求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
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1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数f 在2D R ?上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,
则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0
lim ()P P P D
f P A →∈=.
上述极限又称为二重极限．
２.二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则
0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →=．
例１ 求2
(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2
(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以
12
212
2lim (,)
lim(2)
12125.
x y x y f x y x xy →→→→=+=+??=
例2 求极限()()2
21,1,21
lim
y x y x +→.
解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即
()()221,1,21lim
y x y x +→=31
.
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2．2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求
00
x y →→
解
: 00
x y →→
00
x y →→=
0x y →→=
00
1.
4
x y →→==-例4 ()()
2
2
220,0,321
)31)(21(lim y
x y x y x +-++→．
解
:
原式
()()
(
)
)()
()
,0,02
211lim
231x y x
y →=
+
()(
22
,0,0lim
x y →=
+
11022
=
+=．
2.3 利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的
等价无穷小((,)0)
u x y→,有sin(,)(,)
u x y u x y;
2(,)
1cos(,)
2
u x y
u x y
-;
[]
ln1(,)(,)
u x y u x y
+；tan(,)(,)
u x y u x y;arcsin(,)(,)
u x y u x y；
arctan(
,)(,)
u x y u x y
(,)
1
u x y
n
;(,)1(,)
u x y
e u x y
-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.
例５求
x
y
→
→
解: 当
x→,0
y→时，有0
x y
+→
1
1()
2
x y
+，所以
1
()
2
lim
1
.
2
x
y
x
y
x y
x y
→
→
→
→
+
=
+
=
这个例子也可以用恒等变形法计算,如
:
1
.
2
x
y
x
y
x
y
→
→
→
→
→
→
=
=
=
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2.4 利用两个重要极限
(,)0sin (,)lim 1(,)
u x y u x y u x y →=，[]1
(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重
要极限的推广．
例6 求极限 21lim(1)x x y
x y a
xy
+→∞→+
．
解: 先把已知极限化为
2
2
()
1
1lim(1)lim (1)x x xy x y xy x y
x x y a
y a xy xy ++→∞→∞→→??+=+???
?，而 211
lim
lim ,()(1)x x y a y a x y xy x y a
y x
→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,
0xy xy →∞→,所以 1
lim(1).xy x y a
e xy →∞→+=
故原式=2()
11lim (1).
x xy x y xy x
y a a
xy e +→∞→??
+???
?=
例７ 求 0sin()
lim
x y a
xy x →→极限.
解: 因为
sin()sin()
.xy xy y x xy
=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()
1xy xy
→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()
lim
lim .lim .lim .x x y a xy y a y a
xy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．
这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()
xy xy ．
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所以， 00sin()lim
lim lim .x x y a y a y a
xy xy
y a x x →→→→→===
２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论
例8 求
00
11
)sin cos x y y x y →→
解: 因为
00)0x y y →→= 是无穷小量, 11
sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，
故可知
，00
11
)sin cos 0.x y y x y →→=
例9 求 22232
(3)(2)
lim (3)(2)x y x y x y →→---+-
解 原式=2232
(3)(2)
lim
(3)(3)(2)x y x y x x y →→--?--+-
因为 222222
(3)(2)(3)(2)1
(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-??-+-?? 是有界量，又 3
2
lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，
所以 ， 22232
(3)(2)
lim
0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .
２.６利用变量替换法
通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,
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从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
定理：函数(),f x y 点()00,x y 的取心领域内有定义的且cos a 、cos b 沿向量
()0,
0x x
y y --的方向余弦，
若二元函数的极限()000
lim cos ,cos t x t a y t b A →++=,则 )1若A 的值与a 、b 无关，则()()
()00,,lim
,x y x y f x y A →=;
)2若A 的值与a 、b 有关,则
()()
()00,,lim
,x y x y f x y →不存在；
例10 求 22()lim ()x y x y x y e -+→+∞
→+∞+
解 2222
2
()
22()lim ()lim 2x y x y x x y y x y x y x y e
e x xy y -++→+∞→+∞→+∞
→+∞??+++=???++?
? 因 0,0x y >>时,22
2
2
12x y x xy y
+≤++ ，令 x y t +=，显然满足定理的条件，则22()22lim lim lim lim 0x y t t t x t t t y x y t t e e e e +→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞
+====,所以 ,22()
lim ()0x y x y x y e -+→+∞→+∞+= . 例１１ 求极限
0tan x y x y →→+
解:
令u =
又0
lim 0x x y y u →→→→==显然满足定理的条件,则
22
22200000
1cos sin 1sin 1lim
lim lim cos tan 2sec 22
x u u u y u u u u u u u u →→→→→-===??=
2．７ 利用夹逼准则
二元函数的夹逼准则:设在点000(,)P x y 的领域内有
(,)(,)(,)h x y f x y g x y ≤≤,且
0000(,)(,)
(,)(,)
lim (,)lim (,)x y x y x y x y h x y g x y A →→=
=(常数),则
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00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y A →= ． 但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩.
例1２ 求 22
00
lim x y x y x y →→++
解： 因为 2
22()
00(0,0)x y x y x y x y x y x y
++≤≤=+→→→++ ,由夹逼准
则，得 22
00
lim
0x y x y x y →→+=+ ． 例13 求极限222)
sin(lim y x y x y x +∞
→∞→．
解： 2
22221
)sin(0y x y x y x +≤+<， 又
01
lim
22=+∞
→∞→y x y x ，
故
222)
sin(lim y x y x y x +∞
→∞→=0．
2.8 先估计后证明法
此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限,然后用定义证明.
