【教案】第三章 圆 北师大版 九年级数学下册
北师大版九年级数学下册教案第三章：3.1圆
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如圆的性质如何应用于建筑设计。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的基本性质和弧、弦、圆心角的关系这两个重点。对于难点部分，如圆内接四边形的性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如圆的对称性在实际中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作圆形图案，演示圆的对称性和勾股定理在圆中的应用。
其次，在新课讲授中，我特别强调了圆的对称性和弧、弦、圆心角的关系。这部分内容对于学生来说有一定的难度，但在小组讨论和实验操作中，他们表现出了很高的兴趣。我发现，通过分组讨论和实验操作，学生能够更直观地理解这些概念。不过，也有部分学生在讨论过程中显得有些迷茫，可能是因为他们对这些概念的理解还不够深入。针对这个问题，我打算在下一节课中增加一些实例分析，帮助学生进一步理解这些难点。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，通过生动的例子、直观的演示和反复的练习，帮助学生透彻理解并掌握这些核心知识点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过圆形物体？”（如硬币、圆桌等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆的奥秘。
北师大版九年级数学下册第三章圆单元教学设计
-采用小组合作学习，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学过程：
-导入：通过生活实例或数学故事引入圆的概念，激发学生的兴趣。
-基本性质：引导学生运用圆规画圆，观察圆的性质，如半径、直径、圆周率等，并运用这些性质解决简单几何问题。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们对于圆的基本概念和性质有一定了解，但对于圆的深入性质和综合应用仍需进一步引导和拓展。学生在空间想象力、抽象思维能力上存在差异，因此教学过程中需针对不同层次的学生进行差异化教学。此外，学生在解决实际问题时，可能对圆的相关知识运用不够熟练，需要通过丰富多样的教学活动，提高他们的知识运用和问题解决能力。在此基础上，教师应关注学生的情感态度，激发他们对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神，使他们在圆的学习中收获成就感，为后续数学学习奠定坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：圆的基本性质、周长和面积的计算、圆的位置关系及切线、割线定理。
2.难点：
-圆的对称性质在解决几何问题中的应用；
-圆的切线、割线定理的掌握及在实际问题中的应用；
-学生空间想象力和抽象思维能力的培养。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生通过观察、实践、探索等途径主动发现圆的性质，培养学生的观察能力和动手操作能力。
-结合网络资源，拓展学生的学习视野，提高学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以生活中的圆形物体为例，如车轮、硬币、圆桌等，引导学生观察这些物体的共同特点，引出圆的概念。
(完整版)北师大版数学九年级下册第三章圆教学案
图课题: 3.1圆【学习目标】1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系【重点难点】重点：会确定点和圆的位置关系.。
难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【自主学习】（自学课本Ｐ65---P 67思考下列问题）1、举例说出生活中的圆。
2、车轮为什么做成圆形？3、你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念）1、圆的集合定义 （集合的观点）2、圆的运动定义：_______________ （运动的观点）圆心： 半径： 3、圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ”． 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到 （圆心）的距离都等于 半径）； （2）到定点的距离等于 的点都在同一个圆上．5、与圆的有关概念？讨论圆中相关元素的定义．如图，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？弦： ； 直径： ； 弧： ；弧的表示方法： ；半圆： ； 等圆：等弧“ 优弧： 劣弧： ；6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P ，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么： 点P 在圆 d r点P 在圆 d r点P 在圆 d r【训练案】1、设AB=3cm ，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；（2）到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形。
2、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A 。
3、已知⊙O 的半径为5cm.(1)若OP=3cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ；(2)若OQ= cm ，那么点Q 与⊙O 的位置关系是：点Q 在⊙O 上； (3)若OR=7cm ，那么点R 与⊙O 的位置关系是：点R 在⊙O【课堂小结】通过本节课学习，你有哪些收获?⇔⇔⇔课题: 3.2圆的对称性【学习目标】1、 探索圆的对称性，能找出圆的对称轴。
北师大版初中数学九下第三章圆教案
北师大版初中数学九下第三章圆教案圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合，是初中九年级的数学学习重点内容，下面店铺为你整理了北师大版初中数学九下第三章圆教案，希望对你有帮助。
北师大版数学九下圆教案：圆的有关性质教学过程：一、复习旧知：1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释)2、在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。
并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的?二、讲授新课：1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。
分析归纳圆定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。
注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O2、进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出：① 圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径)② 到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心，定长为半径的圆上。
由此得出圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。
3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
4、初步掌握圆与一个集合之间的关系：⑴已知图形，找点的集合例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，则是以点O为圆心，2cm长为半径的点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的内部是到圆心O的距离小于2cm的所有点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的外部是到圆心O的距离大于2cm的点的集合。
⑵已知点的集合，找图形例如，和已知点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm长为半径的圆。
北师大版九年级数学下第三章圆：3.1圆、优秀教学案例
