4-运筹学A-第1章线性规划与单纯形法3.27,3.30,4.1,4.6,4.10,4.13
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运筹学第一章线性规划
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
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二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 9
方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
第01章 线性规划及单纯形法 《运筹学》PPT课件
(f)可行域为空集 无可行解
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3
单
纯
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点
形
几个基本定理
法
原
理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
j 1
标 准
s.t.
n j 1
pjxj
b
x
j
0
j 1,2,, n
型
a1 j
其中：
pj
a2
j
amj
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化
方法：
1 目标标准化
标
min Z 等价于 max ( - Z )
准
max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式
化
加松弛变量、减剩余变量
广度和深度、方法和算法的完
善
特点：
模型方法的应用
运
多学科的综合
筹
系统的整体观念
学 优点：
模 符号语言、便于交流
型
事前分析、减少失误
抽象反映实际、突出共性
确定目标，明确约束 提出问题 抓主要矛盾、舍次要矛盾
运
筹
选择模型、设定变量 建立模型
描述约束和目标、确定参数
学
方
求解、优化 选择求解方法、求解问题
法
(1.1a) (1.1b)
(1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
由于线性规划模型中只有两个决策
管理运筹学判断题背诵讲义
管理运筹学判断题背诵讲义第一章 线性规划与单纯形表a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的； b) 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； d)如线性规划问题存在可行域，则可行域定包含坐标的原点；e)对取值无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-其中'j x ≥0,''j x ≥0,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现'j x >0，''j x >0；f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与j σ>0对应的变量都可以被选作换人变量；g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；h) 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从 单纯形表中删除,而不影响计算结果；j)线性规划问题的任-可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；k)若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解则X=1λX 1 +2λX 2也是该线性规划问题的最优解，其中1λ，2λ可以为任意正的实数；1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 minz=ai ix ∑(ai x 为人工变量)，但也可写为minz=i ai ik x ,只要所有k i ,均为大于零的常数； m)对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为m n c 个；n) 单纯形法的迭代计算过 程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解定是基可行解；p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；r) 将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“一”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值:t)一个企业利用3种资源生产4种产品建立线性规划模型求解得到的最优解中最多只含有3种产品的组合；u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解； v)一个线性规划问题求解时的选代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
第01章 线性规划与单纯形法-运筹学
方案 规格
1 2 1
2 2 0
3 1 2
4 1 1
5 1 0
6 0 4
7 0 3
8 0 2
9 0 1
10 0 0
需求量 1000 1000
y1(根) y2
y3
余料（m）
0
0
1
0.3
0
0.5
2
0.1
3
0.4
0
0
1
0.3
2
0.6
4
0.2
5
0.5
1000
2013-6-6
第 13页
第1章 线性规划及单纯形法
充分利用设备机台时，工厂应生产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的
线性规划数学模型。
A Ⅰ 2
B 4
C 0
产品利润／ （元／件） 2
Ⅱ
设备可用机 时数（工时）
2
12
0
16
5
15
3
2013-6-6
第 4页
第1章 线性规划及单纯形法
运筹学
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下：
1 0 0
0 1 0.3
2 0 0.5
1 2 0.1
0 3 o.4 0 0
4
3 1 0.3
2 2 0.6
1 4 0.2
0 5 0.5
1000 1000
第 14页
第1章 线性规划及单纯形法
运筹学
例1.4 配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%， 锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司 拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表所示。 矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在 冶炼过程中，合金含量没有发生变化。
运筹学第一章
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
运筹学线性规划与单纯形法
整理课件
16
Max Z= x1-2x2+3x3' -3x3" + 0x4 +0x5 s.t. x1+x2+ x3' - x3" +x4 =7
x1-x2+ x3' - x3" -x5=2
-3x1+x2+2x3' -2x3" =5 x1, x2,x3',x3", x4,x5 0
第一节小结：建立模型；三个组成要素；四种形式； 化为标准形（4个条件5点）
.
