浙江省宁波市慈城中学中考数学复习课件：专题提升(十二) 与圆的切线有关的证明与计算
中考复习圆的切线的证明
中考复习圆的切线的证明圆的切线是一条与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
下面我将为你展示圆的切线的证明。
设圆的半径为r，圆心坐标为(O,O)，切线与圆相切于点A，切点坐标为(a,b)。
我们需要证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。
O_______________________/\/\AB根据几何性质，切线与径线的夹角为90度，所以角AOB为直角。
根据直角三角形AOB的性质，我们可以得到以下两个等式：1.OA²+AB²=OB²（勾股定理）2.OA=r（圆的定义）再根据切线与直径线的性质，我们可以得到以下等式：3.AB⊥OA（切线与半径线垂直）由等式3，我们可以得到两个直角三角形OAB和OBA。
考虑到OA=r，我们可以用r来表示OA和OB。
根据等式1，我们可以得到：r²+AB²=(2r)²r²+AB²=4r²AB²=3r²再根据等式2，我们可以得到：OA=r将等式2代入等式1中，我们可以得到：r²+AB²=OA²3r²=OA²移项得：AB²=2r²现在，我们来计算切线的斜率。
设切线的斜率为k，OA的斜率为m。
由定义可知，斜率m为切点A处切线的斜率，其值等于切线过切点A 和圆心O的直线的斜率。
而且，切线与直径OB垂直，垂直线的斜率之积为-1，即斜率k和斜率m之积为-1所以，我们可以得到以下等式：k×m=-1另外，我们可以计算切点A到圆心O的距离的平方。
根据点到点的距离公式，我们可以得到：OA²=(a-O)²+(b-O)²将具体的坐标代入上式，并将OA²替换为r²，我们可以得到：r²=(a-O)²+(b-O)²综上所述，我们可以得到以下两个等式：AB²=2r²k×m=-1现在我们来证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。
中考专题解析—切线证明
中考专题解析—切线证明(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--专题解析——切线证明切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o ．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o 即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o ．图1∵∠CAB ＝30o ，∴BC ＝21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90o ．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o 即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o ．∴∠ODC ＝90o ． ∴DC 是⊙O 的切线．图2【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1，B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗为什么图3OA BCD2 31解：AC是⊙O的切线．理由：连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∵∠COD是△BOC的外角，∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D，∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．求证：AC是⊙O的切线证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，DC∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D∵OB=BD ，∴OB=BC=BD.∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900.∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。
第15课时-与圆的切线有关的证明课件
初三年级数学学科
与圆的切线有关的证明（上）
一、据已知条件证切线
温习梳理
1、切线的定义:直线和圆有且只有1个公共点时，这条 直线叫圆的切线。
2、切线的性质:圆的切线 垂直 于过切点的半径。 3、切线的判定:
⑴和圆只有 一个公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离等于 半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且 垂直 于这条半径的直线是圆的
(2)解：如图所示，连接BM，OD.
∴∠ODB＝∠OBD.
由(1)得AD＝CD.
∵∠OBD＝∠ABD，
又∵AD＝CM，
∴∠ODB＝∠ABD.
∴CD＝CM，∠DBC＝∠MBC＝∠MDC. ∴OD∥AB.
∵DM⊥BC，
∵BE⊥DE，
∴∠DBC＋∠BDM＝90°.
∴OD⊥DE.
∴∠MDC＋∠BDM＝90°，即∠BDC＝90°∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的直径.
∴DE与⊙O相切.
∴OD＝OB，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1.
作业答案
2.已知：如图，AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线.
求证: AC∥BD
证明：
A
C
∵AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线
O
∴∠CAB＝∠DBA= 90°
∴∠CAB+∠DBA= 180° ∴AC∥BD
∴ PB是⊙O的切线．
3．如图，在 Rt△ ABC 中， C 90 ，AE 是△ ABC 的角平分线. AE 的垂直平分线交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O， 交 AB 于点 F.
求证：BC 是⊙O 的切线.
证明：连接 OE. ∵ AE 的垂直平分线交 AB 于点 O， ∴ OA=OE.
