二次根式的概念和性质

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做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
5、 x-3 + 4-x
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
C.1
D.-1
练习
１.已知 y =
x- 2 + 2 - x + 3，求x、y的值.
x=2，y=3 ２.已知 a 4 | 3 a | a ，求a的值. a≥4 a 4 a 3 a，即 a 4 3 a-4=9，则 a=13
12 n为一个整数, 求自然数n的值.
2
2
x 1 （２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ， 则Ｘ的取值范围是＿＿＿ x2
（４）若
( x 7) ， 1 x7 x7 则Ｘ的取值范围是＿＿＿
2
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
算一算：(1) (3) （-9） 64
2
a
-a
； 。
。
|a|
(2)
1 2 ( ) 3
(4) (x2+1)2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
a a
2
归 纳
由
a aa 0,可以得
a
2
a , ( a 0)
a
a , (a 0。 )
2
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写 2 成一个数的平方的形式。如 4= 4 。

试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3 ，
2
5 2
5 2
2
0.04

0.04

2
( a ) a (a 0)
2
2 2 ( ) 7
2
面积 a
a
a
2 7
1 1 2 ( 2 ) 2 3 3
( 5 ) 5
2 2 -2 ( ) 3 3
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
想一想： a2 等于什么呢？
a 与 （√ a ） 是一样的吗？ 你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
没有 负数有没有算术平方根？
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 2. _____时， 3 x 有意义。 x ≤3 有意义的条件是 a 4 .
a 4+ 4 a
1 x 5 3 x
3.求下列二次根式中字母的取值范围
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键 例 已知 x - 1 +
x- 1+ y + 3 = 0 ，求x＋y的值 y + 3 ≥０，
解：∵ x - 1 ≥０，
y+ 3 = 0
∴ x - 1 ＝０， y + 3 ＝０ ∴x＝１，y＝－３ ∴x＋y＝－２
例
求下列二次根式的值
(1) (3 - p )
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 16, 81, 0, , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即 : a 0
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
3,
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 1 也叫做二次根式。如
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
a ≥0
4. a≥0,
( 双重非负性)
x-2 例 3：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0,
得 x≥2 且 x≠3。
x-2 想一想： 假如把题目改为： 要使 有意义， x-1 字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数 。 零的算术平方根是
0。
化简：
(1)
2
10
（ 2）
2
a
4
(3) (4)
(5)
1 2a a
2
ab
2 2
(a＜0,b＞0) (a＞1 )
2
( x 1) 9 6 x x
(1＜x＜3 )
( a ) a(a 0)
2
a ( a 0 ) 2 a a a(a 0)
注意区别 a 与( a）
练习1：把下列各式化为最简二次根 3 式 1 2 x 2
5
5 5
32
7
2 7 7
3y
4 2
x 6 xy 3y
练习：把下列各式化成最简二次根式
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知：
x4
+
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且
x 1
A.3
+3(y-2)2 =0,则x-y的值为(
D )
B.-3
例3 计算：
3 2 2 4 2 ( ) | | 5 3 5 3
书P7的课内练习
( a ) a (a 0)
2
a ( a 0 ) 2 a a a(a 0)
a 与（ a）一样吗？ 你的理由是什么？
2 2
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a ) a
2
(2) x - 2 x + 1( x = -
2
3)
解：(1)
(3 - p ) 2 = | 3 - p |
∵ 3- p < 0 ∴ (3 - p ) 2 = p - 3 (2)
x2 - 2x + 1 = ( x - 1) 2 = | x - 1|
当x＝∴当x＝-
3 时，x－１<０ 3时，
x2 - 2 x + 1 = 1+ 3
∴ x 2 - 2 x + 1 = 1- x = 1 + 3
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０) |a|
≥０
a
2
a + b = 0? a a + | b |= 0 ? a a + | b |= 0 ? a ......
2
0, b = 0 0, b = 0 0, b = 0
题型:二次根式的非负性的应用.
1 2 1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
(3) 4 x
( 5) x
3
x 1 (2) 3x
x0
2 x为全体实数
x0
1 a< 2
1 ( 4) x
1 ( 6) x2
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8 a +0.1
2
3
5 3 、 (-2)
2
a (a＜0﹚、
、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
定义： 像 a 2 2500 , , b 3 这样表示的算术
s
平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围 1 （１） 3 x （２）
2x 5
由3 x 0得：x 3
（３） 1 x
5 由2 x 5 0得：x 2
x 1 x 0 由 得：x 1且x 0 x0
2．（１）
3 ( 3) ____
二次根式
1.二次根式的概念
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质：
0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？
3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
2
2
1. 求式子 x＋1－ 5－ x 有意义时X的取值范围。
解:由题意得,
x 1 0 5 | x | 0 x 1 得 5 | x | 5 x 1 x 1 5 x 5
知识结构
三个概念
最简二次根式
同类二次根式 有理化因式 1、 a 0(a 0) --不要求，只 需了解
2
a 0 。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9
0.81
试一试
1.计算下列各题:
(1)
2.若
15
2
2
(2)
2
1 5
2
(1 x) 1 x,则x的取值范围为
2
(
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
二 次 根 式
三个性质
2、
a
2
a a 0
3、
1、 ab a b a 0, b 0 两个公式
a2
a a 0
a 2、 b
a b
(a 0, b 0)
四种运算
加 、减、乘、除
题型：最简二次根式：
１、被开方数不含分数； ２、被开方数不含开的尽方的因数或因式； 注意：分母中不含二次根式。
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 ,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a ( a 0)
其中a叫做被开方式。
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不要忽略
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 2 3 a 3
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 = a -a |a| ； 。
。
a a
2
例2 计算：
(1)
2
a (a 0) a (a 0)
2
(10) ( 15 )
2
(2) [ 2 (2) ] 2 2 2
2
(2)
(3)
( a ) a
2
(a 2) 2 a
2
例5:已知:x<0,化简: 16 x
2
解 :
16x (4 x ) 4 x
2 2
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化简 : x 6 x 9 x 2 x 1
2 2
(其中 -1 x 3)
解： x
3- x 0
5 0
①
②
解得
- 5≤x＜3
练习：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2)
1 1 2a
(3) ( a 3) 2
2
4 6
7
2 5x
2x 1 1 x
5 2 x 1
x 5 3 2x
（8 ）
练习与反馈
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
x0
x0
1 (7) 1 2a
3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
n≤12 n = 3，8，11，12
二次根式的性质（２）
想一想
2
a a 0 等于什么?请举例验证.
性质２： a a, (a 0)

2
3
试一试（3）计算:
2
= 3
5 = 2
2
5 2

0.04 = 0.04

2
我们已经得到:
根据等式的定义，可得