数学分析下——二元函数的极限课后习题
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第二节 二元函数的极限
1、试求下列极限（包括非正常极限）：
（1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y 2 ； （3）
(,)(0,0)
lim
x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1
； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1
x 4+y 4 ； （5）(,)
(1,2)lim
x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1
x 2+y
2 ；
（7）(,)(0,0)lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2
x 2+y 2
.
2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：
（1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ；
（3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3
x 2+y ；
（5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2
x 3+y 3 ；
（7）f(x,y)=e x -e y
sinxy .
3、证明：若1
。
(a,b)
lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。
y 在b 的某邻域内，有
lim x
a
f(x,y)=
(y)则 y
b lim a
lim x
f(x,y)=A.
4、试应用ε—δ定义证明
(x,y)(0,0)lim x 2y
x 2+y
2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）
(x,y)
(
,)
lim
f(x,y)=A ； （2）
(x,y)
(0,
)
lim
f(x,y)=A.
7、试求下列极限： （1）
(x,y)
(
,
)lim
x 2+y 2
x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,
)
lim (x 2+y 2)e -(x+y)；
（3）
(x,y)
(
,)
lim
(1+
1xy
)xsiny
； （4）(x,y)(,0)
lim
21
1+
x x y
x
.
8、试作一函数f(x,y)使当x
+
,y
+
时，
（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理及其推论3.
10、设f(x,y)在点0P (x 0,y 0)的某邻域U 。
(0P )上有定义，且满足：
（i ）在U 。
(0P )上，对每个y ≠y 0，存在极限0
lim x
x
f(x,y)=ψ(y)； （ii ）在U 。
(0P )上，关于x 一致地存在极限0
y y
lim f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，
存在δ>0，当0<|y-y 0|<δ时，对所有的x ，只要(x,y)∈U 。(0P )，都有|f(x,y)-(x)|<成立).
试证明
lim x
x 0
lim y y f(x,y)=0
lim y y 0
lim x x
f(x,y).