圆的切线课件
什么是圆的切线？
圆的切线是与圆只有一个公共点的直线，可以通过圆心与切点之间的连线来 画出切线。
圆的切线的性质
1 垂直性质
切线与半径垂直，形成90度的角。
2 切点延长线
切点在半径所在直线的延长线上。
3 夹角性质
两条切线的夹角等于对应切点处圆心角的一半。
如何求圆的切线？
求圆的切线的方法有两种： 1. 直接通过圆心和切点画出切线。 2. 利用勾股定理和切线的性质求出切线方程。
圆与直线的位置关系
弦
圆内一条与圆心的距离小于 半径的直线。
切线
圆内一条与圆心的距离等于 半径的直线。
割线
圆内一条与圆心的距离大于 半径的直线。
结语
圆的切线是圆的基本性质之一，它的定义、性质和求法可以帮助解决与圆有 关的形态变化、函数等问题。 通过深入了解圆的性质，我们可以更好地理解和应用数学知识。
浙教版初中数学九年级下册 2.2 切线长定理3 课件
∠APB＝50度，连结PO，
则∠APO= 25度
A O
P
B
练习3、如图,已知⊙O的半 径为3厘米，PO＝6厘米， PA，PB分别切⊙O于A， B ，则 PA= ， ∠APB=_________。
• 练习4：如图，PA、PB、DE
分别切⊙O于A、B、C，DE
分别交PA，PB于D、E，已
知P到⊙O的切线长为8CM，
复习旧知
(1)和圆有唯一公共点的直 线叫 圆的切线
（2）圆的切线 垂直于 过切点的 半径。
探索新知：
• 想一想：过圆外一点，可 以画圆的几条切线？画出 图形并观察，可以得出那 些结论？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长。 思考：切线
长和切线的 区别和联系？BFra bibliotekP O
C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
想一想：
（1）切线长 PA、 PB之间的关 系，同时观察∠1，∠2的关系。
（2）请根据你的观察尝试总结它们之 间的关系。
A
O
1
2
p
B
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
= (x+2 cm
B
) 在RtΔ OAP中，PA= 4cm，由勾股定理得
即：
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
对于较复杂的图 形为了解题我们 可以用数形结合
的方法
练习1：判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（
）
练习2：填空选择
圆的切线的证明 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半 径的直线是圆的切线.
l
r
d l
O
A
l
∴ OF 是⊙O 半径，且OF⊥AC ∴AC 是⊙O 的切线．
1.半径 2.垂线段
C
要点归纳
证切线时辅助线的添加方法
(1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径.
例1
例2
要点归纳
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时， 我们说这条直线是圆的切线;
九年级-上册-第二十四章节
圆的切线的证明
难点：理解切线的判定定理，并会用切线判定定理进行简单证明
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
巩固新知
要点归纳
2
温故知新
直线和圆只有一个公共点时，这条 直线和圆相切，这条直线是圆的切 线;
数量关系：圆心到这条直线的 距离等于半径(即d=r)时，直线 与圆相切；
例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，半径OE ⊥AB 于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
证明：过O 作OF ⊥AC,连接OA.
A
∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． E
F
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF.
B
O
∵OE 是⊙O 半径，
O
A
l
点A在圆上
OA是半径
公共点
点A在直线上
OA是垂线段
dr l
3
活动与探究 学习新知
中考专题提升与圆的切线有关的计算与证明
专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．图Z12－1 经典母题答图【解析】如答图，连结OC.∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方式】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，取得切线与半径垂直．【中考变形】[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图Z12－2解：(1)如答图①，连结AC，∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；中考变形答图①中考变形答图②(2)如答图②，连结AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考预测】[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1)求证：AP＝AB；(2)假设OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25，∵12PC·OH＝12OC·OP，∴OH＝OP·OCPC＝455，∴CH＝OC2－OH2＝85 5，∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝165 5，∴BP＝BC－PC＝1655－25＝655.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．图Z12－4经典母题答图证明：如答图，连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．【思想方式】证明圆的切线经常使用两种方式“作半径，证垂直”或“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD ⊥CD.