高等数学函数的极限与连续习题及答案
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
专升本高等数学二(函数、极限与连续)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（函数、极限与连续）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列四组函数中f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A．f(x)=tanx，g(x)=B．f(x)=lnx3，g(x)=3lnxC．f(x)=，g(x)=D．f(x)=ln(x2一1)，g(x)=ln(x一1)+ln(x+1)正确答案：B解析：A、D选项中，两函数的定义域不同，C选项中，当x＜0时，f(x)≠g(x)，B选项中，f(x)=lnx3=3lnx=g(x)，定义域均为x＞0，故选B．知识模块：函数、极限与连续2．函数f(x)=是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．不能确定奇偶性正确答案：B解析：由于一1＜x＜1，从而定义域关于原点对称，又f(一x)==f(x)，所以函数f(x)为偶函数．知识模块：函数、极限与连续3．= ( )A．B．1C．D．3正确答案：C解析：．知识模块：函数、极限与连续4．极限等于( )A．0B．1C．2D．+∞正确答案：D解析：因该极限属“”型不定式，用洛必达法则求极限．原式=(ex＋e－x)=+∞．知识模块：函数、极限与连续5．当x→0时，无穷小x+sinx是比x ( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：=2，故选C．知识模块：函数、极限与连续6．=6，则a的值为( )A．一1B．1C．D．2正确答案：A解析：因为x→0时分母极限为0，只有分子极限也为0，才有可能使分式极限为6，故[(1＋x)(1＋2x)(1+3x)+a]=1＋a=0，解得a=一1，所以=6．知识模块：函数、极限与连续7．下列四种趋向中，函数y=不是无穷小的为( ) A．x→0B．x→1C．x→一1D．x→+∞正确答案：B解析：知识模块：函数、极限与连续8．设f(x)== ( )A．4B．7C．5D．不存在正确答案：A解析：知识模块：函数、极限与连续填空题9．函数y=ln(lnx)的定义域是_________．正确答案：(1，+∞)解析：y=ln(lnx)，所以解得x＞1，故函数的定义域为(1，+∞)．知识模块：函数、极限与连续10．已知f(x)=2x2+1，则f(2x+1)= _________．正确答案：8x2+8x+3解析：用代入法得f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3．知识模块：函数、极限与连续11．=________．正确答案：解析：令．也可直接利用无穷小量代换．知识模块：函数、极限与连续12．=________．正确答案：e2解析：=e2．知识模块：函数、极限与连续13．设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：3解析：因为函数f(x)在x=0处连续，则=a=f(0)=3．知识模块：函数、极限与连续14．设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b满足的关系是________．正确答案：a=b解析：函数f(x)在x=0处连续，则有=b，即a=b．知识模块：函数、极限与连续解答题15．已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+4)的定义域．正确答案：因为f(x)的定义域是[0，1]，所以在函数f(x+4)中，0≤x+4≤1，即一4≤x≤一3，所以f(x+4)的定义域为[一4，一3]．涉及知识点：函数、极限与连续16．计算．正确答案：函数－x复合而成，利用有理化求得．故．涉及知识点：函数、极限与连续17．求．正确答案：0．∞型，先变形为，再求极限．=1．涉及知识点：函数、极限与连续18．求极限．正确答案：=1．涉及知识点：函数、极限与连续19．求极限．正确答案：原式==一15π2．涉及知识点：函数、极限与连续20．求极限．正确答案：所求极限为∞一∞型，不能直接用洛必达法则，通分变成型．涉及知识点：函数、极限与连续21．求．正确答案：涉及知识点：函数、极限与连续22．求极限．正确答案：1一，则有原式=．涉及知识点：函数、极限与连续23．若函数f(x)=在x=0处连续，求a．正确答案：由=一1．又因f(0)=a，所以当a=一1时，f(x)在x=0连续．涉及知识点：函数、极限与连续24．设f(x)=问a为何值时，f(x)在x=0连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点．正确答案：f(0)=6，(1)若f(x)在x=0处连续，应有2a2+4=一6a=6，故a=一1；(2)若x=0是f(x)的可去间断点，则应有≠f(0)，即2a2+4=一6a≠6，故a≠一1，所以a=一2时，x=0是可去间断点．涉及知识点：函数、极限与连续25．证明方程x3+x2+3x=一1至少有一个大于一1的负根．正确答案：令f(x)=x3+x2+3x+1，f(一1)=一2＜0，f(0)一1＞0，f(x)在(一1，0)上连续，由零点定理知，在(一1，0)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，所以方程在(一1，0)内至少有一根，即方程至少有一个大于一1的负根．涉及知识点：函数、极限与连续。
高等数学（林伟初）习题详解习题详解-第2章极限与连续
习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) 1n nx n =+ ;(2) 2(1)n n x =--；(3) 13(1)n n x n =+-；(4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞=。
(4) 12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n=-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ;(2)有界数列一定收敛；(3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3) 323125lim-=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=.(2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3) 对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n .习题2-2 1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) 21limx x →∞;(2) -lim xx e →∞；(3) +lim xx e-→∞；(4) +lim cot x arc x →∞;(5) lim 2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+；(7) 1lim(ln 1)x x →+；(8) lim(cos 1)x x π→-解：(1) 21lim0x x →∞= ;(2) -lim 0xx e →∞=；(3) +lim 0xx e -→∞=；(4) +lim cot 0x arc x →∞=;(5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=；(7) 1lim(ln 1)1x x →+=；(8) lim(cos 1)2x x π→-=-2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件(C ) 充要条件(D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
高等数学 大一 题库
（一）函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。
(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y(D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数3、 当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小4、 x =0是函数1()arctan f x x=的( )（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点5、 下列的正确结论是（ ）（A ）)(lim x f xx →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g xx →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也 存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xxx x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.二、填空题：1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1则f (x )的表达式为 ;2、 已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;3、 3214lim 1xx ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设,)(a x ax x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ；三、 计算题:1、计算下列各式极限：（1）xx x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0； （3）)11(lim 22--+→x x x （4）xx x x cos 11sinlim30-→ （5）x x x 2cos 3sin lim 0→ （6）xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a , b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.