高数函数极限与连续
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
高数中的函数极限与连续性研究
高数中的函数极限与连续性研究函数的极限和连续性是高等数学中的重要概念和工具，对理解和解决各种数学问题起着关键的作用。
本文将研究和介绍高数中的函数极限和连续性的相关内容，包括定义、性质和应用等方面。
一、函数极限的定义与性质函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的值趋于无限接近于某一确定的值。
在高数中，我们常用极限符号“lim”来表示函数极限。
设函数f(x)的定义域为D，x是定义域内的变量，则对于实数a，如果存在实数L，使得对于任意小的正实数ε，都存在一个正实数δ，使得只要x满足0 < |x - a| < δ，则可推出|f(x) - L| < ε，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L。
这通常用以下数学符号表示：lim┬(x→a)〖f(x) = L〗函数极限有以下几个重要的性质：1.极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于某一实数a时极限存在，则该极限是唯一确定的。
2.局部有界性：如果函数f(x)在x趋于某一实数a时极限存在，那么它在a的某个邻域内是有界的。
3.极限运算法则：两个函数的极限之和等于它们的极限之和，两个函数的极限之积等于它们的极限之积。
二、连续性的定义与性质函数连续性是指函数在某一点上没有断裂和跳跃，并且函数值与自变量的变化呈现连续的关系。
具体而言，函数f(x)在定义域内的某点a处连续，需满足以下三个条件：首先，f(a)存在；其次，lim┬(x→a)〖f(x)存在〗；最后，lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗。
函数连续性的性质与应用：1.连续函数的性质：连续函数的和、差、积、商（除以不为零的函数）仍然是连续函数。
2.零点定理：如果连续函数f(x)在区间[a, b]内有两个函数值异号的点，则在这两个点之间至少存在一个零点。
3.介值定理：如果连续函数f(x)在区间[a, b]内取到两个不同的函数值，那么它在这个区间内取到介于这两个值之间的任意值。
三、函数极限与连续性的应用函数极限和连续性在高等数学中有广泛的应用，特别是在微积分和数学分析方面。
高数上册函数极限与连续课件
定积分及其应用
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是 函数在区间上积分和的极限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加 性、常数倍性质、比较性 质等。
定积分的几何意义
定积分在几何上表示曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的计算方法
微积分基本定理
微积分基本定理是计算定积分的 基础，它将定积分转化为不定积
高数上册函数极限与 连续课件
• 函数的概念与性质 • 极限的概念与性质 • 连续函数 • 导数的概念与性质 • 原函数与不定积分 • 定积分及其应用
目录
函数的概念与性质
函数的性质（奇偶性、周期性、单调性等）
奇偶性
如果对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于 函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
原函数与不定积分
原函数的概念与性 质
总结词
理解原函数的概念和性质是学习高数的重要基础。
详细描述
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数，即如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。 原函数具有一些重要的性质，例如，如果F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C（C为常数）也是f(x)的原函数。
唯一性
若函数在某点的极限存在， 则该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在， 则该点的函数值是有界的。
局部保号性
若函数在某点的极限大于 0，则该点的函数值也大 于0；反之亦然。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值趋近于0的量。
高数核心知识点
高数核心知识点高数（即高等数学）是大学教育中的重要学科之一，是培养学生分析问题、解决问题能力的基础数学课程。
本文将简要介绍高数的核心知识点，以帮助读者系统地理解和掌握这门学科。
1. 极限与连续极限是高数的核心概念之一，它可以理解为函数逼近某个值时的趋势。
极限的计算方法有很多，常用的有代数法、夹逼法和洛必达法则等。
极限的概念在微积分中起着重要的作用，是求导、积分等运算的基础。
连续是指函数在某一段区间内无间断地存在。
连续函数具有许多重要的性质，如介值定理和零点存在定理等。
在实际问题中，连续性的概念有助于分析和解决各种现象。
2. 导数与微分导数是描述函数变化率的概念，用于衡量函数在某一点附近的近似变化情况。
导数的计算方法包括基本求导公式、链式法则和隐函数求导等。
导数在几何中有重要的几何意义，可以表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