(1)假设BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)假设AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．图Z12－5 中考变形1答图解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)证明：如答图，连结OC，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直线CD是⊙O的切线．2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假设CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．图Z12－6 中考变形2答图【解析】(1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，依照“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE ＝90°，从而得证；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理成立关于半径的方程求解．解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.【中考预测】如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)假设BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH＝BH＝12BF＝1，∴HD＝DF2－FH2＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。
九年级数学人教版圆的切线复习PPT优秀课件
1 •直线和圆的位置关系有哪几种？什么叫直线和圆相切?2.我们学习过的切线的判定定理和性质定理分别是什么?切线的判定定理:过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1过切点且垂直于切线的直线必过推论2过圆心且垂直于切线的直线必过切点(1)(2)(3)(4)(5)(6)判断对错@和圆有公共点的直线是圆的切线。
（X ）经过半径的一个端点并且垂直于这条半径的直繰最的切线。
（X ）若一条直线与圆的直径垂直，则这条直线就是圆的切线。
111到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
（）与两条平行线都相切的圆的直径等于这两条平行线间的距离。
（x/）与等边三角形的两边相切的圆必定与第三边相切。
（7）过切点的直径垂直于切线。
例1:匕；1： Ull ^T/ AB x ZC=90°,以AC为直径巴G €交■斗边门卡DQE〃AB交BC于E 求证：DE是圆O的切线分析：要证DE是OO的切线，只要证明DE经过OO 的半径的外端并且垂直于这条半径•由于点D在OO上，因此连结OD，只要证明DE丄OD・证明：连结OD•••OE〃AB，AZ1 = Z2, Z3=Z4, 又V0A=0D,AZ1=Z3.••• Z2=Z4 在ZkOCE和AODE中OC=OD, Z2=Z4,OE=OE AAOCE^AODE ・••• ZC=Z90°••• ZODE=90°,即DE 丄0D・•••DE是00的切线。
C E例）2:已知：如图△ ABC中AD丄BC, AD=-yBC , E, F 分别是AB, AC的中点，AD与EF相交于H, 求证：以EF为直径的0 O于BC相切分析：要证BC与O O相切•因为并不知道BC过。
O上哪一点所以只.十□口能作圆心O到BC的垂线段OG然后证明OG 等于。
O的半径证明：作OG丄BC,垂足为GVE, F分别是ABj AC的中点••・EF〃BC, KEF=yBCo 是AD的中点，即HD=-iAD.VAD=-1BC.AAD=EF•••HD=-^EFVAD 丄BC，OG丄BC, EF/7BC,•••OG=HD=寺EF•••OG是G>0的半径。
小专题13 与圆的切线有关的计算与证明-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共17张PPT)
5．如图，点 O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与 PA 相切于点 C. (1)求证：直线 PB 与⊙O 相切； (2)PO 的延长线与⊙O 交于点 E，若⊙O 的半径为 3，PC＝4.求弦 CE 的长．
解：(1)证明：过点 O 作 OD⊥PB，连接 OC. ∵AP 与⊙O 相切， ∴OC⊥AP. 又∵OP 平分∠APB，∴OD＝OC. ∴PB 是⊙O 的切线．
(2)过点 C 作 CF⊥PE 于点 F.
在 Rt△ OCP 中，OP＝ OC2＋CP2＝5.
∵S△ OCP＝12OC·CP＝12OP·CF，∴CF＝152.
在 Rt△ COF 中，OF＝ CO2－CF2＝95.
∴FE＝3＋95＝254.
在 Rt△ CFE 中，CE＝
CF2＋EF2＝125
5 .
6.(遵义中考)如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∠APB ＝60°，连接 PO 并延长与⊙O 交于 C 点，连接 AC，BC. (1)求证：四边形 ACBP 是菱形； (2)若⊙O 的半径为 1，求菱形 ACBP 的面积．
3 2.
︵ 7．如图，⊙O 是边长为 6 的等边△ ABC 的外接圆，点 D 为BC的
中点，过点 D 作 DE∥BC，DE 交 AC 的延长线于点 E，连接 AD，
CD. (1)DE 与⊙O 的位置关系是 相切 ；
(2)求△ ADC 的内切圆半径 r.
︵ 解：∵D 为BC的中点，
︵︵ ∴BD＝DC.
∴∠BAD＝∠DAC＝30°.
又∵AB＝AC，
∴AD 垂直平分 BC.
∴AD 为⊙O 的直径．
∴∠ACD＝90°.
在 Rt△ ACD 中，∠DAC＝30°，
设DC＝x，则AD＝2x. 由勾股定理，得AD2＝DC2＋AC2， 即(2x)2＝x2＋62.解得x＝2 3. ∴DC＝2 3，AD＝4 3. 作Rt△ ADC的内切圆⊙O′，分别切AD，AC，DC于点F，G，H， 易知CG＝CH＝r， ∴AG＝AF＝6－r，DH＝DF＝2 3－r. ∵AF＋DF＝AD， ∴6－r＋2 3－r＝4 3. ∴r＝3－ 3.
浙教版初中数学九年级下册2.2《切线长定理(第2课时)》10张课件
从第⑵点的结论得出：
O·
l A
切线的性质定理 圆的切线垂直于过点的半径.
如图, 直线l是圆O的切线, 切点为A, ∠OBA=40°,求∠AOB.
