第十三章 多元函数的极限与连续性习题(学生用)

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第十三章 多元函数的极限与连续性
§1. 平面点集
1.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：
(1)(){}2
,|E x y y x =<； (2)(){}2
2,|1E x y x
y =+≠；(3)(){},|0E x y xy =≠；
(4)(){},|0E x y xy ==；(5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+；(6)()1,|sin
,0E x y y x x ⎧⎫
==>⎨⎬⎩⎭
；
(7)(){}2
2,|10,01E x y x
y y x =+==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数.
2．证明：平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数
N ，使得当n N >时，对一切正整数p ，都有(,)n n p P P ρε+<. （其中(,)n n p P P ρ+表,n n p P P +之间的距离）
§2. 多元函数的极限和连续性
1.求下列极限（包括非正常极限）：
(1) 2200lim x y x y x y →→++； (2) ()332200
sin lim x y x y x y →→++；
(3)
2200
x y →→； (4) ()22
00
1
lim sin
x y x y x y
→→++；
(5) ()2
2
2
2
lim ln x y x y x y →→+； (6) 00lim cos sin x y
x y e e x y →→+-；
(7) 3
2
2
4200
lim
x y x y
x y →→+； (8) ()02
sin lim x y xy x →→； (9)
10
ln y x y x e →→+ (10) 12
1
lim
2x y x y →→-；
(11) 4400
1
lim x y xy x y →→++； (12) 2222001lim x y x y x y →→+++；
(13) (
)(
)
22
lim x y x y x y
e -+→+∞→+∞
+； (14) 2
22lim x x y xy x y →+∞
→+∞⎛
⎫
⎪+⎝
⎭.
2.讨论下列函数在()0,0点的二重极限和两个累次极限：
(1) ()2
22
,x f x y x y
=+； (2) ()()11,sin sin f x y x y x y =+；
(3) ()(),sin x y
e e
f x y xy -=； (4) ()()
22222
,x y f x y x y x y =+-；
(5) ()332,x y f x y x y +=+； (6) ()22
33
,x y f x y x y =+；
(7) ()()
4223
2
2
232,x x y xy f x y x
y
++=+； (8) ()()
44
3
2
4,x y f x y x
y
=
+.
3.用“εδ-”语言叙述(,)f x y 在00(,)x y 连续的定义.
4.讨论下列函数的连续范围：
(1) (
),f x y = (2) ()1
,sin sin f x y x y
=
；
(3) ()33
,x y f x y x y +=+； (4) ()()22
2222
, 0,, (0)0, 0,
p
x x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩；
(5) ()()sin , 0,,0, 0;xy y f x y y
y ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩； (6) ()
2222sin 0,,0, 0;
xy x y f x y x y ⎧+≠=+=⎩；
(7) ()0, ,, x f x y y x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数； (8) ()()2222222
ln , 0,
,0, 0;
y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨+=⎪⎩.。