数学分析函数极限概念
数学分析之函数极限
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
nli mxn a
y xn
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
yA
yA
yA
落在窄带内.
O
x0 x 0 x0 x
注：f (x)在 x 0 处有无定义皆可.
lx im 11x2 0.
例5 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
Chapt 3 函数极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
数学分析第三章函数极限
第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地成立起函数极限的一样概念，把握函数极限的大体性质；2.明白得并运用海涅定理与柯西准那么判定某些函数极限的存在性；和，并能熟练运用；4.明白得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准那么的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生成立起函数极限的准确概念；会用函数极限的概念证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生慢慢成立起函数极限的δε-概念的清楚概念。
会应用函数极限的δε-概念证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-概念及其应用。
一、 温习：数列极限的概念、性质等 二、 教学新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.概念 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.概念函数极限的“”概念.几何意义.用概念验证函数极限的大体思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．概念：单侧极限的概念及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 假设存在, 那么有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生把握函数极限的大体性质。
教学要求：把握函数极限的大体性质：唯一性、局部保号性、不等式性质和有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
数学分析之函数极限
2. 是不惟一的, 一旦求出了, 那么比它更小的正
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
可以先限制 xx0 1, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
所以 x 2 x 0 2 (1 2 x 0)x x 0,故只要
xx0
12 x0
.
证 0,取min1,12x0,当 0xx0
时, 有 x2x02 .
这就证明了
limx2
limf(x)A 或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
一、x 趋于时的函数极限 二、x 趋于x0时的函数极限
三、单侧极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
高中数学中的数列极限与函数极限
高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念，在数学分析中有着广泛的应用。
本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并通过示例和推导来加深理解。
一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列，而数列极限则是指数列随着索引（通常是正整数）趋于无穷大时的极限值。
我们用符号来表示数列极限，记为lim(aa)=a，其中aa表示数列的第a项。
在数列极限的定义中，有两个重要的要素：趋于无穷大和极限值。
当数列的值越来越接近于某个常数a时，我们说数列的极限为a。
具体而言，对于任意给定的正实数a（ε），存在正整数a（N）使得当a>N 时，aa与a之间的差值小于a，即|aa−a|<a。
这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。
对于数列极限的性质，我们有以下结论：1. 常数数列的极限等于该常数本身：lim(a)=a，其中a为任意常数。
2. 收敛数列（即存在极限的数列）的极限唯一。
3. 若数列收敛，则数列必有界，即存在一个正数a（M），使得对于任意的a，都有|aa|≤a。
这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。
二、函数极限的定义与性质与数列极限类似，函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。
我们用lim(a→a)a(a)=a来表示函数极限，其中a(a)表示函数的表达式，a为自变量趋向的值，a为极限值。
函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。
对于任意给定的正实数a（ε），存在正实数a（δ）使得当0＜|a−a|<a时，有|a(a)−a|<a。
这个定义表明函数极限的存在性。
与数列极限类似，函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。
此外，我们还有以下性质：1. 若lim(a→a)a(a)=a_1，lim(a→a)a(a)=a_2，则lim(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。
2. 若lim(a→a)a(a)=a，则lim(a→a)aa(a)=aa，其中a为任意常数。
函数极限概念
引言在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法.一、函数极限概念定义1[]1设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在正数M （a ≥），使得当M x >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或()().f x A x →→+∞定义2[]1（函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=或0()()f x A x x →→.定理1[]1设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。
若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作lim ()(lim ())x x x x f x A f x A +-→→==或00()()(()())f x A x x f x A x x +-→→→→.定理2[]1（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.定理3[]1（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.定理4[]1（局部保号性）0lim ()0x x f x A →=>若（或<0），则对任何正数r <A （或r <-A ）,存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理5[]1（保不等式性）0lim ()x x f x →设与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域0'0(;)U x δ内有()()f x g x ≤，则lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤二、函数极限的求解与应用极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对函数极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法.