厦门二中2014届高三文科数学函数导数专项练习(二)
2014-2015学年福建省厦门二中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）2．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．35．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）=x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）【解答】解：∵x2+x﹣2＜0即（x+2）（x﹣1）＜0解得：2＜x＜1∴M={x|﹣2＜x＜1}∵解得：x＜﹣1∴N={x|x＜﹣1}∴M∩N=（﹣2，﹣1）故选：C．2．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“x=30°”⇒“”正确，但是解得x=k•360°+30°或x=k•360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【解答】解：y=是偶函数，在（0，+∞）单调递减，故排除A，y=e x是增函数，但不具备奇偶性，故排除B，y=﹣x2+1是偶函数，但在（0，+∞）单调递减，故排除C，y=lg|x|是偶函数，且x＞0时，y=lgx单调递增，故选：D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选：A．5．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵a=3＞30=1，0=＜b=log cos60°＜=1，c=log2tan30°＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）【解答】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）【解答】解：若a≤1，则由f（a）≥1，得f（a）=2a≥1，解得0≤a≤1，若a＞1，则由f（a）≥1，得f（a）=a2﹣4a+5≥1，即a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，解得a＞1，综上a≥0，故选：D．9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，∴A（0，1），C（0，﹣1），P．则•=•（0，﹣2）=2．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．【解答】解：由于函数f（x）=x•sinx，∴f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴函数f（x）=x•sinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图．且当x时，函数f（x）=x•sinx是增函数，当x时，函数f （x）=x•sinx是减函数．∴若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则有x1＜x2，故A选项错；若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则有x1＞x2，故B、C选项错；根据排除法，正确的是D．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是：．故答案为：（写成∃x∈R，x2+2x+1＜0也给分）12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=30．【解答】解：由等差数列{a n}，a3+a8=6，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=…，∴==a1+a2+…+a10=5（a3+a8）=5×6=30．故答案为30．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．【解答】解：由题意，点在第四象限∵==∴角α的最小正值为故答案为：14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．【解答】解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，解得B=，所以A﹣B=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2，a3+1，a6成等比数列．∴，即（2d+2）2=（1+d）（1+5d），解得d=3或d=﹣1．由已知数列{a n}各项均为正数，∴d=3，故a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）∵，∴．∴S n=1﹣=．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵=，∴函数f（x）的最小正周期为．（II）令，∵，∴，即，∴sint在上是增函数，在上是减函数，∴当，即，时，．当或，即x=0或时，．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，=，∴S△ABD∵M为AD中点，=S△ABD=，∴S△ABM∵CD⊥平面ABD，=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．∴V A﹣MBC20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？【解答】解：（1）由已知可得CD=40×=20，△BDC中，根据余弦定理求得cos∠BDC==﹣，∴sin∠BDC==．（2）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，∴sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）=×﹣（﹣）×=．△ABD中，由正弦定理可得．又BD=21，∴AD==15，∴t==22.5分钟．即这艘游轮再向前航行22.5分钟即可到达城市A．21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）所以NC∥MD，…（3分）因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…（5分）因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．…（6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）所以FC⊥平面NED，…（8分）因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．…（9分）（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为．…（11分）所以．…（13分）当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=1时，∴k=f′（1）=0所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0；（2）①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当.．∴（3）存在a∈（0，e3），使得方程f（x）=2有两个不等的实数根．理由如下：由（1）可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，方程f（x）=2不可能有两个不等的实数根；由（2）得，，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根，等价于函数f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）。
高考数学压轴专题厦门备战高考《函数与导数》专项训练及答案
【高中数学】数学高考《函数与导数》复习资料一、选择题1．三个数2233ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A ．b <c <a B ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <b <c【答案】D 【解析】 【分析】 通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，6328==，所以13e <，所以131ln 3e =<13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.3．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e --【答案】A 【解析】 【分析】由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+故选：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.4．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：Q 3(1)(3)(3)03x f x f ---<，3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，Q()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．5．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==== D.6．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．