1-3 高等数学—函数极限的概念与性质
大一高数极限知识点总结
大一高数极限知识点总结一、定义和性质高等数学中，极限是一种重要的概念，被广泛应用于微积分和数学分析。
理解和熟练掌握极限的定义和性质对于学习高等数学至关重要。
1. 无穷小量和无穷大量在研究极限时，无穷小量和无穷大量是两个常用的概念。
2. 极限的定义设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当 x 由点 x0 接近时，不等式 0 < |x-x0| < δ 总是成立，那么就称函数 f(x) 在点 x0 处极限存在，记为lim┬(x→x0)〖f(x)=A〗。
3. 极限的性质极限具有一系列重要的性质，包括唯一性、四则运算性质、和函数复合性质等。
二、极限的计算方法掌握极限的计算方法是学好高等数学的关键之一。
1. 用直接代入法计算极限当函数在极限点附近有定义时，可以通过直接将极限点代入函数来计算极限。
2. 用夹逼准则计算极限如果一个函数在某个点的附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限都为 A，那么待求函数的极限也是 A。
3. 分段函数的极限计算对于分段函数，我们可以分别计算每一段的极限，然后综合起来得到整个函数的极限。
三、常见的极限在高等数学中，有一些常见的极限形式是我们必须掌握的。
1. 无穷大与无穷小当 x 趋向于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 的极限可能为无穷大或无穷小。
2. 0/0 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是 0/0 型，那么我们通常要进一步进行简化或者换一种计算方法来求解。
3. ∞/∞ 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是∞/∞ 型，那么我们通常需要进行一些数学变换或者化简来求解。
四、高阶极限除了一阶极限外，高阶极限也是高等数学中的重要内容。
1. 一阶无穷小与高阶无穷小一阶无穷小是指函数 f(x) 在某一点处的极限等于 0，而高阶无穷小是指函数 f(x) 在该点的极限为 0，且比一阶无穷小更快地趋近于 0。
高数中的函数极限与连续性研究
高数中的函数极限与连续性研究函数的极限和连续性是高等数学中的重要概念和工具，对理解和解决各种数学问题起着关键的作用。
本文将研究和介绍高数中的函数极限和连续性的相关内容，包括定义、性质和应用等方面。
一、函数极限的定义与性质函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的值趋于无限接近于某一确定的值。
在高数中，我们常用极限符号“lim”来表示函数极限。
设函数f(x)的定义域为D，x是定义域内的变量，则对于实数a，如果存在实数L，使得对于任意小的正实数ε，都存在一个正实数δ，使得只要x满足0 < |x - a| < δ，则可推出|f(x) - L| < ε，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L。
这通常用以下数学符号表示：lim┬(x→a)〖f(x) = L〗函数极限有以下几个重要的性质：1.极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于某一实数a时极限存在，则该极限是唯一确定的。
2.局部有界性：如果函数f(x)在x趋于某一实数a时极限存在，那么它在a的某个邻域内是有界的。
3.极限运算法则：两个函数的极限之和等于它们的极限之和，两个函数的极限之积等于它们的极限之积。
二、连续性的定义与性质函数连续性是指函数在某一点上没有断裂和跳跃，并且函数值与自变量的变化呈现连续的关系。
具体而言，函数f(x)在定义域内的某点a处连续，需满足以下三个条件：首先，f(a)存在；其次，lim┬(x→a)〖f(x)存在〗；最后，lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗。
函数连续性的性质与应用：1.连续函数的性质：连续函数的和、差、积、商（除以不为零的函数）仍然是连续函数。
2.零点定理：如果连续函数f(x)在区间[a, b]内有两个函数值异号的点，则在这两个点之间至少存在一个零点。
3.介值定理：如果连续函数f(x)在区间[a, b]内取到两个不同的函数值，那么它在这个区间内取到介于这两个值之间的任意值。
三、函数极限与连续性的应用函数极限和连续性在高等数学中有广泛的应用，特别是在微积分和数学分析方面。
高等数学函数的概念及性质
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
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x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
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练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
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1.1.5. 初等函数
高等数学教材详细答案