9x1+4x2 ≤ 360
90 80 60 40 20
4x1+5x2 ≤200
B C
HI G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
整理课件
30
二、解的几种可能情况
1．唯一最优解。目标函数直线与凸多边形只有 一个切点； 2．无穷多最优解，目标函数图形与某个约束条 件平行。 3．无界解（无最优解）----可行域无界。一般是 漏了一些约束条件。 4．无可行解----可行域为空。
Ⅰ
Ⅱ 计划期可用能力
2
2
12
1
2
8
4
0
16
0
4
12
2
3
问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？
整理课件
3
解：用数学的语言进行描述:
1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2 2.目标函数：问题要求获取利润最大，该公司获取
利润为2 x1 + 3 x2，令z = 2 x1 + 3 x2，则max z = 2 x1 + 3 x2， max z 是该公司获取利润的目标 值，它是变量x1、 x2的函数，称为目标函数。
线性规划及单纯形法详解演示文稿
收集 数据 和 建立 模型
求解 模型 和 优化 方案
检验 模型 和 评价 方案
方案 实施 和 不断 改进
制定决策
第1章 线性规划与单纯形法
运筹学的一个主要的分支是数学规划。
数学规划研究：在一些给定的条件（约束条件）下， 求所考察函数（目标函数）在某种意义下的极值（极 小或极大）问题。 例如：在经济决策中，经常会遇到诸如在有限的资源 （人、原材料、资金等）情况下，如何合理安排生产， 使效益达到最大；或者给定具体的任务，如何统筹安 排现有资源，能够完成给定的任务，使花费最小这类 问题。 在这章，我们重点介绍的是应用最为广泛的线性规划 问题。
自己动手试一试【解】 两种新产品的有关数据如表：
车间
1 2 3
单位利润 （元）
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
0
0
2
3
2
每周可获得的生产时间 （小时）
4 12 18
300
500
自己动手试一试【解】 设x1为每周门的产量（扇），x2为每周窗的产量 （扇）。 线性规划模型如下：
maxz 300x1 500x2
仅仅生产II产品，设备的生产能力还有剩余。结论是 两种产品都要进行生产。 （4）两种产品的产量会受到什么限制条件呢？ 各种设备的生产能力，即占用各种设备的工时。 （5）要决策的问题是：I产品生产多少？II产品生产多 少？才能实现利润最大化呢？
一、线性规划模型实例（问题的提出）
按工艺资料规定，
生产例每1件-产1【品解I需】占：用各设备分别为2、1、4、0h；
二、线性规划问题的数据模型
1、线性规划模型的一般表达形式 （1）一般形式
min或（max）z c1x1 c2 x2 ... cn xn a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1
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max Z = 2x1 + 3x2
(4)非负约束：两产品的产量为非负
x1 ≥0， x2 ≥0
2012-12-20 5
例1-3. 某工地租赁甲、乙两种机械安装A、B、C三种构件， 这两种机械每天的安装能力、租赁费用以及工程任务如下 表所示，问如何租赁甲、乙两机械才能使总的租赁费用最 低？
构件
A
5 6 250
2012-12-20 4 OR:SM
Ⅰ
1 4 0 2 x1 x1 x1 2 0 4 3
Ⅱ
x2 x2 x2
资源限量 8 16 12
例1-2 见教材第5页
(1)决策变量：设x1为甲产品的产量，x2为乙产品的产量。 (2)约束条件：生产受资源制约，不能突破有限供给量。
设备约束条件的数学表达为： x1 + 2x2 ≤8 原材料A约束条件数学表达为：4x1 ≤16
2012-12-20 16 OR:SM
解：设xij为第 i 年初投入到 j 项目的资金额，其数学模型为：
maxZ = 1.2 x31 + 1.6 x23 + 1.4 x34
x11 + x12 = 300000 x21 + x23 = 1.2 x11
x31 + x34 = 1.2 x21 + 1.5 x12
X*＝(22.64, 72.36, 58.54, 0, 26.02, 0, 104.06, 0, 0)T，Z*＝208.12。 第一年投资22.64元; 第二年新投资58.54元; 第三年新投资26.02 元;第四年新投资104.06元; 第六年初拥有资金208.12万元。
2012-12-20 14 OR:SM
投资限额： x12 ≤ 150000; x23 ≤ 200000; x34 ≤ 100000 非负约束： xij ≥ 0 ( i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 ) 对于目标函数，只需考虑第3年末的收益： maxZ = 1.2 x31 + 1.6 x23 + 1.4 x34 项目1：x31 → 1.2 x31 (本利和)； 项目2：x22 → 0； 项目3：x23 → 1.6 x23 (本利和)； 项目4：x34 → 1.4x34 (本利和)；
min Z = x1+x2+x3 +x4+x5 +x6+x7 +x8 2x1+x2+x3 +x4 100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 100 xj 0, j =1, 2, … , 8
