈[4,8]．例3 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为g (n )＝kn ＋1(k >0，k 为常数，n ∈Z 且n ≥0)，若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求k 的值，并求出f (n )的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g (n )＝k n ＋1，当n ＝0时，由题意， 可得k ＝8，所以f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n (n ∈Z 且n ≥0)．(2)由f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n ＝1 000－80(n ＋1＋9n ＋1) ≤1 000－80×29＝520，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时取等号， 所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．变式训练 建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)．池壁，池底造价分别为a 元/米2和2a 元/ 米2.底面一边长为x 米，总造价为y .写出y 与x 的函数式，问底面边长x 为何值时总造价y 最低，是多少？【解析】长方体底面积S ＝8008＝100米2，地面一边长为x 米， 因此另一边长为100x米， 池壁总面积为8·(2x ＋200x)米2， ∴ 总造价y ＝100×2a ＋(2x ＋200x )·8·a ＝200a ＋16a (x ＋100x)(x >0)． ∵函数y ＝200a ＋16a (x ＋100x)在(0,10]上是减函数，在(10，＋∞)上是增函数， ∴ 当x ＝10时，总造价最低，且y min ＝520a (元)．跟踪训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2xC ．y ＝21＋x ＋21－xD ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5) C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________． 5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________． 6．函数y ＝x ＋3x在区间[1,2]上的最小值为____________． 7．若函数y ＝x ＋a x(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．建造一个容积为8m 3，深为2 m 的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为____________元．9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．(1)求出y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小？并求出y的最小值．11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .13．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求出最小值．参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ；B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ；C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )， 换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t)≥4， 当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，则y ＝t ＋1t＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项． 综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B. 3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x＋2， 换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]，y ＝t ＋4t＋2，函数在(1,2]上单调递减， 若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7， 若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6， 故函数值域为[6,7)．4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1，y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t－2， 函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6 解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值6. 6．2 3解析 因为y ＝x ＋3x在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5]8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x ＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x， 则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160 ＝8010(2x ＋5x)＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x <106， 则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x)＝2 400(x ＋400x)， 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x)(0<x <106)． (2)y ＝2400(x ＋400x )≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立． 故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元．11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x＋2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2>2，∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112. (2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a .又∵f (x )min ＝112，∴a <112. 12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x， x ∈[1，＋∞)． 令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)， ∴不能用不等式求最值．设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2) ＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f min (x )＝f (1)＝32. (2)当0<a <1时，令x ＝a x，得x ＝a <1, ∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4，得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋a x ≥2a ， 当x ＝a x，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4， 解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ，∴C (x )＝403x ＋5， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10， 设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]，∴y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t－10＝70， 当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立． 