高等数学教材详细答案1. 极限与连续1.1 数列极限的定义与性质(1) 数列极限的定义(2) 数列极限的性质1.2 函数极限的定义与性质(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质1.3 极限运算法则(1) 四则运算法则(2) 复合函数的极限(3) 三角函数的极限1.4 连续与间断(1) 连续的定义与性质(2) 间断点与间断类型2. 导数与微分2.1 导数的概念(2) 导数的几何意义2.2 导数的基本运算法则(1) 乘积法则(2) 商法则(3) 复合函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分(1) 高阶导数的定义(2) 高阶导数的性质2.4 微分的概念与运算(1) 微分的定义(2) 微分运算法则3. 微分中值定理与应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理(1) 罗尔定理(2) 拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则(2) 洛必达法则3.3 泰勒公式与极值问题(1) 泰勒公式的推导(2) 极值问题的求解4. 不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质(1) 不定积分的定义(2) 不定积分的基本性质 4.2 基本积分表与常用公式(1) 基本积分表(2) 常用公式与性质4.3 定积分的概念与性质(1) 定积分的定义(2) 定积分的性质4.4 定积分的计算方法(1) 几何与物理应用(2) 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用5.1 平面图形的面积(1) 平面图形的面积计算5.2 几何体的体积(1) 旋转体的体积计算(2) 截面法计算体积5.3 物理应用(1) 质量和质心的计算(2) 转动惯量和转动中心的计算6. 多元函数微分学6.1 二元函数与二元函数的极限(1) 二元函数的定义与极限(2) 二元函数的性质6.2 偏导数与全微分(1) 偏导数的定义与计算(2) 全微分的概念与性质6.3 多元函数的微分学定理(1) 多元函数的极值定理(2) 多元函数的条件极值问题7. 重积分7.1 二重积分的概念与性质(1) 二重积分的定义(2) 二重积分的性质7.2 二重积分的计算方法(1) 矩形区域的二重积分(2) 极坐标下的二重积分7.3 三重积分的概念与性质(1) 三重积分的定义(2) 三重积分的性质7.4 三重积分的计算方法(1) 柱面坐标和球面坐标下的三重积分(2) 三元函数的体积计算8. 曲线与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质(1) 第一类曲线积分(2) 第二类曲线积分8.2 曲线积分的计算方法(1) 参数方程下的曲线积分(2) 平面曲线的曲线积分8.3 曲面积分的概念与性质(1) 第一类曲面积分(2) 第二类曲面积分8.4 曲面积分的计算方法(1) 参数方程下的曲面积分(2) 线面积分的转化9. 常微分方程9.1 高阶常微分方程(1) 二阶常微分方程(2) 高阶常微分方程的线性方程 9.2 变量可分离方程与齐次方程(1) 变量可分离方程(2) 齐次方程9.3 一阶线性微分方程(1) 一阶线性微分方程的求解 9.4 常系数线性微分方程(1) 齐次线性微分方程的解法(2) 非齐次线性微分方程的解法10. 线性代数基础10.1 向量的基本概念与运算(1) 向量的定义与性质(2) 向量的线性运算10.2 矩阵与矩阵运算(1) 矩阵的定义与性质(2) 矩阵的运算法则10.3 行列式的定义与性质(1) 行列式的定义(2) 行列式的性质10.4 线性方程组与解的判定(1) 线性方程组的解的性质(2) 线性方程组的解的判定。
函数、极限与连续-极限的定义与性质
第1章 函数、极限与连续第2讲极限的定义与性质主讲教师 |引言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。
一尺之棰，日取其半，万世不竭。
--- 《庄子 • 天下篇》极限思想是研究变量变化趋势的基本工具,也是研究函数的一种基本方法.高等数学中的一系列基本概念,都是建立在极限理论基础之上的.01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质我们知道，按照一定顺序排列的数称为数列，记为其中ᵆᵅ如果能，是哪个数？ᵆ1,ᵆ2,⋯,ᵆᵅ,⋯能否无限接近于某个确定的数值？割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。
--- 刘徽引例R观察下列数列的变化趋势：?+∞Ὅ定义1.6Ὅ定义1.7几何意义x 2x 1x N+1x N+2x 3xa a -εa +ε2εx na -εN -1N+1N+2N+3N+4nN 1O 234a a+ε注释（1）极限定义的关键在于什么是无限增大,什么是无限趋近；（3）研究一个数列的极限,关注的是数列后面无限项的问题,改变该数列前面任何有限多个项,都不能改变这个数列的极限；用定义证明极限时,关键是确定合适的 N (一般不唯一) !Ὅ例1解解得01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质Ὅ 定理1.2Ὅ 定理1.3收敛数列的极限是唯一的。
即： （唯一性）收敛数列是有界的。
即：（有界性）（1）有界是数列收敛的必要条件;（2）无界数列必定发散。
Ὅ定理1.4（保序性）（保号性）定理1.5（收敛数列与子数列的关系）注定理 1.5 的逆否命题常用来证明数列的发散性。