求解函数极限的最基本的方法还是利用函数极限的定义，同时也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代换，展开、约分等方法化成比较好求的数列，也可以利用函数极限的四则运算法则计算.夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用. 洛必达法则是针对某些特殊的函数而言的，还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了.1、利用函数极限的定义根据函数极限的定义，是求极限的最基本的方法之一.例1 证明 1lim0x x→∞=. 证明 ε∀>0，∃M =1ε，则当x >M 时有，10x -=1x <1M =ε.所以有1lim0x x→∞=. 例2 用极限的定义证明20211lim 0x x x x -=-→ 0(||1)x <.证明 由于||1x ≤, 0||1x <, 因此22=≤≤于是, 对任给的)10(0<<>εε不妨设, 取,212εδx -=则当00||x x δ<-<时, 有 .11202ε<---x x注 用极限的定义时, 只需要证明存在)(δ或N , 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N (或δ)一致, 最后结合在一起考虑.2．利用极限的运算法则定理6[]1（四则运算法则） 若极限0lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都存在，则函数f g ±，.f g 当0x x →时极限也存在，且[]0lim ()()lim ()lim ();x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±[]0lim ()()lim ().lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=；lim ()x x g x →又若00,f g x x ≠→则当时极限存在，且有0()limlim ()/lim ().()x x x x x x f x f x g x g x →→→=例3 求221lim1nnn a a a b b b →∞++++++++, 其中1,1<<b a . 解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n--=++++--=++++++111,1111212,原式= 1111lim111111lim11n n n n a b a a b abb +→∞+→∞----==----例4 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++→20211lim x x x x . 解 原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--+-++=→)211(41121lim 220x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++--=→)11)(211()11(2lim2220x x x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-++-=→)11)(211(2lim20x x x x 41-=.注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.3．利用迫敛性（夹逼准则）定理7[]1 （迫敛性）0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==设，且在某0'0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则 0lim ().x x h x A →=例5 求下列函数的极限.(1)cos lim x x xx→-∞-；(2)2sin lim 4x x xx →+∞-.解 (1)因为-1≤cos 1x ≤，所以当0x <时，1cos 1x x x x-≤≤-， 于是 1cos 111x x x x x-+≤≤-,又因为 11lim (1)lim (1)1x x x x→-∞→-∞+=-=，由迫敛性得 cos lim1.x x xx →-∞-= （2）因为1sin 1,x -≤≤2-24x x x >≤-所以当时，22sin 44x x xx x ≤--， 又因为 2221lim lim 0,lim 04441x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞--===---， 又迫敛性得 2sin lim 4x x xx →+∞-=0.例6 求⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x 1sin sin 1lim 20.解 当0≠x 时, 有 222111|sin sin ||sin |x x x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,从而 2110|sin sin |||x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,由夹逼准则得 2011lim |sin sin |0x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以 01sin sin 1lim 20=⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x .注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准则求函数极限的关键：（1）构造函数)(x f , )(x h , 使)(x f ≤)(x g ≤)(x h ； （2）A x h x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 由此可得A x g x x =→)(lim 0.4．利用两个重要极限两个重要极限:（1)1sin lim0=→xxx ；(2)e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1)1)()(sin lim0=→x f x f x x ()(,sin ,0)(lim 0x f u u u y x f x x ===→)； (2)e x g x g x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→)()(11lim 0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=→)(,11,)(lim 0x g u u y x g ux x . 例7 求下列函数的极限（1）1lim sin ;x x x→+∞（2）30tan sin lim x x xx→- . 解（1）令1t x=， 0t 0.1sin lim sin lim 1.x t x tx x t++→+∞→→+∞→==则当 时， 于是 (2)23330002sin sin tan sin sin (1cos )2limlim lim cos cos x x x xx x x x x x x xx x→→→--==220sinsin 12lim ..2cos 211.1.21.2x x x x x x →⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦==例8 求下列函数的极限（1）02lim(1);x x x-→-（2）101lim()1x x x x→+- . 解（1）22221lim(1)=lim 1+-2xx x x e x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）11122100122lim()lim(1)lim(1)111x x x x x x n x x x x x x x--→→∞→+=+=+--- =2112202lim 11x xxx x e x --→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦.5．