微分是导数的微小变化量，用于描述函数在某一点的局部变化情况。
微分的概念常应用于极值、最优化等问题的求解中。
微分学是微积分的一个重要分支，与导数密切相关。
3. 积分与定积分积分是导数的逆运算，是将函数的局部变化累积为整体变化的过程。
积分的计算方法包括不定积分和定积分，其中不定积分是求函数的原函数，而定积分是计算函数在一定区间上的面积或曲线长度等。
定积分的计算方法包括基本积分公式、换元法和分部积分法等。
定积分在几何学中具有计算曲线长度、计算曲线下的面积等重要应用。
4. 一阶微分方程一阶微分方程是描述变量之间的关系的方程，包含未知函数及其导数的方程。
一阶微分方程的求解方法有很多，常见的有分离变量法、齐次方程的变量代换和一阶线性微分方程的常数变易法等。
一阶微分方程在物理、生物、经济等领域具有广泛的应用，可以用于描述和解决各种变化的现象和问题。
5. 多重积分多重积分是对多元函数在多维空间上的积分运算，与定积分类似，但积分区域和被积函数都需要考虑多维情况。
多重积分的计算方法包括二重积分和三重积分，其中二重积分用于计算平面区域上的面积，三重积分用于计算空间区域上的体积等。
高数1-3
第一章函数、极限与连续性1.1初等函数回顾1.1.1函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）.f--定义在D上的函数; D--定义域;x--自变量; y--因变量;R={y／y=f（x），x }—值域常见的函数的定义域有如下规则：（1）对于分式函数，分母不能为零；（2）偶次根号下的变量不能小于零；（3）对于对数函数y=x，规定：底数，，真数；（4）对于余切函数y=cotx，规定：，k；（5）对于正切函数y=tanx，规定：x，k；（6）对于反正弦函数y=arcsinx和反余弦函数y=arcosx规定：-1.1.1.2函数的几种特性函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。
（1）有界性定义：若有正数M存在，使函数f（x）在区间D上恒有|f（x）|，则称f(x)在区间D上是有界函数，否则，是无界函（2）单调性定义:若对于区间D内任意两点及，当<时，有f（）<f(,则称f（x）在I上单调增加，区间D称为单调增区间；若当<时，有f（）>f(,则称f(x)在D上单调减少，区间D 称为单调减区间，单调增区间或单调减区间统称为单调区间。
（3）奇偶性定义：设D是关于原点对称的区间，若对于任意x属于D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。
（4）周期性若对于不为零的数T，使得对于任意x属于D，有x+T属于D，且f（x+T）=f（x）,则称f(x)为周期函数。
通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。
周期函数在每个定义域内都是相同形状1.1.3初等函数1.基本初等函数（理解和应用）我们把幂函数y=(aR),指函数y=(a>0,a),对数函数y=x(a>0,a),三角函数y=sinx,y=cosx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数。
大一下册高数复习知识点
大一下册高数复习知识点大一下册高等数学是大一学生在学习数学方面的重要课程之一。
本文将为大家总结大一下册高数的复习知识点，供大家参考和学习。
一、极限与连续1. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数的取值接近于一个常数的性质。
其中包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 连续与间断函数在某一点上连续是指函数在该点的极限与函数在该点的值相等，否则函数在该点上间断。
根据间断的性质，可以将间断分为可去间断、跳跃间断和无穷间断。
3. 介值定理与零点存在定理介值定理表明，若函数在区间[a, b]上连续，则函数在该区间上可以取到任意两个介于f(a)和f(b)之间的值。
零点存在定理指出，若函数在区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，则在该区间上至少存在一个零点。
二、导数与微分1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率，可以用极限的概念进行定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数定义为f'(x) = lim（△x→0）[f(x+△x) - f(x)]/△x。
2. 基本导数公式常见的基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等，应熟练掌握它们的导数表达式和求导法则。
3. 导数的几何意义导数可以表示函数在某一点处的切线斜率，通过导数可以分析函数的单调性、极值和拐点等性质。
三、积分与不定积分1. 定积分的概念定积分表示函数在一个闭区间上的面积值，可以看作是函数在该区间上的累积效应。
2. 不定积分的概念不定积分表示函数在某一点的原函数，也可称为反导函数。
3. 基本积分公式常见的基本积分公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等的积分表达式和求积法则。
四、微分方程1. 微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程，描述了函数与其导数之间的关系。
