高等数学函数极限练习试题
(完整版)高等数学函数与极限试题
高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.（C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x x ex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ）lim 0+→x )x1+1(x=1 B ）lim 0+→x )x1+1(x=eC ）lim ∞→x )x11－(x=-e D ）lim ∞→x )x1+1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。
A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。
6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( )A.1；B.∞；C.2-e ； D.2e7．极限：∞→x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2．8．极限：xx x 11lim-+→=（ ） A.0； B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ）A.0；B.∞；C.2；D. 21．10．极限: xxx x 2sin sin tan lim30-→=（ ）A.0；B.∞；C. 161； D.16．二. 填空题 11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12.lim→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14. =→xxx x 5sin lim0___________；15. =-∞→nn n)21(lim _________________；16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是 三. 计算题 21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0);23.求lim 2x →(3－x)25--x x ;()()x x x x f 25lg 12-+-+=24.求lim ∞→x (11-+x x )x; 25.求lim 0x →)3(2tan sin 22x x x x + 26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→28.求它的定义域。
高等数学极限经典习题及解析
dv 1 v3 v C 1
1 x2
3
2
1 x2
1
2 C.
2v
3
3
2.求
I
arctan x
x dx .
解. I 2 arctan xd x 2 x arctan x 2 xd arctan x
2
x arctan
x
1
1
x
dx
2
x arctan
条件(充分,必要,充要).
3.设 f x 的一个原函数是 x sin x ,则 f x ______ .
4.反常积分 xexdx ______ .
x dx ,于是
At
1 2
t
f
t ,故 t
1 2
是
At
在0,1 上的唯一驻点,又 t 1 时 At 0 , t 1 时 At 0 ,故 t 1 是
2
2
2
At 在0,1 上的最小值点,证毕.
4
七.(1)求解初值问题
dx
dx
dx 2u
dx 2u
2u 1 u2
du
1 dx ,解得 ln 1 u2 x
ln
x
C1 x
1 u2
C ,即
x2 y2 Cx ,代入 x 1, y 0 C 1 ,因此 x2 y2 x .
(2)设 y y x 满足 y 3y 2 y 2ex ,且图形在 0,1 处与曲线 y x2 x 1
4.对于a,b 上函数的下列性质:(1)连续,(2)有界,(3)可导,(4)可积,下面
高数函数与极限练习题
高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。
高等数学函数的极限与连续习题精选和答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x xk x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01l i m （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s in lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i m s i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
函数的极限练习题
函数的极限练习题一、选择题1. 函数\( f(x) = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 1} \)在\( x \to 1 \)时的极限是：A. 3B. 2C. 1D. 02. 函数\( g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \)在\( x \to 0 \)时的极限是否存在？如果存在，求其值。
A. 存在，值为0B. 存在，值为1C. 不存在D. 存在，值为无穷大3. 函数\( h(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在\( x \to 0 \)时的极限是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在二、填空题4. 计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)的值为______。
5. 若\( \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5 \)，则函数\( f(x) = 3x -1 \)在\( x \to2 \)时的极限为______。
6. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)在\( x \to ∞ \)时的极限为______。
三、解答题7. 求函数\( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \)在\( x \to ∞ \)时的极限，并证明你的结论。
8. 利用夹逼定理证明函数\( g(x) = x - \sin(x) \)在\( x \to 0 \)时的极限为0。
9. 给定函数\( h(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)，证明其在\( x \to∞ \)时的极限为0。
四、证明题10. 证明当\( x \)趋近于正无穷时，\( (1 + \frac{1}{n})^n \)的极限为\( e \)。
11. 证明函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在\( x \to 0 \)时的极限存在，并且等于1。
12. 证明函数\( g(x) = x^n \)在\( x \to 0 \)时的极限为0，其中\( n > 0 \)。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
高数极限习题及答案
练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。
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设xxx f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。
，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。
定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。
在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。
若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。
的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。
)()(x I x x -=ϕ的奇偶性。
判定函数)1ln()1()(x x ex f xx -+⋅-=+ [)设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。