(x1=10, x2=50, x4=30, 16m)
Z * 5450
x
11
即该厂每月应生产甲种牌号糖果906.67kg， 乙种牌号糖果4793.33kg。
0, i 1, 2, 3; j 1, 2, 3
OR:SM
2012-12-20
思考题：（投资问题）
某投资公司在第一年初有100万元资金，每年都有如 下的投资方案：假使第一年初投入一笔资金，第二年初又 继续投入此资金的50%，那么到第三年初就可回收第一年 初投入资金的两倍。问：该投资公司如何确定投资策略使 第六年初所拥有的资金最多？ 解：设x1为第一年的投资，x2为第一年的保留资金，则： x1 + x2 = 100 第二年： 设x3为第二年新的投资，x4为第二年的保 留资金，则： x1
2012-12-20 8 OR:SM
方案
1 2 0 1 0.1
2 1 2 0 0.3
3 1 1 1 0.9
4 1 0 3 0.0
5 0 3 0 1.1
6 0 2 2 0.2
7 0 1 3 0.8
8 0 0 4 1.4
需求量 100 100 100 余料
规格 y1(2.9m)
y2(2.1m) y3(1.5m) 总长7.4m
构件 机械 甲（根/天） 乙（根/天） 任务（根） A 5 6 250 B 8 6 300 C 10 20 700 租赁费 (元/天) 250 350
例1-4 见教材第6页，例【1.2】人员分配问题
2012-12-20 7 OR:SM
思考题：（下料问题）
某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴 的规格分别是2.9、2.1和1.5m，这些轴需要用同一种圆钢切割 而成，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，问：最少要 用多少圆钢来生产这些轴？(切割损失不计)
LP模型：
max Z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4 x1 16 s .t . 4 x2 12 x , x 0 1 2
s.t. (subject to) 使满足，使服从
OR:SM
原材料B约束条件数学表达为：
4x2 ≤12
(3)目标函数：目标函数反映企业利润最大化
2012-12-20 9 OR:SM
思考题：某糖果厂用原料A，B，C加工成三种不同牌号糖果甲、乙、 丙。已知各种糖果的中A，B，C的含量，原料成本，各种原料每月 的限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
甲
A ≥60%
乙
≥30%
丙
原料成本 (元/kg) 每月限制用量 (kg)
2.00 2000
x11 0.6( x11 x21 x31 ) x12 0.3( x12 x22 x32 ) x31 0.2( x11 x21 x31 ) x 0.5( x x x ) 12 22 32 32 x33 0.6( x13 x23 x32 )
ij
解：设xij 为生产第j种糖果使用的第i种原料的公斤数，i=1,2,3；j=1,2,3，则该问 题的数学模型可归结为：
2.25 0.30 x13 x23 x33 2.0 x11 x12 x13
最优解：
580 2 * X 326 3 0 0 1 2173 0 3 1200 0 1420
(
2
x3 ) x4 x2
2012-12-20 12 OR:SM
约束条件
每年应满足如下的关系：
追加投资金额 + 新投资金额 + 保留资金=可利用的资金总额
第三年：设 x5 为新的投资，x6 为第三年的保留资金；
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
第四年：设新的投资 x7 ，第四年的保留资金 x8 ；
B
8 6 300
机械 甲（根/天） 乙（根/天） 任务（根）
C
10 20 700
租赁费 (元/天) 250 350
2012-12-20 6 OR:SM
【解】设租赁机械甲x1天、机械乙x2天，则该线性规划问 题的数学模型为：
min Z 250 x1 350 x2
5 x1 6 x2 250 8 x1 6 x2 300 s .t . 10 x1 20 x2 700 x1 0，x2 0
x12 ≤ 150000 x23 ≤ 200000
x34 ≤ 100000
xij ≥ 0 (i = 1,2,3; j = 1,2,3,4) 注意本题条件：有钱就会用于投资，即： 可利用的资金 = 投资金额，据此建立约束等式。
2012-12-20 17 OR:SM
二、线性规划问题的数学模型3.30
第五年：设 x9 为第五年的保留资金。根据题意，第五年初不再进 行新的投资，因为这笔投资要到第七年初才能收回。
x5 ( x7 ) x8 x6 2 x3 2
x7 x9 x8 2 x5 2
2012-12-20 13 OR:SM
到第六年初，实有资金总额为x9 + 2x7，整理后得到下 列线性规划模型： max Z = 2x7 + x9
x1 x 2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x 4 2 x5 2 x6 0 4 x 3 x 5 2 x 6 2 x 7 2 x 8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x j 0, j 1,2,,9
第1章 线性规划 与单纯形法
第1 章 线性规划
内容提要
第一节 线性规划问题的数学模型