这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．特殊对勾函数f (x )＝x ＋ x1 2 3 4 f (x ) 4 3 2 2 2 3 4‘’(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2 ]∪[2，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－1)，(1，＋∞)上↗；(－1，0)，(0，1)上↘．(5)分界点(拐点)坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6)渐近线(7)Y=x和x=0。
对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。
中文名对勾函数别称耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数表达式f(x)=ax+b/x (a>0)1定义定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。
名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
2性质图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。
奇偶性、单调性奇偶性双勾函数是奇函数。
单调性令k=，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一对勾函数点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
3对勾函数最小值与均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道展开，得，即两边同时加上2ab，整理得，两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b代入上式，得这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
4导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
对勾函数的图象及性质
对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。
由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。
在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。
研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。
2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。
3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。
定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。
值域：。
单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。
奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。
x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。
2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。
利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。
3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。
不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。
实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。
4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。
5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。
四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。
双勾函数的图像与性质课件
双勾函数的性质
总结词
双勾函数具有一些特殊的性质，如对 称性、周期性和最值等。
详细描述
双勾函数图像关于直线y=kx（k为常 数）对称，同时具有周期性，其最小 正周期为2π。此外，双勾函数在特定 点取得最大值和最小值。
双勾函数的图像
总结词
双勾函数的图像呈现双勾形状，具有特定的对称性和周期性 。
详细描述
连线
使用平滑的曲线将这些点 连接起来，形成双勾函数 的图像。
双勾函数图像的特性
对称性
双勾函数的图像关于直 线y=x对称。
形状
双勾函数的图像是一个 半圆弧形状，类似于两
个勾子相交的形状。
定义域和值域
双勾函数的定义域为[1,1]，值域为[0,1]。
奇偶性
双勾函数是奇函数，即 f(-x)=-f(x)。
03
05
双勾函数与其他数学知 识的联系
与三角函数的联系
三角函数与双勾函数在图像上具有相似性，可以通过三角函数来理解双勾函数的图 像变化。
双勾函数的周期性与三角函数的周期性相呼应，可以通过三角函数的周期性来理解 双勾函数的周期性。
三角函数中的正弦、余弦函数与双勾函数中的f(x)=ax+b/x在特定条件下具有等价性 。
双勾函数的图像是一个类似于两个山峰和两个谷底的波形曲 线。图像关于直线y=kx（k为常数）对称，并且在特定点取 得最大值和最小值。通过调整参数a和b的值，可以改变双勾 函数的形状和大小。
02
双勾函数的图像绘制
使用数学软件绘制双勾函数图像
软件选择：选择合适的数学软件，如 GeoGebra、Desmos或Wolfram Alpha等，这些软件都支持双勾函数的 绘制。
在机械工程中，双勾函数可以用 于描述机械系统的振动和稳定性
耐克函数
双钩函数函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数。
（注：形如±ax-b/x 的函数不是双钩函数）该函数是奇函数，图象关于原点对称。
位于第一、三象限。
当x>0时，由基本不等式(均值不等式)可得：y ≥2√ab当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(√(b/a)，2√ab)，图象在(0，√(b/a))上是单调递减的，在(√(b/a)，+∝)上是单调递增同理：当x<0时，由基本不等式可得：y≤-2√ab当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(-√(b/a)，-2√ab)，图象在(-∝，-√(b/a))上是单调递增,在(-√(b/a)，0)上是单调递减的.当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况因为它是奇函数所以，当x<0时，由基本不等式可得：y≤-2√ab当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a）时取等号。