y f x OBA y f x ==()()⎩⎨⎧≤≤-<≤=ϕ⎩⎨⎧≤≤+<≤=．，；，．，；， 设64240)(42220)(2x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ϕϕ[][]设，；，．，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>⎧⎨⎩=-101021ϕϕϕ⎩⎨⎧>-≤=ϕ⎩⎨⎧>≤-=．，；，．， ；，设000)(00)(2x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ϕ []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥⎧⎨⎩12002ϕϕ[]设，；， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥⎧⎨⎩2020．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ϕ+⎩⎨⎧≥<+=ϕ⎩⎨⎧≥<=设， ；，；， ４．求的反函数．f x e x x x x x f x x x ()()()=-∞<<+≤≤-<<+∞⎧⎨⎪⎩⎪01041ϕ设，；，；，．求的反函数．f x x x x x x f x x x ()()()=-∞<<≤≤<<+∞⎧⎨⎪⎩⎪114242φ求：．，；，设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=001)(2x x x x x f。
为常数．及的定义域；)()()2()2()()1(2a a f f x f设，；， ；， ．求．f x x x x x f x f x f x x ()()(sin )()=-<-≤>⎧⎨⎪⎩⎪+⋅---11111354622设，；，．求．f x x x x x f x ()()=+≥+<⎧⎨⎩-2104012设，；，．，求及．f x x x x x f f ()log (cos )(sec )=≤>⎧⎨⎩221144ππ：试作出下列函数的图形．， ；， ；，设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤-+=0200012)(x x x x x x f．；；2)()()3()()2()()1(x f x f y x f y x f y +-===：试作出下列函数的图形，，；，设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤--=2020102)(x x x x x x f．；；2)()()3()()2()()1(x f x f y x f y x f y -+=-==的图形。
，试画出．，；设.)(),()( 2111,1)(2x f y x f y x f y x x x x x f =-==⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤-= []上是偶函数。
，在，使求．，，，设11)()(1001)()(2-ϕ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-ϕ=x f x x x x x x x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<ϕ=时．，当时，， 当时，，当设01000)()(x x x x x x x f是奇函数。
，在，使求；求)()()()2()cos 2()1(∞+-∞ϕ+x f x x f，．， ；， ；， 设)21()(21210010)(x f x F x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-= 的图形。
画出的表达式和定义域；求)()2()()1(x F x F设， ， ；， ．求的定义域及值域。
f x x x x x x f x ();()=-≤<+≤<-≤<⎧⎨⎪⎩⎪010101212设，；，求、及的值。
f x x x x f f f x ().()()()=+≤>⎧⎨⎩-1020202设，；，求，其中．f x x x x x x x f a f a a ()()()=-+≤->⎧⎨⎪⎩⎪++->221121110 求函数的反函数，并作出这两个函数的图形。
y x =+ln 1求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。
y x y x =+=sin()()πϕ4求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。
y x y x =-=tan()()1ϕ 利用图形的叠加作出函数的图形。
y x x =+sin利用图形的叠加作出函数的图形。
y x x=+1作函数的图形（草图）y x =-11。
作函数的图形（草图）y x =-ln()1。
作函数的图形。
（草图）y x =-arcsin()1（草图）作出下列函数的图形： ．；；222)1()3()2(1)1(-=-=+=x y x y x y 设函数，就和时，分别作出其草图。
y ax a a ===-lg 12列函数的图形（草图）的图形（如图）作出下利用x y 2=：．；x x y y 231)2(12)1(=+=）列函数的图形：（草图的图形（如图）作出下利用x y sin =。
；)4sin()2(2sin )1(π-==x y x y利用的图形（如图）作出下列函数的图形：（草图）；y x y x y x ===+sin ()sin ()sin 11221212ππ-义域。
的反函数，并指出其定，求函数)(3ln∞+-∞=xy 义域。
的反函数，并指出其定求函数)( 3+∞<<-∞=x xch y义域。
的反函数，并指出其定求函数)( 3+∞<<-∞=x xSh y义域。
的反函数，并指出其定求函数，1122+-=x x e e y 验证1122-=-cth x sh x 。
验证1122-=th x ch x。
验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ-=-。
验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ+=+。
验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ-=-。
验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ+=+。
验证。
22Shx Chx Sh x ⋅=证明Sh x Ch x Ch x 222+=。
，，设axax x x x x f +-=ϕ+∞<<-∞=1)()( arctan )([]。
，验证：，)()()()11(a f x f x f x a -=ϕ<< []设，，求f x x x x f x ()ln ()()=+=+11ϕϕ。
[]设，，求f x x xx x f x ()()()=+=112ϕϕ。
[][][]设，，求、及。
f x x x f x f x f f x x ()sin ()()()()==ϕϕϕ2[][]设，，求及。
f x x x x f x f x ()()()()=+=+1112ϕϕϕ ()[]{}设，，求及f x xx x x f f x f f f x ()()()=-≠≠⎡⎣⎢⎤⎦⎥1011。
[]设，，求及其定义域。
f x x x x x f x ()()()=+=+-111122ϕϕ[]已知，，且，求，并指出其定义域。
f x e f x x x x x ()()()()==-≥210ϕϕϕ[][]设，，求及。
f x x x x f x f ()ln ()()()==-ϕϕϕ102[]设，，求及其定义域。
f x x x x f x ()arcsin ()lg ()==ϕϕ 求函数的反函数，并指出反函数的定义域。
y x x =-≤-211()求函数的反函数，并指出其定义域。
y x x =-≤<lgarccos ()311的反函数求函数xxy +-=11arctg。
求函数的反函数，并指出其定义域。
y e e xx =--12() 求函数的反函数的形式。
y a xa x a =-+>ln ()0求函数的反函数，并指出其定义域。
y e e xx=+1求函数的反函数y x x x =+4。
的定义域。
，并指出的反函数求函数)()()1(1111)(x x x xxx f φφ≤-+--=求函数的反函数式中，。
f x x x x a a a ()log ()()()=++>≠1012φ设，求的反函数，并指出其定义域f x e e e e f x x x xx x()()().=-+-ϕ 设，试讨论的单调性和有界性。
f x xxx f x ()()()=+≤<+∞10讨论函数在区间，和，内的单调性。
f x x x ()()()=++∞1011讨论函数的有界性。
f x xx ()=+12讨论函数，当，，时的有界性。
f x x x()()()=+∈-∞+∞132001讨论函数在，上的单调性。
f x x ()()=-∞+∞2讨论函数在，上的单调性。
f x x a a x ()()()=->-∞+∞-1讨论函数在，内的单调性f x x ()ln ()=-+∞10。
b x a f x x x x x x f ++=⎩⎨⎧≤<-<≤-+=)()(311112)(φ，，，设为奇函数。
除外的值，使，试求)0)((=x x b a φ判断的奇偶性f x e e xxx x x ()ln ()=+--+-<<111111。
证明是奇函数f x x x ()()()=+--2323。
判定在其定义域，上的奇偶性。
f x x arc x ()cot ()=+-∞+∞判定 的奇偶性。
f x x x x ()()()()=--+-∞<<+∞13132323的奇偶性。