2. 常微分方程的解法常微分方程包括一阶和二阶微分方程，可以使用分离变量法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次方程法等方法求解。
经典-高数第1章：函数、极限与连续
重要结论：
基本初等函数在 其定义域上 都是连续的
函数的复合
复合函数的定义 y f x
y f u
是由u x
和 x
注意： 域内
复合而成的函数
的值域应落在f(x)的定义
理解：可以理解为换元法的过程
反三角函数 f(x)=arcsinx
初等函数
注意：高中阶段对反三角函数介绍较少，
等价无穷小（注意：不是等阶）
等价无穷小的转移定理
注意：表达 方法
无穷小量
等价无穷小转移定理的应用
经典题型
比较无穷小量的高低阶 证明无穷小(大) 求特殊的极限 计算极限中的系数值
应用
函数的连续
函数连续的定义
函数在x0连续的三个条件
函数在x0及其左右有定义 函数在x0的极限存在 函数在x0的极限值等于该点的函数值，即
经典题型：怎么判断一个表达式是不是函 数？
最主要的判断方法：一个x是对应了几个y值
定义域
自变量x的取值范围 经典题型：求定义域关注哪些要点？
①分母不能为零； ②偶次根号下非负； ③对数的真数大于零； ④正切符号下的式子不等于kπ +π /2；
值域
因变量y的值的集合
经典题型
与定义域或∞有关的极限计算
0/0型
解法：通常分子分母可以化简、消项
∞/ ∞型 解法：分子、分母同时除以最高项
极限
带有开方型 解法：有理化分子（注意：是有理化 分子）
换元法
无穷小量
无穷小量定义
注意：一定要讲函数 是在趋于某个值x0时 的无穷小，否则，趋 于另外一个值时，有 可能就不是无穷小了
高数函数,极限和连续总结
第一章 函数.极限和连续第一节 函数1. 决定函数的要素：对应法则和定义域2. 基本初等函数：（六类）（1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。
注:分段函数不是初等函数。
特例：y =√x 2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。
4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。
5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。
第二节 极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x |>ð（或0<|x −x 0|<ð ）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)2.极限存在的充要条件lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A（2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。
4.无穷小量与无穷大量，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。
性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。
注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。
5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小， 则若 则称 α 是β比高阶的无穷小,记作若 则称α是比β 低阶的无穷小∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα);(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα若 则称 α 是β的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称α 是β的等价无穷小,记作若 则称α是关于β 的 k 阶无穷小。
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1, 例4、 设 f ( x ) x ,
x 0, x 0,
g( x ) e 2,
x
求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)]
x ln 2, g( x ) 0, 1, 1, 解：f [ g( x )] g( x ), g( x ) 0, 2 e x , x ln 2, e 2, x 0, g[ f ( x )] e 2 x e 2, x 0, x ,求 f [ f ( x)] . 练习1、 设函数 f ( x ) 2 1 x
k Z
x x k k 时 , cot 0 2 2 2
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1 , g( x ) x 2 例3、 设函数 f ( x ) x 1
求 f [ g( x )] 和g[ f ( x )]
1 1 解：f [ g ( x)] , g ( x) 1 x 2 1 1 g[ f ( x)] f ( x) 2 2 x 1
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1 例如当 x 时, f ( x ) 无限接近于 0. x 1 当 n 时, f ( n) 无限接近于 0, n 1 当 x + 时, f ( x ) x 无限接近于 0, e 当 x - 时, f ( x ) e x 无限接近于 0.