故其顶点坐标为(-√(b/a），-2√ab)，图象在(-∝，-√(b/a)）上是单调递增,在(-√(b/a），0)上是单调递减的.当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况下面我们证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性设x1>x2且x1，x2∈(0，+∝)则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2）=a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2=（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2因为x1>x2，则x1-x2>0当x∈(0，√(b/a）)时，x1x2<b/a则ax1x2-b<b-b=0所以f(x1)-f(x2)<0，即x∈(0，√(b/a）)时，f(x)=ax+b/x单调递减；当x∈(√(b/a），+∞)时，x1x2>b/a则ax1x2-b>b-b=0所以f(x1)-f(x2)>0，即x∈(√(b/a），+∞)时，f(x)=ax+b/x单调递增。
双勾函数与不等式的应用
单调递减区间为 1,0, 0,1 -1 o 1 x 1 的值域 例1 求函数 y x -2 x 1 1 1 y x x 1 1 解： x 1 x 1 令x-1=u，则 u (,1) (1,) 当且仅当x 2时 y 3 1 上式可化为 y u 1 当且仅当x 2时 y 1 u
当x 0时, y x
1 1 2 x 2 x x
当且仅当x=1时，y=2
当x 0时, y x
y 2 4 0
y ,2 2 解得： 当且仅当x=1时，y=2 x=-1时，y=-2
1 1 ( x ) ( ) x x
答 案
2 3、已知正数a、b满足 a b 1 求a+b的最小值。
4、求函数
1 y sin x cos x sin 2 x cos 2 x
2 2
的最小值。
答案
5、求函数 y sin x cos x 的最值
2
解：函数 y sin x cos x x (0, ) ( , ) y 2 sin 4 x cos2 x 2 2
6 r 2 6 当sin 2 cos 得tg 2 , sin , 此时 2 3 R 3
6 当剪去扇形的圆心角为2 (1 )时, 所做漏斗的容量最大 . 3
例5、过点P（1，4）引一直线l，它在两条坐标轴上的截距皆为 正且它们的和最小，求这条直线的方程。 分析：首先设出过P点的直线l:y-4=k(x-1)，于是l与两坐标轴的 交点分别是
解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其 中k>0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。 根 据题设，有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)， 得 b=30-a/2+a(0<a<30)， ①
双钩函数
双钩函数函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数。
（注：形如±ax-b/x 的函数不是双钩函数）该函数是奇函数，图象关于原点对称。
位于第一、三象限。
当x>0时，由基本不等式(均值不等式)可得：y ≥2√ab当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(√(b/a)，2√ab)，图象在(0，√(b/a))上是单调递减的，在(√(b/a)，+∝)上是单调递增同理：当x<0时，由基本不等式可得：y≤-2√ab当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(-√(b/a)，-2√ab)，图象在(-∝，-√(b/a))上是单调递增,在(-√(b/a)，0)上是单调递减的.当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况下面我们证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性设x1>x2且x1，x2∈(0，+∝)则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2）=a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2=（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2因为x1>x2，则x1-x2>0当x∈(0，√(b/a）)时，x1x2<b/a则ax1x2-b<b-b=0所以f(x1)-f(x2)<0，即x∈(0，√(b/a）)时，f(x)=ax+b/x单调递减；当x∈(√(b/a），+∞)时，x1x2>b/a则ax1x2-b>b-b=0所以f(x1)-f(x2)>0，即x∈(√(b/a），+∞)时，f(x)=ax+b/x单调递增。
(完整版)“双勾函数”的性质及应用
“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数2y =的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，2y ==，此时如果利用均值不等式，即2y =，等式成立的条件为==显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义我们把形如()kf x x x=+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()kf x x x=+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x二次函数图像“双勾函数”图像的增大而增大；当2bx a=-时，函数y 有最小值244ac b a - ．②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x的增大而减小．当2bx a=-时，函数y 有最大值244ac b a -．（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >时，在x =y 随着x的增大而减小；在x =y 随着x的增大而增大；当x =y有最小值．②当0x <时，在x =y 随着x 的增大而增大；在x =y 随着x的增大而减小．当x =y有最大值-综上知，函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则1212121212121212()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x xx x x x ---=+--==--．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==，2010kx -=可得到x =因此又找到两个分界点．这样就把()f x 的定义域分为(,-∞，[，，)+∞四个区间，再讨论它的单调性．设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212()()()()0x x x x k k k f x f xx x x x x x ---=+--=>，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减．同理可得，()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单调递减．故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．性质启发：由函数()(0)kf x x k x=+>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 （1）“二次函数”的区间最值设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x ba=-2， ①当a >0时，抛物线开口向上．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值． ②当0a <时，抛物线开口向下．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值． 以上，作图可得结论． ①当a >0时，max121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，；min345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，．图1 图2 图3 图4 图5②当a <0时，max678()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，．（2）“双勾函数”的区间最值 设()(0)kf x x k x=+>，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：①当0x >时，其图像为第一象限部分．