二次根式的概念和性质PPT
合集下载
二次根式ppt
在实际生活中的应用
勾股定理的应用
在实际生活中，勾股定理的应用非常广泛，如测量、建筑、 工程等方面。而二次根式是勾股定理的基础，因此在实际生 活中也经常用到。
数据处理和分析
在数据处理和分析中，二次根式也经常被用到。例如，在计 算一组数据的标准差、方差等统计量时，需要用到二次根式 的运算法则。
THANKS
VS
在数学上，二次根式可以用来解决 一些代数方程的求解问题，而平方 根则可以用来进行一些代数式的化 简问题。
02
二次根式的运算
二次根式的加减法
概念
二次根式的加减法是指根据二次根式的性质，对 二次根式进行合并同类项的过程。
规则
合并同类项时，要将同类项的系数相加，根指数 不变。
注意事项
合并同类项时，不要漏掉系数为1的项。
二次根式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 二次根式的定义和性质 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用
01
二次根式的定义和性质
二次根式的定义
非负性
由于二次根式对实数a的取值没有要求，因此其定义域为全体 实数，即对于任意实数a，都有a≥0。
唯一性
一个正数的二次根式有两个，它们是互为相反数，而0的二次 根式是0本身。
二次根式的性质
变换性质
当一个二次根式的系数是负数时，可以将该二次根式转化为与其相反数的二 次根式。
简化性质
当一个二次根式的被开方数相同或互为相反数时，可以将该二次根式进行合 并或抵消。
二次根式和平方根的区别
二次根式是指一个数的所有二次方 根的集合，其中包含了正负两个方 向的平方根，而平方根则仅指一个 数的正的平方根。
感谢观看
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
《二次根式和它的性质》PPT课件
二次根式和它的性质
我国自主研制的第一艘载人航 天飞船“神舟5号”于2003年10月15 日发射成功．
（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的 速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行 的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的 计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半 径.你能求出第一宇宙速度吗？
( 双重非负性)
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ≥0，（x+2）2+ y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的 轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度 为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 ，丁苗圃的边长是多少？ p 米
p
（4）你发现上面各题的答案有什么共同特点？与学过的算术平方根等相比有什 么共同点？与同学交流．
式子 S+25 ， 2S ，
s
第五讲二次根式PPT课件
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
华师版九年级数学上册二次根式的概念ppt
二次根式的简化
通过因式分解、完全平方公式 等手段，将被开方数化为最简 形式。
利用二次根式的性质，如根式 的乘除法性质和加减法性质， 简化二次根式。
合并同类项：将二次根式中的 同类项合并，简化表达式。
02 二次根式的运算
二次根式的乘除法
乘法运算
根据乘法分配律，将二次根式相 乘转化为根号内相乘，再化简结 果。
通过二次质和特点。
二次根式与代数式的联系
二次根式是一种代数式，它可以与其他代数式进行运算和化 简。
通过二次根式的运算和化简，我们可以得到更简洁、更易于 理解和应用的代数式，从而更好地解决各种数学问题。
04 实际应用中的二次根式
除法运算
将除法转化为乘法，再利用乘法 运算法则进行化简。
二次根式的加减法
同类二次根式的加减
将二次根式化为最简形式后，合并同类项。
非同类二次根式的加减
先化为最简形式，再进行加减运算。
二次根式的混合运算
运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算。
运算技巧
利用乘法分配律、提取公因式等技巧简化计算过程。
03 二次根式与其他数学概念 的联系
生活中的二次根式实例
计算物体面积和体积
物理学中的力学
例如计算矩形的面积（√长 × 宽）或 圆柱体的体积（π × r^2 × h）时， 需要使用二次根式。
在计算力的合成与分解、加速度、速 度等物理量时，也常常需要使用到二 次根式。
建筑测量
在建筑行业中，测量长度、宽度、高 度等参数时，常常需要使用到二次根 式来计算。
二次根式与平方根的联系
01
二次根式是平方根的推广，它可以 表示任意非负实数的平方根。例如， √4 = 2，√(-4) 无意义。
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
华师版九年级数学上册 二次根式的概念ppt
$sqrt{2}$ $sqrt[3]{8}$ $sqrt{a}$ (a > 0)
基础练习题
$sqrt{ab}$ (a > 0, b > 0)
填空题：化简二次根式$sqrt{28}$的结果是____。
提高练习题
计算题
求$sqrt{2} times sqrt{3}$的值。
化简题
平方根
$sqrt{a^2} = |a|$，表示$a$的绝 对值。
算术平方根
$sqrt{a^2} = a$（当$a geq 0$）， 表示非负数$a$的平方根。
02
二次根式的化简
根号下是一个平方数
直接开平法
如果被开方数是平方数，则直接开平方得到结果。例如： $sqrt{16} = 4$。
乘除法
如果被开方数是平方数，可以通过乘除法简化。例如： $sqrt{25/4} = sqrt{25} div sqrt{4} = 5 div 2 = 2.5$。
华师版九年级数学上册 二次根 式的概念
目
CONTENCT
录
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 练习与巩固
01
二次根式的定义与性质
定义
二次根式是指形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的代数式，其中 "$sqrt{}$"表示开平方运算。
化简结果
在完成混合运算后，应将结果 化简为最简形式，确保结果的 准确性和简洁性。
04
二次根式的应用
解决实际问题
计算物体的高度或长度
通过已知的长度或高度与影子的比例 关系，利用二次根式计算未知的高度 或长度。
求解最值问题
求解面积问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