第二节 两个变量LP问题的图解法 第三节 LP问题数学模型的标准型 第四节 线性规划问题解的性质 第五节 单纯形法原理及求解步骤
2012-12-20 2 OR:SM
第一节 线性规划问题的数学模型
线性规划(Linear Programming，LP)是运筹学的重要 分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借 助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行以 及费用最低用最少的资源 （如资金、设备、原 标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业 在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的 经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
2012-12-20 3 OR:SM
一、问题的提出（线性规划问题举例）3.27
例1-1(生产计划问题)
某厂在计划期内安排Ⅰ、Ⅱ生产两种产品，已知生产单位产 品所需要的设备台数、A和B两种原材料的消耗量以及利润如表 1-1所示，问如何安排生产使利润最大？（假设产品全部售出） 产品 资源 设备（台） 原材料A（kg） 原材料B（kg） 单位产品利润
思考题：某人有30万元资金，在今后的三年内有以下投资
项目可供参考：
(1) 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%， 其本利可一起用于下一年的投资；
(4)非负约束：两产品的产量为非负
x1 ≥0， x2 ≥0
2012-12-20 5
例1-3. 某工地租赁甲、乙两种机械安装A、B、C三种构件， 这两种机械每天的安装能力、租赁费用以及工程任务如下 表所示，问如何租赁甲、乙两机械才能使总的租赁费用最 低？
构件
A
5 6 250
2012-12-20 4 OR:SM
Ⅰ
1 4 0 2 x1 x1 x1 2 0 4 3
Ⅱ
x2 x2 x2
资源限量 8 16 12
例1-2 见教材第5页
(1)决策变量：设x1为甲产品的产量，x2为乙产品的产量。 (2)约束条件：生产受资源制约，不能突破有限供给量。
设备约束条件的数学表达为： x1 + 2x2 ≤8 原材料A约束条件数学表达为：4x1 ≤16
2012-12-20 16 OR:SM
解：设xij为第 i 年初投入到 j 项目的资金额，其数学模型为：
maxZ = 1.2 x31 + 1.6 x23 + 1.4 x34
x11 + x12 = 300000 x21 + x23 = 1.2 x11
x31 + x34 = 1.2 x21 + 1.5 x12
X*＝(22.64, 72.36, 58.54, 0, 26.02, 0, 104.06, 0, 0)T，Z*＝208.12。 第一年投资22.64元; 第二年新投资58.54元; 第三年新投资26.02 元;第四年新投资104.06元; 第六年初拥有资金208.12万元。
2012-12-20 14 OR:SM
投资限额： x12 ≤ 150000; x23 ≤ 200000; x34 ≤ 100000 非负约束： xij ≥ 0 ( i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 ) 对于目标函数，只需考虑第3年末的收益： maxZ = 1.2 x31 + 1.6 x23 + 1.4 x34 项目1：x31 → 1.2 x31 (本利和)； 项目2：x22 → 0； 项目3：x23 → 1.6 x23 (本利和)； 项目4：x34 → 1.4x34 (本利和)；
min Z = x1+x2+x3 +x4+x5 +x6+x7 +x8 2x1+x2+x3 +x4 100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 100 xj 0, j =1, 2, … , 8
(x1=10, x2=50, x4=30, 16m)
Z * 5450
x
11
即该厂每月应生产甲种牌号糖果906.67kg， 乙种牌号糖果4793.33kg。
0, i 1, 2, 3; j 1, 2, 3
OR:SM
2012-12-20
思考题：（投资问题）
某投资公司在第一年初有100万元资金，每年都有如 下的投资方案：假使第一年初投入一笔资金，第二年初又 继续投入此资金的50%，那么到第三年初就可回收第一年 初投入资金的两倍。问：该投资公司如何确定投资策略使 第六年初所拥有的资金最多？ 解：设x1为第一年的投资，x2为第一年的保留资金，则： x1 + x2 = 100 第二年： 设x3为第二年新的投资，x4为第二年的保 留资金，则： x1
2012-12-20 8 OR:SM
方案
1 2 0 1 0.1
2 1 2 0 0.3
3 1 1 1 0.9
4 1 0 3 0.0
5 0 3 0 1.1
6 0 2 2 0.2
7 0 1 3 0.8
8 0 0 4 1.4
需求量 100 100 100 余料
规格 y1(2.9m)
y2(2.1m) y3(1.5m) 总长7.4m
构件 机械 甲（根/天） 乙（根/天） 任务（根） A 5 6 250 B 8 6 300 C 10 20 700 租赁费 (元/天) 250 350
例1-4 见教材第6页，例【1.2】人员分配问题
2012-12-20 7 OR:SM
思考题：（下料问题）