[]m n ，，则函数必在界点x =函数值；[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =得最大值，较近端点处取得最小值．②当0x <时，其图像为第三象限部分．若[]m n ，，则函数必在界点x =最小值需比较两个端点处的函数值；若[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当0x >时，图7 图9图10max()(,()max{(),([,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)min()(,()[,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)②当0x <时，max()(,()([,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)min()(,()min{(),()},[,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式近似地表示为230400010x y x =-+．问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；图11 图12图13图14图15图16（2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为yS x=万元． 即400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-，因为函数在区间(0,200]上为减函数，在区间[200,)+∞上为增函数．所以当200x =时，函数400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-有最小值为140000(200)301010200S =+-=最小（万元）， 所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．（2）设年获得总利润为Q 万元，则2211616304000(230)12901010x Q x y x x x =-=-+-=-+， 当230(150,250)x =∈，1290Q =最大，故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元．评注：本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶． 分析：要计算全程的运输成本s bv vabv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，所要解决的问题是求bv va+何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba的大小． 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为s bv vabv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为： )(bv vas y +⋅=，],0(c v ∈．（2）设()()aab u f v bv b v v v==+=+，∴u 在],0(b a上是减函数，在)+∞上是增函数． ①若ba≤c ，结合“双勾函数”的性质知， 当bav =时运输成本y 最小． ②若c ba>，函数在],0(c 上单调递减，所以当c v =时，全程运输成本最小． 评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．例3（2006安徽高考）已知函数()f x 在R 上有定义，对任意实数0a >和任意实数x ，都有()()f ax af x =．（Ⅰ）证明(0)0f =；（Ⅱ）证明0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >，设1()()(0)()g x f x x f x =+>，讨论()g x 在(0)+∞，内的单调性并求最值．分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．证明：（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =． （Ⅱ）①令x a =，∵0a >，∴0x >，则()()2f x xf x =．假设0x ≥时，()f x kx =(k ∈R ），则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=，∴()()2f x xf x =，即()f x kx =成立．②令x a =-，∵0a >，∴0x <，()()2f xxf x -=-假设0x <时，()f x hx =()h R ∈，则()22f x hx -=-，而()2xf x x hx hx-=-⋅=-，∴()()2f xxf x -=-，即()f x hx =成立．∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立．（Ⅲ）当0x >时，()()()2111()k g x f x kx k x f x kx x=+=+=+， 由“双勾函数”性质知在1(0,]k 上为减函数，在1[,)k+∞上为增函数， 所以当1x k=时，min [()]2g x =． 评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求23[,]34λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元x ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为x cm ，宽为x λcm ，则24840x λ= 设纸张面积为S cm 2，则有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++,将2210x λ=代入上式得,58500035210(S λλ=+,(0)t t λ=>，则58()500035210()(0)S t t t t=++>，函数S 在5]8上为减函数，在5[,)8+∞上为增函数， 所以当58t =S 取最小值， 此时55(1)88λ=<，高：484088x λ==cm ，宽：588558x λ=⨯=cm ．如果23[,]34λ∈，则)t ∈⊆+∞，所以函数S 在上为增函数，故当t =S 取最小值，此时23λ=． 评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画． 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．。
双钩函数课件shuanggou
4.建筑一个容积为800米3,深8米的长方体 水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2 和2a元/ 米2.底面一边长为x米,总造价为y. 写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时 总造价y最低,是多少?
解:长方体底面积S=100米 ,
2
100 底面另一边长为 x 200 池壁总面积为8 (2 x )米2 x
60 (1).C<60时,函数t=x 在x 0,C 递减 x 60 100(C 2 60) x C时,ymin 100(C ) C C
y
60 (2).C 60时,函数t=x ,对于x C包含最 x 1200 3600 小点,x 60时,y min 100(60 ) 12000 60
1 3.已知实数a, b R , a +b=1, ab 4 1 1 (1).试用a, b表示(a )(b ) a b 1 1 (2).求(a )(b )的最小值. a b
解: 1 1 b a 1 1 a b (1).(a )(b ) ab ab a b a b ab ab ab 2 2 2 2 a+b=1, a b +2ab=1 a b =1-2ab代入上式
0
答:C<60时,汽车以C速度行驶,C 60C Nhomakorabeax
C 60时,汽车以60速度行驶,运输成本最低.
四.小结:
上式中x2 x1 0,为使上式符号确定,
对任意x1x2 , x1 x2 a或x1 x2 <a都成立.
当x1 x2 >a时,由x1 ,x2是任意的,知x1 ,x2可 无限接近.而x1 ,x2在同一个区间取值, 知x1 ,x2 ( a,+)时,x1 x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f ( x1 ). 所以x ( a,+)时,f(x)是增函数. 同时可知,x (0, a )时,f(x)是减函数.