7．已知21()cos 4f x x x =+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】Q ()21f cos 4x x x =+，()()1'sin ,'2f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1()2f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞C ．()(1,2)2,3⋃D ．()(,1)3,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-.当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.9．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n+的最小值为25，【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．10．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，()21f x x =-，则（ ）A ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫⎛⎫=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()133log 2log 20f f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即()()20f x f x +-=，即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-， 所以，函数()y f x =的周期为4，因为当[]0,1x ∈时，()21f x x =-单调递减，因为5110222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 因为2410log 132<<<，所以241log 32f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，12314log 2log 23f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中等题.11．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C 【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质12．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．13．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（ ）A ．-5B ．5C ．0D ．4043【答案】B 【解析】 【分析】根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.14．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()1,+∞【答案】B 【解析】不等式()3xf x e >+得()()3311xx xf x f x e e e ->+∴>， ()()()()()330xxf x f x f xg x g x e e --+=∴='<'设，所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()4301001g g x g x -==∴>∴<． 故选B ．点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．15．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．56【答案】A 【解析】曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x=与直线y x =所围成的封闭图形的面积为()1223100111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.16．如图，对应此函数图象的函数可能是( )A ．21(1)2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22(1)x y x =-C ．ln y x =D ．1x y xe =-【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案. 【详解】由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足； 当1x =时，0y =，D 不满足条件；A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，显然A 不成立； 而B 都成立. 故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.17．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．21)B 21C 21D ．22【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.18．设123log 2,ln 2,5a b c -===则 A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】 由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c ab << 故选C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=，32023<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.20．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解不等式即可. 【详解】0a >Q5y ax ∴=-在定义域内单调递减若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤ 故选：D【点睛】本题考查对数函数的单调性，属于中档题.。
2014高考函数与导数汇编及详细解答
2014高考函数与导数解答题汇编1．[2014·江西卷18] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x1－2x<0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19.2.[2014·安徽卷18] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．3．[2014·北京卷18] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．18．解：(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下：因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.4．[2014·福建卷20] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值． (2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x.所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0. 即存在x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c ，由(2)知，当x >0时，e x>x 2，所以e x＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .5．[2014·湖北卷22] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx 的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln ee .由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3；由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e ，即ln x x <1e.在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.6．[2014·湖南卷22] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2.令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减， 从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.7．[2014·江苏卷19] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立， 当且仅当最小值g (1)<0，故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.8．[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln⎝⎛⎭⎫3－2x π.