（二）导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，则tt x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设xey 2sin =, 则dy = ;4、 设),0(sin >=x x x y x则=dxdy ; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x 确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、 )0(),1ln()(2>+=-a a x f x则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 21 2、 设曲线21x e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=03、 设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x ex f ax 处处可导，则( ) (A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =14、 若f (x )在点x 可微,则xdyy x ∆-∆→∆0lim 的值为( )(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、 若g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、 设()ln f x x x =, 求()()n f x .7、计算.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 若01lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin limx f f x f x -→= ;4、 x e y xsin =的极大值为 ，极小值为 ;5、)10(11≤≤+-=x xxarctg y 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。
2020高等数学辅导讲义练习题参考答案
《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章 函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。
（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】 排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶） （C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。
高等数学下教材答案详解
题目：证明函数$f(x)=\begin{cases}x^2-1,\quad x<1\\3x+2,\quad x\geq1\end{cases}$在$x=1$处连续。
解析：要证明函数在$x=1$处连续，需要分别讨论左极限、右极限和函数值是否相等。首先计算左极限，即$$\lim_{x\to1^-}(x^2-1)=(1)^2-1=0$$。然后计算右极限，即$$\lim_{x\to1^+}(3x+2)=3(1)+2=5$$。最后计算$x=1$时的函数值，即$f(1)=3(1)+2=5$。由于左极限、右极限和函数值都相等，因此可以得出结论：函数$f(x)$在$x=1$处连续。
解析：要求函数的极值点，需要先求得函数的导数$f'(x)$。根据乘法法则和指数函数和三角函数求导法则，可以得到$f'(x)=2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x$。然后，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{3\pi}{2}+k\pi$，其中$k$为整数。将这些解代入原函数$f(x)$，可以得到对应的极值点。
……
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总结
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高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
高等数学习题详解-第2章 极限与连续(精品范文).doc
【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。
(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
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1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()xg 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
7、如果函数()x f 当0x x →时极限存在，则函数()x f 在0x 点（ c ） a ．有定义 b ．无定义 c ．不一定有定义∵()x f 当0x x →时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。
8、数列１，１，21，２，31，３，…，n1，n ，…当∞→n 时为（ c ） a ．无穷大 b ．无穷小 c ．发散但不是无穷大9、函数()x f 在0x 点有极限是函数()x f 在0x 点连续的（ b ）a ．充分条件b ．必要条件c ．充分必要条件 10、点0=x 是函数1arctanx的（ b ） a ．连续点 b ．第一类间断点 c ．第二类间断点 ∵001lim arctan2x x π→-=- 001lim arctan 2x x π→+=根据左右极限存在的点为第一类间断点。
11、点0=x 是函数x1sin的（ c ） a ．连续点 b ．第一类间断点 c ．第二类间断点 四、计算下列极限：1、()nn nn 31lim -+∞→ 解()31))1(3131(lim 31lim =-⋅+=-+∞→∞→n n n n n nn2、0tan 3limsin 2x xx→解 0tan 3lim sin 2x x x →2323lim 0==→x x x （∵x x 2sin ,0→～2,tan3x x ～x 3） 3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+∞→x x x x x lim()xx x x x +--+∞→lim()()xx x x xx x x x x x x x ++-++-+--=+∞→limxx x x xx ++--=+∞→2lim111111lim2-=++--=+∞→xx x4、()n n n nn --++∞→221lim解()()()nn n n nn n nnn n nn n n nn n -+++-+++--++=--++∞→∞→22222222111lim1lim11111112lim 112lim222=-++++=-++++=∞→∞→nn n n n n n n n n n 5、xx x x x sin lim 2300+++→21sin 11lim sin 1lim sin lim 00002300=++=++=+++→+→+→xx x x x x xx x x xx x x 6、11sin lim2-+→x x x x)22211limlimx x x x x x →→→⋅+⋅+==)lim12x→=+=7、11lim0--→xxx()()()11lim111lim11lim=+=-+-=--→→→xxxxxxxxx8、1lim1--→xxxx()111lim1lim11=--=--→→xxxxxxxx9、3tan sinlimxx xx→-()23330001sin1costan sin112lim lim limcos cos2 x x xx xx xx xx x x x x →→→⋅⋅--==⋅= (∵210,1cos2x x x→-:,sinx:)10、xxx2cos1lim0--→解()21221lim2cos1lim2-==--→-→xxxxxx(∵xx cos1,0-→～221x)11、1lim1xxxx→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭解121111lim lim111xxxx xx exx e ex-→∞→∞⎛⎫-⎪-⎛⎫⎝⎭===⎪+⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭12、⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xxx11lnlim解 ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x 11ln lim 111lim ln 11ln lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→xx x x x x13、xx xx x cos cos lim+-∞→解 cos 1cos lim lim 1cos cos 1x x x x x x x x x x→∞→∞--==++14、⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x解 2211121111lim lim lim 11112x x x x x x x x →→→-⎛⎫-==-=- ⎪---+⎝⎭ 15、x 解lim lim 1x x →∞→∞==16、x x x cos 1sin lim 00-+→ 解000000sin sin lim lim lim x x x x x x →+→+→+===17、()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n Λ 解 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1113121211lim n n n Λ1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→n n。