利用无穷小的性质和等价无穷小代换定理8[]1 设函数(),(),()f x g x h x 在0(,)U x δ'内有定义, 且有 )(~)(x g x f )(0x x →. (1) 若A x h x f x x =→)()(lim 0, 则A x h x g x x =→)()(lim 0；(2) 若B x f x h x x =→)()(lim, 则B x g x h x x =→)()(lim 0.性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理9[]1 设α,β均为无穷小, 且~,~ααββ'', 且αβ''lim 存在,则 αβαβ''=lim lim .例9 求极限22201cos lim sin x x x x →- .解 因为 222()1cos ~;2x x -所以 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x .例10 计算30sin sin tan limxx x x -→. 解 由于 )cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-, 而 )0(~sin →x x x , )0(2~cos 12→-x x x , )0(~sin 33→x x x ,故有 212cos 1lim sin sin tan lim 32030=⋅⋅=-→→x x x x x x x x x .例[]611 计算0x →.解 因为 211cos (0),2xx x -→ 且 22000222sin sin 1cos 22lim lim lim 111222x x x x x x x x x→→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 由定理得，0x→()200022lim 11122x x x x x x →→→====.注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.注2[]7常用等价代换公式: 当0→x 时, x x ~sin , x x ~arcsin , x x ~tan ,x x ~arctan , x e x ~1-, a x a x ln ~1-等.在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题.6.利用恒等变形法在求函数极限时，利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法有和有理化法. （1）约分法适用于计算00型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值.例12[]3 计算21lim 1n x x x x nx →+++--的值（n 为正整数）.解 原式=21(1)(1)(1)lim1n x x x x x →-+-++--= 121lim 1(1)(1)n n x x x x x --→⎡⎤++++++++⎣⎦12n =+++=(1)2n n+. 注 要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，求函数极限. （2）有理化法在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题.例13[]4 计算：0x ax→ （其中0a >）.解 原式=0x → =22x →=x →=12a注 此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化.7.利用洛必达法则（1）0型不定式极限定理10[]1 若函数)(x f 和)(x g 满足： (i ) 0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ'内两者都可导, 且0)(≠'x g ；(iii ) A x g x f x x =''→)()(lim(A 可为实数, 也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. （2）∞∞型不定式极限 定理 11[]1 若函数f 和g 满足： (i ) ∞==→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ内两者都可导, 且0)(≠'x g ； (iii ) A x g x f x x =''→)()(lim(A 可为实数,也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. 注[]8洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如,0∞⋅ 001,0,,∞∞∞-∞等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般可以化为00型和∞∞型的极限. 例 12[]3 计算：（1） 3arcsin lim;(arcsin )x x x x →- （2） 0lim ln x x x +→; （3） ()1ln lim xx x →+∞+.解 （1）这是一个型的不定式极限, 直接应用洛必达法则得:3000arcsin lim x x x x xx →→→-== )11(13lim2222+---=→x x x x x 61-=.（2）这是一个∞⋅0型的不定式极限, 用恒等变形xxx x 1ln ln =将它转化 为∞∞型不定式极限, 并应用洛必达法则得到 x x x ln lim 0+→0)(lim 11lim1ln lim 0200=-=-==+++→→→x xx x x x x x . （3）这是个0∞型不定式极限.类似地先求其对数的极限（∞∞型）：(+ln limlim1ln x x x xx→∞→+∞== 于是有(1ln lim xx x →+∞=e .注1 要注意条件，也即是说，在没有化为0,0∞∞时不可求导.注2 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.注3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.8.利用泰勒展开式泰勒展开式[]9：若()f x 在0x =点有直到1n +阶连续导数,那么,,()2(0)(0)()(0)(0)...()2!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：(1)21()2!!nxn x x e x o x n =+++++ (2) 352112sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n --=-+++-+-(3)24221cos 1(1)()2!4!(2)!nnn x x x x o x n +=-+++-+(4)21ln(1)(1)()2nn n x x x x o x n -+=-++-+ (5)2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x o x n ααααααα---++=+++++(6)211x x ()1n n x o x x=+++++-上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例13[]1 计算 2240cos limx x x e x -→- .解 利用泰勒公式求解 245cos 1()224x x x o x =-++22521()28x x xeo x -=-++2452cos ()12x x x e o x --=-+ 因而求得2452440010()cos 112limlim 12x x x x x x e x x -→→-+-==-.9.利用拉格朗日中值定理定理12[]1 若函数f 满足如下条件： (1)f 在闭区间上连续;(2)f 在(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()()().f b f a f b aξ-=-此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f例14[]10 求x x e e xx x sin lim sin 0--→.