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －23cos x <0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x－4ln ⎝⎛⎭⎫3－2πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令t ＝π－x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4 ln ⎝⎛⎭⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )<0.故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝⎛⎭⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 1)＝0.因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π.9．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e.设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .因为g min (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝h (1)＝h max (x )，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.10．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝e x －e －x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．21．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.11．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a (a >1)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数. (iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立．12．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 20．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点； 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22. 13．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． 方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n xx ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．14．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．15．、[2014·天津卷] 设f (x )＝x －a e x (a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2. (1)求a 的取值范围；(2)证明：x 2x 1随着a 的减小而增大；(3)证明：x 1＋x 2随着a 的减小而增大．20．解：(1)由f (x )＝x －a e x ，可得f ′(x )＝1－a e x . 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a .当x 变化时，f ′(x )这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)．于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝⎛⎭⎫2a －e 2a ＋⎝⎛⎭⎫ln 2a －e 2a <0. 故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x ＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝xe x ，由g ′(x )＝1－x e x ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.设x 2x 1＝t ，则t >1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝ln t ，解得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln tt －1，所以x 1＋x 2＝（t ＋1）ln t t －1.① 令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x （x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x ，得u ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2.当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．16．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．22．解：(1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ，x <a ，所以f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .由于－1≤x ≤1，(i)当a ≤－1时，有x ≥a ， 故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1，1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8. (ii)当－1<a <1时，若x ∈(a ，1)，则f (x )＝x 3＋3x －3a .在(a ，1)上是增函数；若x ∈(－1，a )， 则f (x )＝x 3－3x ＋3a 在(－1，a )上是减函数．所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3.由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2.(iii)当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1，1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.综上，M (a )－m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a ≤－1，－a 3－3a ＋4，－1<a ≤13，－a 3＋3a ＋2，13<a <1，4，a ≥1.(2)令h (x )＝f (x )＋b ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ＋b ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ＋b ，x <a ，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x >a ，3x 2－3，x <a .因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立， 即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1，1]恒成立，所以由(1)知，(i)当a ≤－1时，h (x )在(－1，1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾．(ii)当－1<a ≤13时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13.令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝⎛⎭⎫0，13上是增函数，故t (a )>t (0)＝－2， 因此－2≤3a ＋b ≤0.(iii)当13<a <1时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0；(iv)当a ≥1时，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.17．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．20．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0.因为上式总成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当且仅当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值．当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值．当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164>0，则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。
2014高考真题汇编函数与导数(二)学生版