常见情形如下：01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质ᵆᵅ=ᵅ(ᵅ)ᵆ=ᵅ(ᵆ)一般函数？Ὅ定义1.9（自变量趋于无穷大时函数的极限）注几何意义O xyy =f (x )A A -εA +ε-X XὍ定理1.6Ὅ例2解考察极限与是否存在.因为所以不存在.定义1.12（自变量趋于有限值时函数的极限）注几何意义y =f (x )AA -ε-+A +εy O x类似地，在自变量趋于有限值时也可以定义单侧极限：Ὅ定理1.7Ὅ例3解注01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质（唯一性）（局部有界性）Ὅ 定理1.8Ὅ 定理1.9Ὅ定理1.10（局部保序性）推论（局部保号性）Ὅ定理1.11（海涅定理）注（1）存在两个收敛于不同极限的子列；Ὅ 例4解函数草图：无限次振荡y x O1π1π2π3π4π5π6注当自变量取其他变化过程，包括上述极限的性质仍相应的成立，大家可以自行推导。
极限的定义和基本性质
极限的定义和基本性质极限作为一种基本的概念，是高等数学中的重要内容之一。
本文将从极限的定义和性质两个方面分析这一概念的重要性和应用。
一、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个数值时，函数的取值趋近于一个确定的值，这个确定的值便是函数的极限。
通常表示为：当$x$趋近于$a$时，$f(x)$趋近于$A$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=A$。
其中，$x$是自变量，$a$是$x$的极限点，$f(x)$是函数，$A$是函数的极限值。
当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值并不一定等于$A$，但$f(x)$的值与$A$的差距可以任意小。
这也是极限的常见特性之一，即无论误差多小，都可以无限接近极限值。
二、极限的性质极限具有许多重要性质，其中一些常见的性质包括：1、唯一性：函数的极限值是唯一的。
即，如果$\lim_{x \toa}f(x)=A_1$且$\lim_{x \to a}f(x)=A_2$，那么$A_1=A_2$。
这个性质直接来自极限的定义。
2、局部有界性：如果函数$f(x)$在某个$a$的邻域内存在极限，则$f(x)$在该邻域内有局部有界性。
这意味着，无论$x$ 接近$a$，值域的上下限必须存在。
因此可得出，$f(x)$在该邻域内一定存在最大值和最小值。
3、保号性：如果$\lim_{x \to a}f(x)>0$，那么在$a$的充分邻域内，对应的函数值必须大于于 $0$。
类似地，如果$\lim_{x \toa}f(x)<0$，则在 $a$ 的充分邻域内，函数值必须小于$0$。
4、等式性：如果$\lim_{x \to a}f(x)=A$，$\lim_{x \to a}g(x)=B$，那么$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$，$\lim_{x \toa}[f(x)g(x)]=AB$等等。
这个性质可以方便地应用于复杂的数学问题中。
以上仅是极限的一些基本性质，当然，还有许多特定函数的极限，如三角函数、指数函数、对数函数等等，每一个函数都有其特定的极限性质。
高等数学的教学课件1-3函数的极限
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
知识点5函数极限的概念与性质
知识点5函数极限的概念与性质函数极限是微积分中的重要概念，它描述了当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化趋势。
本文将介绍函数极限的概念、性质以及一些常用的计算方法。
一、函数极限的概念函数极限是指当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化情况。
常用的表示方法为：lim┬(x→a)〖f(x)〗=L其中，lim表示函数极限的意思，x→a表示自变量x趋近于特定值a，f(x)表示函数的因变量，L表示极限的值。
这个极限值L可以是一个实数，也可以是正无穷或负无穷。
二、函数极限的性质1.函数极限与函数值的关系如果函数f(x)的极限存在且等于L，那么函数f(x)在极限点a处的函数值也等于L，即：lim┬(x→a)〖f(x)〗=f(a)2.函数极限的唯一性如果函数f(x)在其中一点a的其中一邻域内有定义，并且存在极限lim┬(x→a)〖f(x)〗，那么这个极限值是唯一的。
3.函数极限的四则运算法则(1)两个函数的和的极限等于两个函数极限的和：lim┬(x→a)〖[f(x)+g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗+lim┬(x→a)〖g(x)〗(2)两个函数的差的极限等于两个函数极限的差：lim┬(x→a)〖[f(x)-g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗-lim┬(x→a)〖g(x)〗(3)两个函数的积的极限等于两个函数极限的积：lim┬(x→a)〖[f(x)g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗×lim┬(x→a)〖g(x)〗(4)两个函数的商的极限等于两个函数极限的商，前提是分母函数的极限不等于0：lim┬(x→a)〖[f(x)/g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗/lim┬(x→a)〖g(x)〗，其中lim┬(x→a)〖g(x)〗≠04.函数极限的乘方与开方法则(1)对于正整数n，函数的n次方的极限等于这个函数的极限的n次方：lim┬(x→a)〖[f(x)]^n 〗=[lim┬(x→a)〖f(x)〗]^n(2)对于正整数n，函数的开方的极限等于这个函数的极限的开方：lim┬(x→a)〖√[f(x)] 〗=√[lim┬(x→a)〖f(x)〗]三、函数极限的计算方法1.直接代入法当函数在其中一点a的邻域内有定义，并且该点是函数的连续点，可以通过直接代入a的值计算函数的极限。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是微积分中非常重要的概念，它们用来描述函数的趋势以及函数在某一点的行为。