解 令x e x f =)( 对它应用中值定理得sin '()(sin )(sin )(sin (sin )) (01).x x e e f x f x x x f x x x θθ-=-=-+-<< 即sin '(sin (sin )) (01).sin x xe ef x x x x xθθ-=+-<<-xe xf =)(' 连续, ''0lim (sin (sin ))(0) 1.x f x x x f θ→∴+-==从而有 sin 0lim1.sin x xx e e x x →-=-结论求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的.对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手.从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析,不能机械地用某种方法，对具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用.参考文献：[1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M].第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001.[2] 彭辉. 高等数学辅导[M].北京: 高等教育出版社, 2003.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 1995.[4] 丁家泰. 微积分解题方法[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.[5] 刘三阳. 高等数学典型题解[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.[6] 吉米多维奇. 数学分析习题集解题[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999.[7] 钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26.[8] 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法[J]. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58.[9] 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法[J]. 河南科技学院学报, 2008,9(36):133-134.[10] Rudin W. Principle of Mathematical Analysis[M]. New York: John Pearson Edution, 1990.致谢在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感.在此，我对崇金凤教授表示诚挚的感谢以及真心的祝福.四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。
极限的数学定义
极限的数学定义
极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数或数列在某点无限接近于某个特定值的情况。
对于函数来说，极限可以用以下符号表示：lim f(x) = L，其中x趋近于a时，函数f(x)趋近于L。
这意味着当x值无限接近于a时，函数f(x)的值无限接近于L。
对于数列来说，极限可以用以下符号表示：lim an = L，其中n 趋近于无穷大时，数列an趋近于L。
这意味着当数列中的项无限增加时，数列的值无限接近于L。
极限的数学定义可以通过ε-δ语言进行精确描述。
对于函数来说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在点a处的极限为L。
对于数列来说，如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε成立，则称数列an的极限为L。
极限的概念在微积分、数学分析等数学领域中扮演着重要的角色，是许多数学理论和方法的基础。
函数极限的综合分析与理解.doc
函数极限的综合分析与理解数学不仅仅是工具，更是一种能力。
一些数学的方法被其它学科广泛地运用。
例如，经济学屮的边际分析、弹性分析等方法。
两数极限是高等数学屮的一•个重要问题。
极限可以与很多的数学问题相联系。
例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。
有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。
其ri的在于归纳和总结解决两数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。
局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，欢迎批评指正。
一、函数极限的定义和基本性质函数极限可以分成X-九o, X-8两类，而运用6-8定义更多的见诸于已知极限值的证明题屮。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以的极限为例，/（x）在点勺以4极限的定义是：0£>0,日/>0,使当O<|x-x o|<J吋，有\f（x）-A\<^A为常数）.问题的关键在于找到符合定义要求的在这一过程屮会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。
详见附例1。
函数极限性质的合理运用。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
如函数极限的唯一性（若lim存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明Tf0/（•¥）在兀0处的极限不存在。
即如果/（X J T A, B（刃-»oo,£和无）,则/（x）在如处的极限不存在。
运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。
例如对于有理分式/&）=巴¥ （P（x）,Q（x）均为多项式，0（兀）工0）。
设P（x）的次数为〃,0（兀）的次数为加,当X—>oc时，若几< m，则/（%）—> 0 ;若mn ,则f（x）—> P（x）与0（兀）的最高次项系数之比；若n > m ,贝I」/（x）->oo 。
极限的概念和计算方法
极限的概念和计算方法极限是微积分中的核心概念之一，它可以描述一个函数在某一点附近的行为特征。
本文将介绍极限的基本概念，并探讨一些常见的计算方法。
一、极限的概念在数学中，极限可以理解为一个函数在某一点趋于某个值（通常为无穷大或无穷小）。
为了准确定义极限，我们引入以下定义：设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这个定义可以形象地理解为：当自变量x足够靠近a时，函数f(x)的取值趋近于L。
二、极限的计算方法1. 代入法最简单的计算极限的方法就是利用代入法。
当函数在某一点a的确有定义时，我们可以直接将a带入表达式中计算函数的值。
例如，要计算函数f(x)=2x^2+3x-1在x=2处的极限，我们可以代入x=2，得到：f(2) = 2(2)^2 +3(2)-1 = 15因此，lim(x→2) f(x) = 15。
2. 分解因式法有时候我们可以通过分解因式的方法来简化极限的计算。
例如，要计算函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)，我们可以将分子因式分解得到：f(x) = (x+2)(x-2)/(x-2)若x≠2，则可以化简为：f(x) = (x+2)因此，lim(x→2) f(x) = 4。
3. 极限的性质极限满足一些基本的性质，利用这些性质可以简化计算过程。
以下是一些常见的性质：a) 常数性质：lim(x→a) c = c，其中c为常数。
b) 乘法性质：lim(x→a) cf(x) = c·lim(x→a) f(x)，其中c为常数。
c) 和差性质：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a)g(x)。
d) 乘积性质：lim(x→a) [f(x)·g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a)g(x)。
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例2 证明 lim arctan x
x
2
.
