数学分析之数列极限PPT课件
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《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
数列的极限课件_PPT课件
n
例题讲解
例3 计算：
2 （1）lim 7 n n 3n 4 （2） lim n n n12n1 （3） lim n 6n2
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
3n 4 l i m lim 3 2 n n 6 n n ①若分子最高次＝分母的最高次，那么极限值为
分 子 最 高 次 项 系 数 分 母 最 高 次 项 系 数
n 1 2 n 1
2 2 n 3 n 11 l i m 2 n 6 3 n
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
2n3 3n 1 lim n 6n2
②若分子最高次>分母的最高次，那么极限值 不存在
①“项”随n的增大而小 ②但都大于0
③当n无限增大时， n 可以“无限趋于”常数0
2
1
知识讲解
1 1 1 1 举例2： , 2 , 3 , , n , 1 01 0 1 0 1 0
1 lim n 0 n 10
①“项”随n的增大而减小 ②但都大于0
1 ③当n无限增大时，1 0
n
可以“无限趋于”常数0
n 个
问题思考
思考： 用什么体现这种无限接近的过程？
知识讲解
1 1 举例7： 1 , , , , , 2 3 n 1
n
lim
n
1
n
n
0
①“项”正负交错排列，并且随n的增大其绝对值减 小
②当n无限增大时，
1
n
n
可以“无限趋于”常数0
知识讲解
举例7： a n
n
l i m a A , l i m b B n n
例题讲解
例3 计算：
2 （1）lim 7 n n 3n 4 （2） lim n n n12n1 （3） lim n 6n2
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
3n 4 l i m lim 3 2 n n 6 n n ①若分子最高次＝分母的最高次，那么极限值为
分 子 最 高 次 项 系 数 分 母 最 高 次 项 系 数
n 1 2 n 1
2 2 n 3 n 11 l i m 2 n 6 3 n
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
2n3 3n 1 lim n 6n2
②若分子最高次>分母的最高次，那么极限值 不存在
①“项”随n的增大而小 ②但都大于0
③当n无限增大时， n 可以“无限趋于”常数0
2
1
知识讲解
1 1 1 1 举例2： , 2 , 3 , , n , 1 01 0 1 0 1 0
1 lim n 0 n 10
①“项”随n的增大而减小 ②但都大于0
1 ③当n无限增大时，1 0
n
可以“无限趋于”常数0
n 个
问题思考
思考： 用什么体现这种无限接近的过程？
知识讲解
1 1 举例7： 1 , , , , , 2 3 n 1
n
lim
n
1
n
n
0
①“项”正负交错排列，并且随n的增大其绝对值减 小
②当n无限增大时，
1
n
n
可以“无限趋于”常数0
知识讲解
举例7： a n
n
l i m a A , l i m b B n n
高等数学PPT课件：数列的极限
4
2, 4, 8, 16, 32, ; {2n }
1, 1, 1, 1, 1, ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , 3 , 6 ; 2345
{n (1)n1 } n
5
数列的极限
数列的几何表示 : 数列对应着数轴上一个点列.
x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
所以,
lim
n
xn
C.
15
数列的极限
四、收敛数列的性质
1. 有界性
定义 数列{ xn}, 若存在M > 0, 使得一切自然数 n
恒有 | xn | M 成立, 称数列 { x有n }界;
否则 无界.
如:
数列 xn
n n1
有界; 数列 xn 2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 x落n 在
闭区间 [ M上, M. ]
2
数列的极限
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
正6 2形n的1 面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
R
3
数列的极限
二、数列的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x2 , xn , 简记为{ xn },
xn 数列{xn}的 通项(general term)（一般项）
7
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1
|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小, 只要n充分大.
02 数列的极限PPT课件
n
n n n •极限定义的简记形式 牢记 ε-N定义 a.故发散 例如 : 不存在这样的常数 . 1 : 1 , 1 , 1 , 1 , , 1 , , 当 n n n 0, N N n N不存在这样的常数 时, 有|xn-a|a..故发散 lim x a . 2 : 2 , 4 , 6 , 8 , 16 , , 2 , . n
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点
x1, x2, x3, , xn , .
x1 xn x4 x3 x5 x2
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定 的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的 一般项.