2014高考真题汇编函数与导数（二）1．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 42、[2014·福建卷] 如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-43.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－13 C .13D ．1 4．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且⎰320πf(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π65．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．[2014·黄冈中学期末] 已知f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝log 12(1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－20114＝( ) A ．－2 B.12C ．1D ．2 8．[2014·青岛期中] 若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1 9．[2014·内江模拟] 已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( ) A ．c ＜14 B ．c ≤14 C ．c ≥14 D ．c ＞1410．[2014·山东卷] 设函数f(x)＝e xx2－k⎝⎛⎭⎫2x＋ln x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．11．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．12、[2014·湖南卷] 已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2xx＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．。
2014高考数学综合训练函数与导数
2014高考数学综合训练：函数与导数一、选择题(每小题5分，共40分)1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x |2．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是( ) A.14，12 B.12，1 C ．(1，2) D ．(2，3)3．已知函数f (x )＝2x＋x ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x －y ＋3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x ＋y ＋3＝04．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数中不是圆O 的“和谐函数”的是( )A ．f (x )＝4x 3＋xB ．f (x )＝ln 5－x5＋xC ．f (x )＝tan x2D ．f (x )＝e x＋e －x5．一个球的体积、表面积分别为V ，S ，若函数V ＝f (S )，f ′(S )是f (S )的导函数，则f ′(π)＝( )A.14B.12 C ．1 D ．π6．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0<a <2)有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则下列结论中正确的是( )A ．x 1>－1B ．x 2<0C ．x 3>2D ．0<x 2<17．函数y ＝x 23－cos 2x 的图像大致是( )图Z2－18．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(2－x )f ′(x )的图像如图Z2－2所示，则下列结论中一定成立的是( )图Z2－2A ．函数f (x )有极大值f (1)和极小值f (－1)B ．函数f (x )有极大值f (1)和极小值f (2)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)D ．函数f (x )有极大值f (－1)和极小值f (2) 二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 12（x >0），2x （x ≤0），则f (f (9))＝________．10．已知函数f (x )＝x 3＋f ′23x 2－x ，f (x )的图像在点23，f 23处的切线的斜率是________．11．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数n 使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋n ∈D ，且f (x ＋n )≥f (x )，则称f (x )为M 上的n 高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f (x )＝x 2为[－1，＋∞)上的k 高调函数，那么实数k 的取值范围是________．12．f (x )＝|2x －1|，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则函数y ＝f 4(x )的零点个数为________．三、解答题(共40分) 13．(13分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件．．商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件．．)的函数解析式； (2)年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？14．(13分)设函数f (x )＝ln x ＋a2x 2－(a ＋1)x (a >0，a 为常数)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ＝1，证明：当x >1时，f (x )<12x 2－2xx ＋1－x .15．(14分)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x 2－x .(1)若关于x 的方程f (x )＝－52x ＋b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；(2)证明：对任意的正整数n ，不等式2＋34＋49＋…＋n ＋1n2>ln(n ＋1)都成立．1．C [解析] 对于A ，y ＝1x是奇函数，排除；对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除；对于D ，y ＝lg |x |是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lg x ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．2．C [解析] f (1)＝1，f (2)＝－1，故函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是(1，2)．3．C [解析] f ′(x )＝－2x2＋ln x ＋1，当x ＝1时f ′(1)＝－1.f (1)＝2，即切点坐标为(1，2)．故切线方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.4．D [解析] 在[－4，4]上有定义的奇函数即可．5．A [解析] 设球的半径为r ，则S ＝4πr 2，V ＝43πr 3，由S ＝4πr 2，得r ＝⎝⎛⎭⎫S 4π12，所以f (S )＝V ＝4π3⎝⎛⎭⎫S 4π32＝16 πS 32，所以f ′(S )＝14 πS 12，所以f ′(π)＝14.6．D [解析] 函数y ＝x 3－4x 有三个零点x ＝－2，0，2，其图像如图所示，易得函数图像与直线x ＝－a 的交点横坐标中x 1<－2，0<x 2<1，1<x 3<2.7．C [解析] 函数是偶函数，排除选项A ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项D ；当x ＝π4时，y >0，排除选项B.所以正确选项为C. 8．A [解析] 由函数y ＝(2－x )f ′(x )的图像可知，方程f ′(x )＝0有两个实根x ＝－1，x ＝1，且在(－∞，－1)上f ′(x )<0，在(－1，1)上f ′(x )>0，在(1，2)上f ′(x )<0，在(2，＋∞)上f ′(x )<0.所以函数f (x )有极大值f (1)和极小值f (－1)．9.18 [解析] f (f (9))＝f (－3)＝18. 10．－1 [解析] f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1，令x ＝23，得f ′⎝⎛⎭⎫23＝43＋43f ′⎝⎛⎭⎫23－1，解得f ′⎝⎛⎭⎫23＝－1，所以函数f (x )的图像在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为－1. 11．[2，＋∞) [解析] 即(x ＋k )2≥x 2在[－1，＋∞)上恒成立，即2kx ＋k 2≥0在x ∈[－1，＋∞)上恒成立，故实数k 满足2k >0且－2k ＋k 2≥0，解得k ≥2.12．8 [解析] f 4(x )＝|2f 3(x )－1|的零点，即f 3(x )＝12的零点，即|2f 2(x )－1|＝12的零点，即f 2(x )＝14或34的零点，即|2f (x )－1|＝14或34的零点，即f (x )＝38，58，18，78的零点，显然对上述每个数值各有两个零点，故共有8个零点．