某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴 的规格分别是2.9、2.1和1.5m，这些轴需要用同一种圆钢切割 而成，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，问：最少要 用多少圆钢来生产这些轴？(切割损失不计)
LP模型：
max Z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4 x1 16 s .t . 4 x2 12 x , x 0 1 2
s.t. (subject to) 使满足，使服从
OR:SM
原材料B约束条件数学表达为：
4x2 ≤12
(3)目标函数：目标函数反映企业利润最大化
2012-12-20 9 OR:SM
思考题：某糖果厂用原料A，B，C加工成三种不同牌号糖果甲、乙、 丙。已知各种糖果的中A，B，C的含量，原料成本，各种原料每月 的限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
甲
A ≥60%
乙
≥30%
丙
原料成本 (元/kg) 每月限制用量 (kg)
2.00 2000
x11 0.6( x11 x21 x31 ) x12 0.3( x12 x22 x32 ) x31 0.2( x11 x21 x31 ) x 0.5( x x x ) 12 22 32 32 x33 0.6( x13 x23 x32 )
ij
解：设xij 为生产第j种糖果使用的第i种原料的公斤数，i=1,2,3；j=1,2,3，则该问 题的数学模型可归结为：
2.25 0.30 x13 x23 x33 2.0 x11 x12 x13
最优解：
580 2 * X 326 3 0 0 1 2173 0 3 1200 0 1420
(
2
x3 ) x4 x2
2012-12-20 12 OR:SM
约束条件
每年应满足如下的关系：
追加投资金额 + 新投资金额 + 保留资金=可利用的资金总额
第三年：设 x5 为新的投资，x6 为第三年的保留资金；
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
第四年：设新的投资 x7 ，第四年的保留资金 x8 ；
B
8 6 300
机械 甲（根/天） 乙（根/天） 任务（根）
C
10 20 700
租赁费 (元/天) 250 350
2012-12-20 6 OR:SM
【解】设租赁机械甲x1天、机械乙x2天，则该线性规划问 题的数学模型为：
min Z 250 x1 350 x2
5 x1 6 x2 250 8 x1 6 x2 300 s .t . 10 x1 20 x2 700 x1 0，x2 0
x12 ≤ 150000 x23 ≤ 200000
x34 ≤ 100000
xij ≥ 0 (i = 1,2,3; j = 1,2,3,4) 注意本题条件：有钱就会用于投资，即： 可利用的资金 = 投资金额，据此建立约束等式。
2012-12-20 17 OR:SM
二、线性规划问题的数学模型3.30
第五年：设 x9 为第五年的保留资金。根据题意，第五年初不再进 行新的投资，因为这笔投资要到第七年初才能收回。
x5 ( x7 ) x8 x6 2 x3 2
x7 x9 x8 2 x5 2
2012-12-20 13 OR:SM
到第六年初，实有资金总额为x9 + 2x7，整理后得到下 列线性规划模型： max Z = 2x7 + x9
x1 x 2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x 4 2 x5 2 x6 0 4 x 3 x 5 2 x 6 2 x 7 2 x 8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x j 0, j 1,2,,9
第1章 线性规划 与单纯形法
第1 章 线性规划
内容提要
第一节 线性规划问题的数学模型
第二节 两个变量LP问题的图解法 第三节 LP问题数学模型的标准型 第四节 线性规划问题解的性质 第五节 单纯形法原理及求解步骤
2012-12-20 2 OR:SM
第一节 线性规划问题的数学模型
线性规划(Linear Programming，LP)是运筹学的重要 分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借 助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行以 及费用最低用最少的资源 （如资金、设备、原 标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业 在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的 经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
2012-12-20 3 OR:SM
一、问题的提出（线性规划问题举例）3.27
例1-1(生产计划问题)
某厂在计划期内安排Ⅰ、Ⅱ生产两种产品，已知生产单位产 品所需要的设备台数、A和B两种原材料的消耗量以及利润如表 1-1所示，问如何安排生产使利润最大？（假设产品全部售出） 产品 资源 设备（台） 原材料A（kg） 原材料B（kg） 单位产品利润
思考题：某人有30万元资金，在今后的三年内有以下投资
项目可供参考：
(1) 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%， 其本利可一起用于下一年的投资；