解: 由于线段OA是过切点的半径,
因此 OA ⊥l,从而∠OAB=90°,
于是∠AOB=90°－40°
·O
=50°
40°
B
A
l
求证:经过直径两端点的切线互相平行.
B
l2
因此l1_____∥________l2. (垂直同一条直线的两条直线平行 )
过圆O上一点A画圆O的切线.
分析:
过圆O上一点A的切线l与半径OA有什么关系? 据切线的性质定理, l ⊥OA, 由此受到启发,过点A作一条直线l与OA垂直, 据切线的判定定理, L 就是圆O的切线.
作法: ⑴连结OA;
∴C为AB的中点
O· C A ·BFra bibliotek2.证明:圆心到圆的割线的距离小于半径．
3.画一个圆O,在圆O上任取一点A,过点A画圆O的切线.
作法: ⑴连结OA;
⑵过点A作直线l与OA垂直.
O·
·
l
A
直线 l 就是所求作的切线,如图
再见
⑵过点A作直线l与OA垂直. 直线l就是所求作的切线,如图
O·
·
l
A
练习
1.如图,这是手表的圆形表盘,两个圆的圆心都是O, 大圆的弦AB所在直线是小圆的切线,切点为C, 求证:C是线段AB的中点.
证明: 两个同心圆.连接OA,OB OA=OB
∴△OAB为等腰三角形 C为切点,OC⊥AB 即OC为△ABO的高, ∴OC为△ABO的中线
已知:如图,AB是圆O的直径, l1 分别是经过点A,B的切线.
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(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
图Z12－2
解：(1)如图(1)，连结OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∴∠OCD＝90°.
由AD⊥l，得∠ADC＝90°，
∴∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC.
变形答图(1)
在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
(2)如图(2)，连结BF. ∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE ＝18°， ∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18° ＝108°. 在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形， ∴∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝ 72°. 由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝ 18°.
预测答图(1) (2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC， ∴∠ABC＝12(180°－∠BAC)＝63BF＝90°.
∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°.
(3)连结OD，∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠BAC＝∠ODA＝54°，
∴∠AOD＝180°－∠BAC－∠ODA＝72°.
变形答图(2)
如图Z12－3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过 点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
(1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数；
︵ (3)若 AB＝6，求AD的长．
图Z12－3
解：(1)连结AE，∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O 的半径 r.
图Z12－7
解：(1)连结OA，OD，则OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°.
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠AFC＝90°.
∵AB＝6，
∴OA＝12AB＝3. ∴A︵D＝72π18×0 3＝6π5 .
预测答图(2)
二 与切线的判定有关的计算或证明
已知：如图Z12－4，A是圆⊙O外一点，AO的延长线 交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求 证：直线AB是⊙O的切线．(浙教版九下P38例3)
图Z12－4 证明：略．
变形1答图
(2)解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2， ∴AB＝2BD＝4， ∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
2．[2014·威海]如图Z12－6，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交 AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.
教材母题答图 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过 切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得 到切线与半径垂直．
[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径， AD⊥l于点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD＝HF.
图Z12－6
解：(1)证明：如图，连结OE. ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠CBE. ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠CBE＝∠OEB， ∴OE∥BC， ∴∠OEA＝∠C＝90°， 变形2答图 ∴AC是⊙O的切线．
(2)如图，连结DE. ∵∠OBE＝∠CBE，
︵︵ ∴DE＝EF， ∴DE＝EF. ∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EH⊥AB， ∴EC＝EH.A 又∵∠C＝∠EHF＝90°，DE＝EF， ∴Rt△DCE≌Rt△FHE. ∴CD＝HF.
[2013·防城港]如图Z12－7，以△ABC的BC边上一点 O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为 BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
专题提升（十二） 与圆的切线有关的证明与计算
一 与切线的性质有关的计算或证明 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点 P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长 为___1___．(浙教版九下P42作业题第1(2)题)
图Z12－1
【解析】 连接OC，因为PC为⊙O的切线，所以 ∠PCO＝90°，
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
预测答图
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵BF＝8，DF＝ 40，⊙O 的半径为 r，
∴OF＝BF－OB＝8－r. ∵在直角三角形 OFD 中，OD2＋OF2＝DF2，
∴r2＋(8－r)2＝( 40)2，
解得 r＝6 或 r＝2(不合题意，舍去)， ∴⊙O 的半径 r＝6.
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径， 证垂直”或者“作垂直，证半径”．
1．[2013·牡丹江]如图Z12－5，点C是⊙O的直径AB 延长线上的一点，且有BO＝BD＝BC.
(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
图Z12－5
解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC， ∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC， ∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线；