二次根式的性质（２）
想一想 a 2 a 0 等于什么?请举例验证.
性质２： a 2 a,(a 0)
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ；
当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
a (a 0)
a2 a a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
例3 计算：
(3 2)2 | 4 2 | 53 53
书P7的课内练习
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
不要忽略
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
(3) (a 2)2 2 a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化简: x2 6x 9 x2 2x 1
(其中 -1 x 3)
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
人教版八年级下册数学
二次根式
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
2
(1) 15 (2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
(4) 1 2a a2 (a＞1 )
(5) (x 1)2 9 6x x2
(1＜x＜3 )
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a2与( a）2
课本 第10页 l练习１和2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。 也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
试一试（3）计算:
2
3
=
3
2
5 2
=
5 2
0.04
2
=
0.04
我们已经得到:
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a a, (a 0)
根据等式的定义，可得
a
a
2
, (a
0。)
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写
成一个数的平方的形式。如 4= 4 2 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 00..0044,, aa2 ,2 ,
5,
aa,, 3 8.
定义：式子 a (a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
2
3=
3 2，
5 2
5 2
0.04
2
0.04
( a )2 a (a 0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 3
-
2 3
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3. a2 与 （√ a ）2 是一样的吗？
你的理由是什么，请小组讨论一下。
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
二次根式的性质（２）
想一想 a 2 a 0 等于什么?请举例验证.
性质２： a 2 a,(a 0)
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ；
当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
a (a 0)
a2 a a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
例3 计算：
(3 2)2 | 4 2 | 53 53
书P7的课内练习
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
不要忽略
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
(3) (a 2)2 2 a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化简: x2 6x 9 x2 2x 1
(其中 -1 x 3)
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
人教版八年级下册数学
二次根式
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
2
(1) 15 (2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
(4) 1 2a a2 (a＞1 )
(5) (x 1)2 9 6x x2
(1＜x＜3 )
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a2与( a）2
课本 第10页 l练习１和2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。 也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
试一试（3）计算:
2
3
=
3
2
5 2
=
5 2
0.04
2
=
0.04
我们已经得到:
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a a, (a 0)
根据等式的定义，可得
a
a
2
, (a
0。)
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写
成一个数的平方的形式。如 4= 4 2 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 00..0044,, aa2 ,2 ,
5,
aa,, 3 8.
定义：式子 a (a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
2
3=
3 2，
5 2
5 2
0.04
2
0.04
( a )2 a (a 0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 3
-
2 3
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3. a2 与 （√ a ）2 是一样的吗？
你的理由是什么，请小组讨论一下。
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。