当n 无限增大时, x
n
无限接近于1，等价于
x 1可 以 任 意 小 . n
即xn - 1能小于任意给定的常数 。
x 1(-1) n-
n-1
1 1 n n
当n 无限增大时, x
1 x 1 nn
n
无限接近于1，等价于
xn - 1能小于任意给定的常数 。
1 1 1 1 1 , , 只要 给定 , 由 n 100 时 , 有x n100 n 100 100
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
数列举例: 1 2 3 n n , , , , ; 记为 2 3 4 n 1 n 1 n 2, 4, 8, , 2n , ; 记为 2
n n n •极限定义的简记形式 牢记 ε-N定义 a.故发散 例如 : 不存在这样的常数 . 1 : 1 , 1 , 1 , 1 , , 1 , , 当 n n n 0, N N n N不存在这样的常数 时, 有|xn-a|a..故发散 lim x a . 2 : 2 , 4 , 6 , 8 , 16 , , 2 , . n
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点
x1, x2, x3, , xn , .
x1 xn x4 x3 x5 x2
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定 的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的 一般项.
当n 无限增大时, x
n
无限接近于1，等价于
x 1可 以 任 意 小 . n
即xn - 1能小于任意给定的常数 。
x 1(-1) n-
n-1
1 1 n n
当n 无限增大时, x
1 x 1 nn
n
无限接近于1，等价于
xn - 1能小于任意给定的常数 。
1 1 1 1 1 , , 只要 给定 , 由 n 100 时 , 有x n100 n 100 100
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
数列举例: 1 2 3 n n , , , , ; 记为 2 3 4 n 1 n 1 n 2, 4, 8, , 2n , ; 记为 2
数列的极限PPT教学课件
崖的半山腰是寝宫，寝宫的北边是飞石窟，
再上 则 北岳殿。
上负绝壁。
再向上就是北岳殿了。（北岳殿）上是绝壁。
飞石窟远眺
很高的
下 临 官廨，殿下 云台阶级 插
天，
下面挨着官署，殿下很高的台阶插向云天，
正房对面和两
庑侧门和上小屋下子，穹
高
碑
森
形容密
集立的子，样 从殿
廊屋上下，高大的石碑密集地竖立着，从殿
1.数列的极限
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
二、数列的极限
观察数列
xn
1 n
当n
时的变化趋势
洗过一样，
拄着，
策扶着 杖
这里指 恒山
登 岳， 面东而上，
我拄着拐杖开始攀登恒山，向东而上，
土冈浅阜，
登
无 攀跻 劳。
路上都是低矮的土山，没有爬山的劳累。
一里，转 北， 山 皆 煤炭，不 深 走了一里，转向北，山上都是煤炭，不需深
就
凿即可得， 又 一里，则
土
凿就可得到，又走了一里，就看到山上的土
红色
然而满山的荆棘茂密，参差不齐的树技和枯
只
踏
枝，但 能钩衣刺领，攀 践 即 断折，
枝，只是能钩刺衣服，抓住踩踏立即折断，
用力虽勤，
落
水流急的样
若 堕 洪涛，汩汩子
虽然不断地努力，却好像落入洪流中，水流
再上 则 北岳殿。
上负绝壁。
再向上就是北岳殿了。（北岳殿）上是绝壁。
飞石窟远眺
很高的
下 临 官廨，殿下 云台阶级 插
天，
下面挨着官署，殿下很高的台阶插向云天，
正房对面和两
庑侧门和上小屋下子，穹
高
碑
森
形容密
集立的子，样 从殿
廊屋上下，高大的石碑密集地竖立着，从殿
1.数列的极限
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
二、数列的极限
观察数列
xn
1 n
当n
时的变化趋势
洗过一样，
拄着，
策扶着 杖
这里指 恒山
登 岳， 面东而上，
我拄着拐杖开始攀登恒山，向东而上，
土冈浅阜，
登
无 攀跻 劳。
路上都是低矮的土山，没有爬山的劳累。
一里，转 北， 山 皆 煤炭，不 深 走了一里，转向北，山上都是煤炭，不需深
就
凿即可得， 又 一里，则
土
凿就可得到，又走了一里，就看到山上的土
红色
然而满山的荆棘茂密，参差不齐的树技和枯
只
踏
枝，但 能钩衣刺领，攀 践 即 断折，
枝，只是能钩刺衣服，抓住踩踏立即折断，
用力虽勤，
落
水流急的样
若 堕 洪涛，汩汩子
虽然不断地努力，却好像落入洪流中，水流
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
《数列的极限》PPT课件
1．数列极限的定义
设{an}是一个无穷数列，如果当项数 n 无限增大时，项 an 无限地趋近于某个常数 a(即|an
－a|无限地接近于
0)，那么就说数列{an}以
a
为极限(或者说
a
是数列{an}的极限)，记作
lim n→∞
an＝a.