对勾函数的七种变式和十种方法
对勾函数的七种变式和十种方法对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()b f x ax x=+（0ab >）的函数； 对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时, 对勾函数()b f x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()b f x x=“叠加”而成的函数； （1）当,a b 同号时, 对勾函数()b f x ax x =+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当,a b 异号时, 对勾函数()b f x ax x=+的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的变式 变式1、函数2()(0)ax bx c f x ac x++=>； 此类函数可变形为：()c f x ax b x =++，则()f x 可由对勾函数c y ax x =+上下平移得到； 变式2、函数()(0,0)a f x x a k x k=+>≠+； 此类函数可变形为：()a f x x k k x k ⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭,则()f x 可由对勾函数a y x x =+左右平移, 上下平移得到；变式3、函数2()(0,0)ax f x a b x b=≠>+； 此类函数可变形为：2()a a f x bx b x x x==++； 变式4、函数2()(0)ax bx c f x a x m++=≠+ 此类函数可变形为：2()()()()(0)a x m s x m t t f x a x m s at x m x m++++==+++>++ ,则 ()f x 可由对勾函数t y ax x=+左右平移，上下平移得到； 变式5、函数2()(0)x m f x a ax bx c+=≠++ 此类函数可变形为：21()(0)()()()x m f x at t a x m s x m t a x m s x m +==>++++++++； 变式6、函数()f x =；此类函数可变形为：()0)f x b a ==->； 变式7、函数2()0)f x a =>；此类函数可变形为：2()0)b a f x b a +-==->；十种求法探求对勾函数最值一、均值不等式 ∵10,2x y x x >∴=+≥,当且仅当1x x=,即1x =的时候不等式取到“=”. ∴当1x =的时候,min 2y =二、判别式法2110y x x yx x=+⇒-+= 若y 的最小值存在,则240y ∆=-≥必需存在，即2y ≥或2y ≤-(含）找到使2y =时,存在相应的x 即可.通过观察当1x =的时候,min 2y =三、单调性定义设120x x <<()()()()121212121212121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+-=--=- ⎪⎝⎭ 当对于任意的12,x x ,只有12,(0,1]x x ∈时,()()120,f x f x ->∴此时()f x 单调递增;当对于任意的12,x x ,只有12,(1,)x x ∈+∞时,()()120,f x f x -<∴此时()f x 单调递减.∴当1x =取到最小值,min (1)2y f ==四、复合函数的单调性212y x x =+=+t =在(0,)+∞单调递增,22y t =+在(,0)-∞单调递减;在[0,)+∞单调递增 又(0,1)(,0)[1,)[0,)x t x t ∈⇒∈-∞∈+∞⇒∈+∞五、求一阶导 2111y x y x x =+⇒'=- 当(0,1)x ∈时,0y '<,函数单调递减;当[1,)x ∈+∞时，0y '>,函数单调递增.∴当1x =取到最小值,min (1)2y f ==六、三角代换令tan ,0,2x παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,则1cot x α= 12tan cot ,0,sin 22y x x παααα⎛⎫=+=+=∈ ⎪⎝⎭2(0,)απ⇒∈ ∴当4πα=,即22πα=时,max min (sin 2)1,2,y α==显然此时1x =七、向量11111,,,(1,1)||||cos 2||cos y x x a b a x b a b a b a x x x θθ⎛⎫=+=⋅+⋅=⋅==⋅=⋅ ⎪⎝⎭根据图象,a 为起点在原点，终点在1(0)y x x =>图象上的一个向量,||cos a θ的几何意义为a 在b 上的投影，显然当a b =时,||cos a θ取得最小值.此时,min 1,222x y ==⋅=八、图象相减11y x x x x ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭,即y 表示函数y x =和1y x =-两者之间的距离求min y ,即为求两曲线坚直距离的最小值,平移直线y x =,显然当y x =与1y x=-相切时，两曲线坚直距离最小. 1y x =-关于直线y x =-轴对称，若y x =与1y x=-在1x >处有一交点,根据对称性,在01x <<处也必有一个交点,即此时y x =与1y x =-相交.显然不是距离最小的情况.所以，切点一定为(1,1)-点.此时,min 1,2x y ==九、平面几何依据直角三角形射影定理,设1,AE x EB x ==,则1AB AD x x ==+显然,1x x+为菱形的一条边,只用当AD AB ⊥,即AD 为直线AB 和CD 之间的距离时,1x x+取得最小值.即四边形ABCD 为矩形. 此时,1x x =,即min 1,2x y ==十、对应法则设()222min 21[()],,(0,),(0,),f x t f x x x x x ==+∈+∞∈+∞对应法则也相同()2222in 11,()()2m f x t f x x f x x x x ⎡⎤∴==+⇒=++⎣⎦左边的最小值=右边的最小值221t t t ∴=+⇒=-(舍)或2t =当2x P x ==,即1x =时取到最小值,且min 2y =。