13．解：(1)因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250（0<x <80，x ∈N ），1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x （x ≥80，x ∈N ）.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950(万元)；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1200－ 2 x ·10 000x ＝1200－200＝1000，当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．因为950<1000，所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．14．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋ax －(a ＋1)＝ax 2－（a ＋1）x ＋1x＝（ax －1）（x －1）x.当0<a <1时，由f ′(x )>0解得0<x <1或x >1a ，由f ′(x )<0解得1<x <1a，所以函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减． 当a ＝1时，f ′(x )≥0对x >0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >1时，由f ′(x )>0解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0解得1a<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． (2)证明：当a ＝1时，原不等式等价于ln x －2x ＋2xx ＋1＋x <0.因为x >1，所以x ＝x ·1<x ＋12，因此ln x －2x ＋2x x ＋1＋x <ln x －2x ＋2x x ＋1＋x ＋12.令g (x )＝ln x －2x ＋2x x ＋1＋x ＋12，则g ′(x )＝－32x 3－2x 2＋52x ＋1x （x ＋1）2.令h (x )＝－32x 3－2x 2＋52x ＋1，当x >1时，h ′(x )＝－92x 2－4x ＋52<0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )<h (1)＝0，即g ′(x )<0， 所以g (x )在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )<g (1)＝0，所以当x >1时，f (x )<12x 2－2xx ＋1－x .15．解：(1)f (x )＝ln(x ＋1)－x 2－x ，由f (x )＝－52x ＋b ，得ln(x ＋1)－x 2＋32x －b ＝0，令φ(x )＝ln(x ＋1)－x 2＋32x －b ，则f (x )＝－52x ＋b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x )＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，φ′(x )＝1x ＋1－2x ＋32＝－（4x ＋5）（x －1）2（x ＋1），当x ∈[0，1)时，φ′(x )>0，于是φ(x )在[0，1)上单调递增； 当x ∈(1，2]时，φ′(x )<0，于是φ(x )在(1，2]上单调递减．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧φ（0）＝－b ≤0，φ（1）＝ln （1＋1）－1＋32－b >0，φ（2）＝ln （1＋2）－4＋3－b ≤0，解得ln 3－1≤b <ln 2＋12.(2)证明：方法一，f (x )＝ln(x ＋1)－x 2－x 的定义域为{x |x >－1}，则有f ′(x )＝－x （2x ＋3）（x ＋1），令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－32(舍去)，当－1<x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (0)为f (x )在(－1，＋∞)上的最大值．∴f (x )≤f (0)，故ln(x ＋1)－x 2－x ≤0(当且仅当x ＝0时，等号成立)．对任意正整数n ，取x ＝1n>0得，ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1<1n ＋1n 2， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1<n ＋1n 2.故2＋34＋49＋…＋n ＋1n 2≥ln 2＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)．方法二，数学归纳法证明：当n ＝1时，左边＝1＋112＝2，右边＝ln(1＋1)＝ln 2，显然2>ln 2，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2＋34＋49＋…＋k ＋1k 2>ln(k ＋1)成立，则当n ＝k ＋1时，有2＋34＋49＋…＋k ＋1k 2＋k ＋2（k ＋1）2>k ＋2（k ＋1）2＋ln(k ＋1)． 做差比较：ln(k ＋2)－ln(k ＋1)－k ＋2（k ＋1）2＝ln k ＋2k ＋1－k ＋2（k ＋1）2＝ln⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1－⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1（k ＋1）2.构建函数F (x )＝ln(1＋x )－x －x 2，x ∈(0，1)，则F ′(x )＝－x （2x ＋3）x ＋1<0，∴F (x )在(0，1)上单调递减，∴F (x )<F (0)＝0.取x ＝1k ＋1(k ≥1，k ∈N *)，ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1－⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1（k ＋1）2<F (0)＝0.即ln(k ＋2)－ln(k ＋1)－k ＋2（k ＋1）2<0，亦即k ＋2（k ＋1）2＋ln(k ＋1)>ln(k ＋2)，故n ＝k ＋1时，有2＋34＋49＋…＋k ＋1k 2＋k ＋2（k ＋1）2>k ＋2（k ＋1）2＋ln(k ＋1)>ln(k ＋2)，不等式也成立．综上可知，对任意的正整数，不等式都成立．。
2014高考数学总复习(人教新课标)配套章末综合检测：第2章 函数与导数含解析
第二章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有）(检测范围：第二章）（时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数f(x）＝错误!是奇函数，则a的值为( A．1 B．－1C．±1D．0解析B f(x）＝错误!＝x＋错误!＋a＋1是奇函数，则a＋1＝0，即a＝－1.2．函数f（x)＝错误!的图象是（解析C 函数f（x)为偶函数，图象关于y轴对称．3．（2013·昆明模拟）已知函数f(x)＝错误!，则下列说法中正确的是（)①f(x）的定义域为（0，＋∞);②f(x)的值域为[1，＋∞)；③f(x）是奇函数；④f(x)在（0,1)上单调递增．A．①②B．②③C．①④D．③④解析C ①正确;②x＋错误!≥2，(x＋错误!）≤－1,不正确；③不正确；④u（x)＝x＋错误!在(0，1)上递减，则f（x）在(0,1)上递增,正确．4．已知a＋错误!＝7，则a＋a＝A．3 B．9C．－3 D．±3解析A ∵a＋错误!＝7＞0，∴a＞0,a＋a＞0。
∵（错误!＋a）2＝a＋错误!＋2＝9，∴a＋a＝3.5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A．y＝－x3B．y＝xC．y＝x D．y＝错误!x解析A 选项B、D中的函数不是奇函数，选项C中的函数不是减函数，仅选项A符合条件．6．对于a＞0，a≠1,下列说法中正确的是（①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M2＝log a N2，则M＝N；④若M＝N，则log a M2＝log a N2。
A．①②③④ B．①③C．②④ D．②解析D ①中,M＝N＞0，故①错；③中，由M2＝N2得M＝±N，故③错；④中，若M＝N＝0，则log a M2、log a N2无意义,故④错．仅②正确．7．函数f（x）＝a x＋log a（x＋1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（）A。
高考数学压轴专题厦门备战高考《函数与导数》专项训练解析附答案