2．几个常用极限
(1)lim C＝C(C 为常数)； n→∞
(2)lim n→∞
答案：1000
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知识要点一：对数列极限的理解 1．数列{an}的极限是指当 n 无限增大时，an 无限趋近的那个常数．如果当 n 无限增大时， an 不趋近于任何一个常数，那么这个数列就没有极限．数列的极限是一个常数，这个常数与 n 无关，求数列的极限就是求这个常数． 2．一个数列如果有极限，那么这个数列的极限是唯一的，即一个数列不可能有两个或 更多个极限．
知识要点二：几种常用数列的极限 1．常数数列的极限是这个常数本身，即n→lim∞C＝C(C 为常数)． 2．如果|a|＜1，那么n→lim∞an＝0；如果n→lim∞an＝0，那么|a|＜1；如果n→lim∞an 存在，那 么－1＜a≤1.
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xN1,xN2,全 位 于 这 个 ;邻 域 内 只有有限 (至个 多只N个 有)落在其. 外
1
1
n
任意小，并保持任意小，毕
竟它们都还是确定的数.
对0, 要 使 1(1)n1 1才 行 .
n
由不等式有 1 ，故只须 n 1 即可.
n
即 对 0,自然数
[1
] ，当
n
[
1
]时，便有
1(1)n1 1 .
n
， ， 定量定义：若 对 0 ,总 N [1 ]当 n N 时 有
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
此外，又因 是任意正数, 所以 2, 3, ,等
2
均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
|ana|
可以用 |a na|K ( K 为某一正常数 ) 来代替.
再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也 是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到 古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上 的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的 穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人 “对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极 限”,而是借助于间接证法——归谬法来完 成了有关的证明。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联 系，无限是有限的发展。无限个数的和不 是一般的代数和，把它定义为“部分和” 的极限，就是借助于极限的思想方法，从 有限来认识无限的。
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基 础之一,它不仅与函数极限密切相关，而且 为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子 三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说法
六、一些例子
极限思想：
1、割圆求周长
三国时期，数学
家刘徽应用极限
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
播放
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
讨论圆内接正多边形与该圆周的关系
已知圆内接正多边形的周长 ln 未知的圆周长 l
（1）在任何有限的过程中，
R
即对任何确定的n， ln 皆为 l
的近似值；（2）在无限的过
程中，即当n无限增大时，l n 无限接近于常数 l 的精确值.
l是 ln 当n无限增大时的极限
圆面积亦如此.
量变和质变既有区别又有联系，两者之间 有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量 的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数 学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆 内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到 的还是内接正多边形，是量变而不是质变； 但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之 后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转 化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法， 从量变来认识质变的。
1(1)n1 1. 则称数1是 n
1
(1)n1 n
的极限.
三、收敛数列的定义
一般地说,对于数列 { a n } , 若当 n 充分变大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 { a n } 收敛于 a . 下面给出严格的“ - N ”数学定义.
定义1 设 {an} 为一个数列, a 为一个常数, 若对于
求 N 的 “ 最佳性 ” .
数列极限的几何解释:
由定 x n a 义 ， 得 a x n a .
ax N 3
a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
对任意给邻 定域 的 O(a,)(a, a), 总 存在xN项 ，第N项 以后 的 所 有项
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想方法是数学分析必不可少的一 种重要方法，也是数学分析与初等数学的本 质区别之处。数学分析之所以能解决许多初 等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、 曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问 题），正是由于它采用了极限的思想方法。
二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了 一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这 样的过程可以无限制地进行下去.
n
10
即 自然数10，当n>10时，有
(1)n1
1
1
1 .
n
10
对 1, 1000
要
使 1(1)n1 n
1 1 10
, 0
只 0
须 n1
0
0.
0
对
1
, 要使 1(1)n1 1 1 , 只 须 n10000. 00
1000000
n
1000000
……
以上还不能说明
(1)n1
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下 1 ,
1
2
第二天截下
1 22 ,
,
第n天截下
2 n , . 这样就得到一个数列:
11 2,22,
1 ,2n,
, 或 2 1n .
