二次根式概念和性质

3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
二次根式概念和性质
2．（１） (3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1x)2 __x__1
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
二次根式概念和性质
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数≥零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
二次根式概念和性质
试一试 （1）
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
②分母中有字母时，二次根要式概念保和性质证分母不为零。
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取 值必须满足什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字 母 x 的取值必须满足什么条件 呢？
二次根式概念和性质
例 3：要使
x-2 x-3
有意义，字母 x 的取值
二次根式概念和性质
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x0 x
(5) x 3 x0
(7)
1
a
1
1 2a 2
1 (6) x 2 (8) 3 x
|x |4
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
二次根式
1.二次根式的概念
二次根式概念和性质
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质：
0有一个平方根就是它本身0； 负数没有平方根。
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1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？
3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；
a | b | 0 a 0,b 0
a2 | b | 0 a 0,b 0
......
二次根式概念和性质
题型:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
二次根式概念和性质
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
2
思考 ：
a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
二次根式概念和性质
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2 a -b + c = 2 ×二次(-根2式)概念-3和性+质4 = -3 。
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键 例 已知 x 1 y 3 0，求x＋y的值 解：∵ x 1 ≥０， y 3≥０，
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０ ∴x＝１，y＝－３ ∴x＋y＝－２二次根式概念和性质
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a |
≥０
a2
a b 0 a 0,b 0
必须满足什么条件？
解：由 x-2≥0 且 x-3≠0,
得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
x≥2
字母 x 的取值必须满足什么条件？
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
二次根式概念和性质
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
（４）若
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿7
二次根式概念和性质
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
二次根式概念和性质
?
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
的取值范围
1
（１） 3 x （２） 2 x 5
由 3x0得x： 3 由 2x50得： x5
2
1 x
（３） x
由 1xx00得x： 1且 x0
二次根式概念和性质
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 x≤__3___时， 3 x有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
二次根式概念和性质
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
负数没有算术平方根。
二次根式概念和性质
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察： 上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即:a0
二次根式概念和性质
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，