【最新】高考数学《函数与导数》专题解析一、选择题1．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】 【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos 2xf x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．3．已知21()cos 4f x x x =+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】Q ()21f cos 4x x x =+，()()1'sin ,'2f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-， 即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤.因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.5．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.6．三个数2233ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A ．b <c <a B ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <b <c【答案】D 【解析】 【分析】 通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，6328==，所以13e <，所以131ln 3e =<13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（ ）A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C 【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求． 详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩， 即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩． 当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =． 故选C ．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．8．函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f << B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.31.130.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.10．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.11．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12．若函数f （x ）=()x 1222a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+ C ．(),5∞-- D ．(],5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】由题()xf x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+()()12f x log x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解a 5≥-. 故选B. 【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.13．函数()3ln xf x x =的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x =>，排除CD ，得到答案.【详解】()()()33ln ln ,x x f x f x f x x x =-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x f x x =>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】 本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.14．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()1,+∞ 【答案】B【解析】不等式()3x f x e >+得()()3311x x x f x f x e e e->+∴>， ()()()()()330x x f x f x f x g x g x e e --+=∴='<'设， 所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()4301001g g x g x -==∴>∴<． 故选B ． 点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．15．函数()3ln 2x f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =-B ．75y x =-C ．63=-y xD ．74y x =- 【答案】B【解析】【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x -=+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==+⨯=， 且：()012121f =+⨯=，即切点坐标为()1,2，由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-.本题选择B 选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.16．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,0- C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()4,5【答案】A【解析】【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f f x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y ff x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9x x x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以令()()0f f x =，得()32log 93x f x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭， 所以函数()()y ff x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．如图，对应此函数图象的函数可能是( )A ．21(1)2x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22(1)x y x =-C ．ln y x =D ．1x y xe =-【答案】B【解析】【分析】 观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.【详解】由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足；当1x =时，0y =，D 不满足条件；A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，显然A 不成立； 而B 都成立.故选：B【点睛】本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.18．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，2)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】【分析】 利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=，32023<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.20．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ） A ．4B ．2C ．52D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】 试题分析：()332222(0cos )sin 2S x dx x ππππ=-=-=⎰，选B.考点：定积分的几何意义。
福建省厦门市2014-2015学年高二上学期期末考试数学文试题 Word版含答案