例14 求函数22
22(,)x y f x y x y =+在点(0,0)处的极限.
解: 此例分2部考虑：
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先令y kx =，考虑(,)f x y 沿y kx =(,)(0,0)x y →时的极限,
424222
2222220000lim (,)lim lim lim 0(1)1x x x x y kx
x k x k k f x y x x x k x k k →→→→====?=+++ .因为路径y kx =为特殊方向，因此我们还不能判断出极限为0．所以下面用定义检验极限是否为
0: 因为
222222222222
222()(,)002()2()
xy xy xy x y x y x y f x y x y x y x y x y ??+-=-==≤++++1
0022
xy x y =
=-?- 于是，0,ε?>
取0,(,):0,0x y x y δδδ=>?-<-<且
2222102x y x y δδ-≤?+=22δ22ε
ε==，所以222
200
lim 0x y x y x y →→=+． 例１5.求()2
24
,xy f x y x y =+在()0,0的极限.
解:若函数()2
24
,xy f x y x y
=+中动点(),p x y 沿直线y kx =趋于原点()0,0， 则()()()()()
222232
2424
244242,0,0,0,lim
lim lim lim 01x y x y kx x o x o xy xy xk x x k x y x y x k x x k x →→→→====++++ 即函数()2
24
,xy f x y x y =+中动点(),p x y 沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极限为0；但根据这个我们不能说它的极限为0；由于动点(),p x y 沿着其它的路
径，比如沿抛物线y =,其极限为
()()224,0,0lim x y xy x y →+(
)(2224220,1lim 2x x y xy x x y x x →→===++从而判断出()()2
24,0,0lim x y xy x y
→+不
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存在;通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径，也就是说,我们沿动点
(),p x y 不仅任何路径而且还必须任意方向;
2.9 利用极坐标法
当二元函数中含有22x y +项时，考虑用极坐标变换：
cos ,sin x y ρθρθ==通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数(,)f x y 转化为只含有参量ρ的函数()g ρ，进而求二元函数的极限.
例16 计算
2222
(,)(0,0)
lim ()sin
x y x y
x y x y
→+++ 解: 极限中的二元函数含有22x y +,令cos ,sin x y ρθρθ==,使得
222
222
(sin cos )0()sin
sin x y x y x y θθρρρ
++≤+=≤+
，20
lim00,lim 0ρρρ→→==，
由夹逼准则得，20
(sin cos )
lim sin
0ρθθρρ
→+=
所以，
2222
(,)(0,0)
lim ()sin
0x y x y
x y x y →++=+．
例１7 求极限2
24
00
lim x y xy x y →→+. 解：若令t 为变量,使cos ,sin x t y t θθ==且[],2o θπ∈,则
2222224
cos sin 0cos sin xy t x y t θθ
θθ
-=++，当(),x y ()0,0→时,t →0.对任意固定的θ 上式均趋于0，但不能下结论说22400lim x y xy x y →→+=0.事实上224
00
lim x y xy x y →→+不存在,这只让
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(),x y 沿着任意方向y kx =趋于定点（0，0)，此时224200
lim 1x y xy k x y k →→=++． ＝在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为a ;若化简后的函数为(,)g ρθ，但对于某个固定的00,(,)0g θρθ→,仍不能判断函数的极限为a .
2.10 利用累次极限法
一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函数(,)f x y 满足定理2的条件,就可以利用累次极限00
00
lim lim (,)lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→或来计算
极限.
定理２ 若(,)f x y 在点00(,)x y 存在重极限00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →与两个累次极
限
00
00
lim lim (,),lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→,则它们必相等.
例１8 求极限44
22(,)(0,0)lim x y x y x y →++
解:
4422222
2222
()x y y y x x y x y x y
+--=≤++,∴对任意440
2220(0,),lim y x y x U x x y δ→+∈=+一致的成立;而对440
2220(0,),lim x x y y U y x y
δ→+∈=+存在，根据定理１,得
444422222(,)(0,0)000
lim lim lim lim 0x y x y x x y x y x x y x y →→→→++===++． 这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算,如：
（1） 用先估计后证明法:
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解： 通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小量，故极限应为0,定义证明：
0,ε?> 因为 444422
222222
0x y x y x y x y x y x y
+-≤+≤++++,故要使4422,x y x y ε+<+
只要取δ=
(,):,x y x y δδ?<<则4422
220442
x y x y x y εεεε+-≤+<+=<+，
故 4422(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+.
(2）用极坐标法
解 令 cos ,sin x y ρθρθ==,因为
444442442222
(cos sin )0(cos sin )2x y x y ρθθρθρρ
++≤==+≤+,20
lim00,lim 20ρρρ→→==，∴由夹逼准则得，2440
lim (cos sin )0ρρθθ→+=,
所以,44
22(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+.
例１９求函数(),f x y =11
sin
sin x y y x
+的极限． 解:
()(),0,0001111lim sin sin limlim sin sin x y y x x y x y y x y x →→→????
+=+ ? ??
??? 当0x →，以y 为常数时，01
limsin x x
→ 不存在，从而得原函数极限不存在;很显然,这种计算法是错的;
因为
()(),0,011lim sin sin x y x y y x →??+ ???()()()(),0,0,0,011lim sin lim sin x y x y x y y x →→???
?=+ ? ????
?中，
当0x →