容易看出:
数列
1 2n
的通项21n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
定性分析：当n无限增大时，1
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
任意的正数 0,总存在正整数 N, 使当 n >N 时,
|ana|,
则称数列{ a n } 收敛于a , 又称 a 为数列 { a n } 的极限, 记作 nli man a ( 或 a n a ,n ) . 若{ a n } 不收敛, 则称 { a n } 为发散数列.
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
数学分析之数列极 限
极限的思想是近代数学的一种重要思想， 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论 (包括级数)为主要工具来研究函数的一门学 科。
1
1
n
任意小，并保持任意小，毕
竟它们都还是确定的数.
对0, 要 使 1(1)n1 1才 行 .
n
由不等式有 1 ，故只须 n 1 即可.
n
即 对 0,自然数
[1
] ，当
n
[
1
]时，便有
1(1)n1 1 .
n
， ， 定量定义：若 对 0 ,总 N [1 ]当 n N 时 有
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
此外，又因 是任意正数, 所以 2, 3, ,等
2
均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
|ana|
可以用 |a na|K ( K 为某一正常数 ) 来代替.
再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也 是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到 古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上 的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的 穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人 “对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极 限”,而是借助于间接证法——归谬法来完 成了有关的证明。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联 系，无限是有限的发展。无限个数的和不 是一般的代数和，把它定义为“部分和” 的极限，就是借助于极限的思想方法，从 有限来认识无限的。
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基 础之一,它不仅与函数极限密切相关，而且 为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子 三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说法
六、一些例子
极限思想：
1、割圆求周长
三国时期，数学
家刘徽应用极限
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
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“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
讨论圆内接正多边形与该圆周的关系
已知圆内接正多边形的周长 ln 未知的圆周长 l
（1）在任何有限的过程中，
R
即对任何确定的n， ln 皆为 l
的近似值；（2）在无限的过
程中，即当n无限增大时，l n 无限接近于常数 l 的精确值.
l是 ln 当n无限增大时的极限
圆面积亦如此.
量变和质变既有区别又有联系，两者之间 有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量 的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数 学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆 内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到 的还是内接正多边形，是量变而不是质变； 但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之 后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转 化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法， 从量变来认识质变的。
1(1)n1 1. 则称数1是 n
1
(1)n1 n
的极限.
三、收敛数列的定义
一般地说,对于数列 { a n } , 若当 n 充分变大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 { a n } 收敛于 a . 下面给出严格的“ - N ”数学定义.
定义1 设 {an} 为一个数列, a 为一个常数, 若对于
求 N 的 “ 最佳性 ” .
数列极限的几何解释:
由定 x n a 义 ， 得 a x n a .
ax N 3
a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
对任意给邻 定域 的 O(a,)(a, a), 总 存在xN项 ，第N项 以后 的 所 有项
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想方法是数学分析必不可少的一 种重要方法，也是数学分析与初等数学的本 质区别之处。数学分析之所以能解决许多初 等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、 曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问 题），正是由于它采用了极限的思想方法。
二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了 一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这 样的过程可以无限制地进行下去.
n
10
即 自然数10，当n>10时，有
(1)n1
1
1
1 .
n
10
对 1, 1000
要
使 1(1)n1 n
1 1 10
, 0
只 0
须 n1
0
0.
0
对
1
, 要使 1(1)n1 1 1 , 只 须 n10000. 00
1000000
n
1000000
……
以上还不能说明
(1)n1
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下 1 ,
1
2
第二天截下
1 22 ,
,
第n天截下
2 n , . 这样就得到一个数列:
11 2,22,
1 ,2n,
, 或 2 1n .
容易看出:
数列
1 2n
的通项21n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
定性分析：当n无限增大时，1
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
任意的正数 0,总存在正整数 N, 使当 n >N 时,
|ana|,
则称数列{ a n } 收敛于a , 又称 a 为数列 { a n } 的极限, 记作 nli man a ( 或 a n a ,n ) . 若{ a n } 不收敛, 则称 { a n } 为发散数列.
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n
的“极限”。
数学分析之数列极 限
极限的思想是近代数学的一种重要思想， 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论 (包括级数)为主要工具来研究函数的一门学 科。