本文将介绍函数极限和连续性的概念，并探讨它们的性质。
一、函数的极限的概念与性质函数的极限是研究函数趋势的基本工具。
我们先来介绍一下极限的概念。
1.1 极限的定义设函数 f(x) 在点 a 的某个去心领域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，那么我们称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，记为lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，包括极限的唯一性、四则运算法则等。
这里只介绍其中的一些性质。
（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，同时又以 M 为极限，那么 L = M。
（2）四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 当 x 趋近于 a 时分别以 L和 M 为极限，则有以下运算法则：- f(x) ± g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L ± M 为极限；- f(x)g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L × M 为极限；- f(x)/g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L/M 为极限（假设M ≠ 0）。
这些性质为我们进行函数极限的计算提供了便利。
二、函数的连续性的概念与性质函数的连续性是指函数在其定义域内没有间断点，即函数的图像是连续的。
接下来我们会详细讨论连续性的概念与性质。
2.1 连续性的定义设函数 f(x) 在某个区间 (a, b) 内有定义，如果对于任意选取的点x0∈(a, b)，当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限都存在且等于 f(x0)，那么我们称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
2.2 连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，包括若干个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。
大一高数知识点总结极限
大一高数知识点总结极限大一高数知识点总结极限极限是高等数学中非常重要的概念，它是数学分析的基础，也是其他数学学科的重要工具。
在大一的高等数学课程中，学生们会接触到很多与极限相关的知识点。
本文将就大一高数中与极限相关的知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数极限及其性质在高等数学中，我们常常要探讨函数在某个点处的“趋近”行为。
这种趋近的行为就是函数的极限。
函数极限的定义是：当自变量趋近于某个值时，函数的值也会趋近于一个确定的值，那么这个确定的值就是函数的极限。
具体来说，我们用以下符号表示函数极限：lim(x→a) f(x) = L其中，“lim”表示极限，“(x→a)”表示自变量x趋近于a，“f(x)”表示函数f(x)，“L”表示极限值。
在探讨函数极限的性质时，我们会遇到以下重要概念和定理：1. 唯一性定理：如果函数在某点存在极限，那么它的极限值是唯一的。
2. 夹逼定理：如果一个函数在某点的左、右两侧有两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么该函数在该点处的极限存在，并且等于这个相等的极限值。
3. 无穷小量：如果函数在某点的极限是0，那么该函数在该点处是无穷小量。
4. 无穷大量：如果函数在某点的极限不存在或为无穷大，那么该函数在该点处是无穷大量。
二、常见函数的极限计算在大一的高等数学学习中，我们经常需要计算一些常见函数在某点处的极限。
以下是一些常见函数的极限计算方法：1. 多项式函数：多项式函数在任何有限点处的极限存在，且极限值等于该点处的函数值。
2. 指数函数：指数函数e^x在任何有限点处的极限都存在，并且极限值等于该点处的函数值。
3. 对数函数：对数函数log(x)在x趋近于正无穷时的极限为正无穷，在x趋近于0时的极限为负无穷。
4. 三角函数：三角函数sin(x)和cos(x)在任何有限点处的极限存在，且极限值等于该点处的函数值。
三、无穷极限和级数除了常见函数的极限计算外，大一高数还会涉及无穷极限和级数的讨论。
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二、用函数极限的定义 证明： 1 4x2 1、 lim1 2 x 2 2 x 1 sin x 2、 lim 0 x x
三、试证 : 函数 f ( x ) 当 x x 0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 . x 四、讨论：函数 ( x ) 在 x 0 时的极限是否 x 存在?