厦门市2014-2015学年度第一学期高二年级质量检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1、命题“01),,0[2≥+-+∞∈∀x x x ”的否定是A.01),,0[2<+-+∞∈∀x x xB.01),0,(2≥+--∞∈∀x x xC.01),,0[20<+-+∞∈∃x x xD.01),,0[20≥+-+∞∈∃x x x2、不等式0)2)(1(>-+x x 的解集是A.（-2,1）B.（-1,2）C.),1()2,(+∞--∞D.),2()1,(+∞--∞3、如果椭圆191622=+y x 上一点P 到它的左焦点的距离是2，那么点P 到右焦点的距离为 A.2 B.4 C.6 D.104、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若2054=+a a ，则=8SA.18B.36C.64D.805、一物体的运动方程为)1(21>+=t t t s ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是 A.47米/秒 B.49米/秒 C.23米/秒 D.25米/秒 6、已知}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则“01>a ”是“45S S >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、已知实数y x ,满足 004202≥≤-+≥-+y y x y x ，则y x z +=2的最小值是A.1B.2C.4D.88、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，其导函数是)('x f ，则=-)1(')3('f fA.-2B.2C.5D.-59、已知椭圆和双曲线右公共焦点1F 、2F ，P 是它们的一个公共点，且21PF F ∠3π=，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为 A.33 B.23 C.31 D.3 10、设 (71828).2,0,0=<<e b a 是自然对数的底数，那么 A.若b e a e b a 3545+=+，则b a >B.若b e a e b a 3545+=+，则b a <C.若b e a e b a 3545-=-，则b a >D.若b e a e b a 3545-=-，则b a <第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11、在等比数列}{n a 中，,4,241==a a 则=6a12、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若A,B,C 成等差数列，c b a ,,成等比数列，则=⋅C A sin sin13、若抛物线)0(2>=a ay x 的准线与圆4)2(22=+-y x 相交于A 、B 两点，且32||=AB ，则a 的值是14、设2>x ，则函数22)(-+=x x x f 的最小值是 15、若函数x ax x x f 231)(23-+=在),(+∞a 是单调的，则实数a 的取值范围是16、已知函数x x x f cos ||)(-=，对于],[ππ-上的任意21.x x ，给出如下条件：①||21x x >；②21||x x >；③2221x x >；④3231x x >其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件的序号是 （写出序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共76分。
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厦门二中2014届高三文科数学函数导数专项练习（三）
——函数的性质
一、选择题：
1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －2，则f (12
log 6)的值等（C ）
A ．－43
B ．－72
C ．12
D ．－12
2．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为-----（ B ）
A ．－x ＋1
B ．－x －1
C ．x ＋1
D ．x －1
3．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时， f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 013)＋f (－2 014)的值为---------------------------------------------------------------（ C ）
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则-------------------------------------------（ D ）
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是奇函数
C ．f (x )＝f (x ＋2)
D ．f (x ＋3)是奇函数
5．函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值（ D ）
A ．恒为正数
B ．恒为负数
C ．恒为0
D ．可正可负
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为---------------------------------------------（ Ｂ ）
A ．y ＝cos 2x ，x ∈R
B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0
C ．y ＝e x －e －x 2
，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x x >1 ，⎝⎛⎭
⎫4－a 2x ＋2 x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为------------------（ Ｂ ） A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)
8．若函数y ＝ax 与y ＝－b x
在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上-----------------（ Ｂ ） A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减 D ．先减后增
9．已知函数f (x )＝|x －m |在区间[1,2)上为单调函数，则m 的取值范围是--------------------------------（ Ｂ ）
A ．m ≤1或m ≥2
B ．1≤m ＜2
C ．m ≥2
D ．m ≤1
10．函数f (x )＝x x ＋1
的最大值为-------------------------------------------------------------------------------------（ Ｂ ） A ．25 B ．12 C ．22
D ．1 11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则----------（ D ）
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)
12．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是-----------------------------------（ A ）
A ．[－5，－1]
B ．[－2,0]
C ．[－6，－2]
D ．[1,3]
二、填空题：
13．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．
14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，
若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是 ． 15．如果函数f (x )＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．
16．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为__________．
17．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范围是__________． 18．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断： ①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；
④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)． 其中判断正确的序号是__________．
三、解答题：
19．画出函数
3
2
y x
x
=+的草图，并指出它的单调区间．
20．判断方程3x－x2＝0的负实数根的个数，并说明理由．21．若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
厦门二中2014届高三文科数学函数导数专项练习（三）参考答案
一、选择题：CBCDD BBBBB DA
二、填空题：
13．⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
0<x <12，或x <－2 14．(0,1) 15．0≤a ≤14 16．[0,8] 17．(－1,0] 18．①②⑤
19．解：图略．函数的递增区间是：(,-∞，)+∞；
函数的递减区间是：(，．
20．解：设f (x )＝3x －x 2，∵f (－1)＝－23
＜0，f (0)＝1＞0， 又∵函数f (x )的图象在[－1,0]上是连续不断的，∴函数f (x )在(－1,0)内有零点．
又∵在(－∞，0)上，函数y ＝3x 递增，y ＝x 2递减，∴f (x )在(－∞，0)上是单调递增的． ∴f (x )在(－1,0)内只有一个零点．因此方程3x －x 2＝0只有一个负实数根．
21．解：令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，
即|4x －x 2|＝－a ．
令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a ．
作出g (x )，h (x )的图象．
由图象可知，当0＜－a ＜4，
即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点．
故a 的取值范围为(－4,0)．。