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f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) y
y x 偶函数
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数;
y
y x3 奇函数
o x
o
x
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(2) 函数的单调性:
设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有： (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
例：
定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
2 n 1 lim 2 2 反例： 2 n n n n n n n
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2 x3 3 x 2 5 例3、 求 lim . ( 型 ) “ 抓大头” x 7 x 3 4 x 2 1
数集 D 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， x y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
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函数两要素：定义域和对应法则 例1、 下列各组函数是否相同 ? 为什么?
x 1 (1) f ( x) x 1 与 ( x) x 1
初等函数 . 否则称为非初等函数 .
x , x 0 可表为 y 例如 , y x , x 0
x , 故为初等函数.
2
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例7、 判断下列函数是否为初等函数
(1) ( 2)
y ln( x 3)
2
y sin[sin(sin x )]
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x
1
左右极限存在但不相等, x lim 不存在. x 0 x
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2 x , x, 练习1、设 f ( x ) 4, 3 2 x ,
x 1 x 1 x 1
x 1, 1 x 1, x 1, x 1.
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二、 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
1、自变量趋于无穷大时函数的极限 2、自变量趋于有限值时函数的极限 3、无穷小与无穷大 4、两个重要极限 5、无穷小阶的比较
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1、自变量趋于无穷大时函数的极限
1） 直观定义: 函数 y f ( x ) 在自变量 x （或 n ） 的过程中, 对应函数值 f ( x ) 无限 趋近于一个确定常数 A.
解： x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大.
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3 22 4 x 7 x 4 x 1 x 7 x 5 x3 2 . 1 7 x3
3
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y x2 1
当 x 从0左右两侧趋近于0时， f ( x ) 的表达式不一样,
须考察左右极限.
x 0 x 0 x 0
1
o
2
x
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0 x 0
练习3、 将 f ( x ) x x 分解成几个简单
2
函数的复合.
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5. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合运
算所构成 , 在定义域上可用一个式子表示的函数 ,称为
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2） 单侧极限: 左极限: x从x0左侧无限趋近x0时f ( x )的极限.
x x0
lim f ( x ) A 或 f ( x0 0) A
右极限：x从x0右侧无限趋近x0时f ( x )的极限.
x x0
x x0
lim f ( x ) A 或 f ( x0 0) A
y
y x2
当 x 0 时为减函数; 当 x 0 时为增函数;
o
x x
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(3) 函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
1 y x
在( ,0)及(0,)上无界; 在( ,1]及[1,)上有界.
y x2 1
x 0, x 0.
y 2x 1
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1 0 x 1 例2、 f ( x ) 设 , 求函数 f ( x 3)及定义域. 2 1 x 2
1, 0 x 1, 解: f ( x ) 2, 1 x 2.
函数、极限与连续
一、 函数
二、 函数的极限 三、 函数的连续与间断
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一 函数
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数 x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
f ( x)
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例5、 设函数 f ( x ) 1 ln x，
求 f ( x )及 f ( x 3)的定义域.
x 0 解：由 1 ln x 0
1 f ( x)的定义域为 x e
1 1 故 f ( x 3)的定义域为 x 3 , x 3 e e
2
可定义复合函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x 不能构成复合函数 .
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y
u , u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2 ,)
可定义复合函数:
x v , x (, ) 2
结束
x2 1 . 例4、 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
0 ( 型) 0
解： x 1时, 分子, 分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
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1 x, 例1、 f ( x ) 2 x 1,
x 0, x 0.
求 lim f ( x ).
x 0
解： x 0是函数的分段点,
y y 1 x
n
x
lim an A
x
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
x
x
lim f ( x ) A
定理 : lim f ( x ) A lim f ( x ) A且 lim f ( x ) A.
x
x
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1 -1
o
1 1
x x
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4. 复合函数 设有函数链
y f (u ), u D1
则
① 且 g ( D) D1 ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D1 不可少.
例如 函数链 : y arcsinu ,