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
x2 1 当0 x x 0 时, 就有 2 , x 1
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.
x0
例如,
x0 x0
y y 1 x
y x2 1
1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0; x从右侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0;
左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在.
x 0
二、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x ) 有极限 , 则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
2.唯一性
定理 若lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
3.函数极限的局部保号性
定理(保号性)
恒有 f ( x ) A .
1.函数极限与f ( x )在点x 0是否有定义无关; 注意：
2.与任意给定的正数有关.
2、几何解释:
当x在x 0的去心邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
A A A
y
y f ( x)
x x0 0
f ( x)
f ( x) A
思考题
1 x sin , x 试问函数 f ( x ) 10, 2 5 x ,
极限是否存在？
x0 x 0 在x 0 处
x0 的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x ) 的
左极限
0, 0, 使当x 0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0 0 ( x x0 )
右极限
0, 0, 使当x 0 x x 0 时,
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0) f ( x 0 0) A.
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
y
1
o
x
lim ( 1) 1
x 0
1
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
sin x 0. 例1 证明 lim x x
1 sin x sin x 1 证 , 0 x X x x
y
sin x x
1 0, 取 X , 则当 x X时恒有
sin x 0 , x
x
sin x 故 lim 0. x x
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
注意 : { x 0 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0}
x x0 0 ( x x0 )
练习题答案
一、1、0.0002； 四、不存在. 2、 397 .
谢谢!
思考题解答
x 0
lim f ( x ) lim (5 x 2 ) 5,
x 0
左极限存在,
1 lim f ( x ) lim x sin 0, x 0 x 0 x
右极限存在,
lim f ( x ) lim f ( x )
x 0 x 0
lim f ( x ) 不存在.
x 0
练 习 题
一、填空题:
1、当 x 2 时，y x 2 4，问当 取 ___ 时， 只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 .
x2 1 2、当 x 时，y 2 1，问当 z 取 ______ x 3 时，只要 x z，必有 y 1 0.01 .
满足不等式 f ( x ) A , 那末常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限, 记作
x x0
lim f ( x ) A 或
f ( x ) A(当x x 0 )
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
当x a时的子列.
定理
有数列xn ( a ), 使得n 时xn a .则称数列
若 lim f ( x ) A, 数列f ( xn )是f ( x )当x a
x a n
时的一个子列, 则有lim f ( xn ) A.
三、小结
函数极限的统一定义
lim f ( n) A;
n
lim f ( x ) A;
x
x x0
x
lim f ( x ) A;
x x0
x
lim f ( x ) A;
x x0
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A.
lim f ( x ) A 0, 时刻, 从此时刻以后, 恒有 f ( x ) A .
若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
x x0 0
则 0,当x U ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
推论
若 lim f ( x ) A, 且 0,当x U 0 ( x0 , )时,
x x0
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A , 那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
3、几何解释:
y
A
sin x x
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线 , 宽为 2的带形区域内.
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x ) 的图形的水平渐近线.
2、自变量趋向有限值时函数的极限
问题 : 函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
(见下表)
过 时
程 刻
从此时刻以后
n x x x N n N x N x N x N
f ( x) A
0
f ( x)
过 时 程 刻
x x0
xx
0
xx
从此时刻以后 0 x x0
0 x x0
o
x0
x0
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
例2 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x 0 时,
f ( x ) A C C 0 成立, lim C C . x x
0
例3
证明 lim x x 0 .
x x0
证 f ( x ) A x x 0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x 0 时,
f ( x ) A x x 0 成立,
lim x x 0 .
x x0
x 1 例4 证明 lim 2. x 1 x 1
f ( x ) 0(或4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a (a可以是x0 , x0 , 或x0 )中
f ( xn ), 即f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),为函数f ( x )
第三节 函数的极限
• 一、函数极限的定义 • 二、函数极限的性质 • 三、小结 练习题
一、函数极限的定义
1、自变量趋于无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x