证 任给 0 (
2
), 取 M tan(
2
).
当 x M 时， 因为 arctan x 严格增，
π π f ( x ) arctan x 2 2
π π ( ) . 2 2
A是一个常数. 如果对于任意正数 , 存在正 定义，
数 , 当 x U ( x , ) U ( x0 ) 时,
f ( x) A ,
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则称 f ( x ) 当 x x0 时以 A 为极限. 记为
x x0
lim f ( x ) A
或者
f ( x ) A ( x x0 ).
lim f ( x ) A 或 f ( x ) A ( x ).
x
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x lim e 例3 求证 x 0.
证 对于任意正数 (0 1), 取 M ln ,
当 x ln 时
ex 0 ex .
这就是说
lim arctan x 不存在 . 则由定理 3.1，
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二、x趋于x0 时的函数极限
设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有定义. 下面我们直接给出函数 f (x)当 x x0 时以常数 A
为极限的定义.
x U 定义4 设 f ( x ) 在点 0 的某空心邻域 ( x ) 内有
x
lim f ( x ) A 或 f ( x ) A ( x ).
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定义3 设 f ( x )定义在的某个邻域U ( ) 内,
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0，当
x M时
A
f ( x) A ,
记为 则称 f ( x ) 当 x 时以 A 为极限，
x
f ( x ) 定义在 的一个邻域内， 则
lim f ( x ) A 的充要条件是：
x
lim f ( x ) lim f ( x ) A.
x
例如
π π lim arctan x , lim arctan x , x 2 x 2
x
x 1
2
2 2( x 1 2)
. ()
因
x 1 2 2( x 1 2)
2
x 1 ,
只要 x 1 , () 式就能成立, 故取 即可.
证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
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x1 2 1 x 1 , x 1 2 2
④ 有 A f ( x) A
①任意给定
0
O
a
②存在 M a
M
x
x
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③ 使当 x M 时
注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家 比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点 与不同点.
1 例1 证明 lim 0. x x 1 0 , 证 任给 取 M ,当 x M 时, 1 f ( x) 0 , x 所以(由定义1), 1 lim 0. x x
§1 函数极限概念
在本章 , 我们将讨论函数极限的基本 概念和重要性质.作为数列极限的推广, 函数极限与数列极限之间有着密切的 联系,它们之间的纽带就是归结原理. 一、x趋于时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限
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一、x趋于时的函数极限
设函数 f ( x )定义在 a ,
x
lim e x 0.
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1 0. 例4 求证 lim 2 x 1 x
证 对于任意正数 , 可取 M
1
, 当 x M 时, 有
1 1 0 2 , 2 1 x x
所以结论成立.
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从定义1、2 、3 不难得到:
定理 3.1
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x
lim f ( x ) A 的几何意义
y
A A A
④ 有 A f ( x) A
①任意给定
0
O
aHale Waihona Puke ②存在 M aM
x
x
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③ 使当 x M 时
x
lim f ( x ) A 的几何意义
y
A A A
x 1 2 1 例5 证明 lim . x 1 x 1 2 2
分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 | 时, 使
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x 1 2 1 x 1 2 2
x1 2 2 2( x 1 2)
1 1 x 1 2 2 2
30
40
x
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定义1 设 f 为定义在 a , 上的一个函数. A 为 定数, 若对于任意正数 0， 存在 M ( a )，使得
当 x M 时,
f ( x) A ,
则称函数 f ( x ) 当 x 趋于 时以 A 为极限.
记为
x
lim f ( x ) A 或者 f ( x ) A ( x ).
π arctan x . 这就是说 xlim 2
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定义2 设 f ( x )定义在 , b 上, A是一个常数.
若对于任意 0 , 存在 M 0, 当 x M ( b) 时
f ( x) A ,
则称 f ( x ) 当 x 时以 A 为极限, 记为
这就证明了
x 1 2 1 lim . x 1 x 1 2 2
y
A
上,当 x 沿着 x 轴的正向
无限远离原点时,函数f (x) 也无限地接近A,我们就称
f ( x)
f (x)当 x 趋于 时以A为
极限.
O
x
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例如 函数 y arctan x, 当 x 趋于 时, π arctan x 以 为极限. 2
y
π 2
1
0.5
O
10
20