在过程与方法方面，本节课的主要目标是培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。首先，学生需要通过观察和实验来探索圆的性质。他们将通过观察圆的形状和特点，发现圆的性质和规律，并能够用数学语言进行描述和表达。
其次，学生需要通过实践和探究来应用圆的知识。他们将通过解决实际问题，如计算圆的周长、面积等，将所学知识应用到实际情境中。学生还将通过小组讨论和合作交流，共同解决问题，培养他们的团队合作能力和解决问题的能力。
此外，学生还需要通过思考和反思来深化对圆的理解。他们将通过解决不同类型的数学问题，培养他们的逻辑思维和批判性思维能力。学生将能够运用所学的数学知识和方法，解决综合性问题和复杂性问题。
（三）情感态度与价值观
在情感态度与价值观方面，本节课的主要目标是培养学生的学习兴趣和自信心。首先，学生将能够体验到数学的乐趣和意义，培养对数学的积极态度和兴趣。通过观察和探索圆的性质，学生将发现数学的奥秘和美丽，增强他们对数学的热爱和兴趣。
三、教学策略
（一）情景创设
在教学过程中，我注重情景创设，让学生在实际情境中学习和理解圆的知识。首先，我会利用多媒体课件和实物模型展示圆的实际应用场景，如自行车轮子、地球等，让学生直观地感受圆的存在和重要性。
其次，我会设计一些实际问题，让学生在解决问题的过程中学习和应用圆的知识。例如，我可以设计一个关于圆形花园的问题，让学生计算花园的周长和面积，并解决与圆形相关的实际问题。
（三）小组合作
在教学过程中，我注重小组合作，让学生在团队合作中学习和应用圆的知识。首先，我会将学生分成小组，并分配给他们一些实际问题或任务。学生需要通过合作和交流，共同解决问题并完成任务。
其次，我会组织学生进行小组讨论和分享。每个小组需要就问题或任务进行讨论和分析，并与其他小组分享自己的观点和解决方案。通过这些小组合作，学生将能够培养团队合作能力和沟通能力，同时也能从他人的经验和见解中学习和成长。
北师大版数学九年级下册3.1《圆》教学设计
北师大版数学九年级下册3.1《圆》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.1《圆》是本册教材中的重要内容，主要介绍了圆的定义、圆的性质、圆的方程等基础知识。
本节课的内容是学生对圆的基本认识，为后续学习圆的运算、圆与圆的位置关系等知识打下基础。
教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究圆的特征，从而培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基础数学知识，对图形的认识有了初步的了解。
但是，对于圆的概念和性质，部分学生可能还比较模糊。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行针对性的教学。
同时，由于圆的知识在实际生活中的应用非常广泛，学生对圆的兴趣和认知程度也会影响他们的学习效果。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握圆的定义、性质和方程，能够运用圆的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：圆的定义、性质和方程。
2.难点：圆的性质的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究圆的特征。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教具：圆的模型、图片、PPT等。
2.学具：学生分组准备，每组一份圆的模型、图纸等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆形物体，如硬币、轮子等，引导学生关注圆的特征。
然后提出问题：“你们对圆有什么认识？圆有哪些性质？”让学生回忆和思考圆的基本知识。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示圆的定义和性质，引导学生观察和理解圆的特征。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案3
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案3一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三单元“圆”的一部分。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，并理解其含义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生掌握圆周角定理，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质和圆的周长、面积计算。
但学生对于圆周角和圆心角的关系可能较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：引导学生发现圆周角定理，理解圆周角定理的含义，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等方法，培养学生动手操作能力和团队协作能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
四. 教学重难点1.圆周角定理的发现和理解。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和练习，引导学生观察、操作、交流，发现圆周角定理。
2.问题驱动法：提出问题，激发学生思考，引导学生探究圆周角和圆心角的关系。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和练习。
2.练习题：准备一些有关圆周角和圆心角的练习题，用于巩固和拓展。
3.教学道具：准备一些圆形道具，用于展示和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个圆形，引导学生观察圆周角和圆心角的关系。
提出问题：“你们认为圆周角和圆心角有什么关系？”让学生思考并发表自己的观点。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现几个实例，让学生观察圆周角和圆心角的关系。
引导学生发现圆周角定理：一个圆周角等于它所对的圆心角的一半。
让学生用自己的语言阐述圆周角定理的含义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个关于圆周角和圆心角的练习题，并互相交换解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
北师大版九年级数学下册单元教案-第三章圆
第三章圆3．1圆教学目标1．明确圆的定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念．2．理解点和圆的位置关系，并能根据条件画出符合条件的图形．教学重点圆的有关概念及点和圆的位置关系．教学难点“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念．教学过程一、创设情景明确目标(1)展示几种车子的图形，留心观察，车轮的形状，以及一幅游戏的画面，这几幅图从不同的角度去选用，从离自己较远的方面到涉及自己有关的方面，逐渐引入．(2)如图，前面我们已经学习了圆，圆还可以看成________的所有点组成的图形，其中________是圆心，________是半径．二、自主学习指向目标阅读教材第65页至67页的内容，完成中的“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一圆的定义1．圆的定义(1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做________，线段OA叫做________．思考：①线段OA所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．②在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，________确定位置，________确定大小．③以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作________，读作________．(2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有________的点的集合．2．如何证明几个点在同一个圆上？反思小结：证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________．针对训练：见“当堂练习”部分．探究点二圆的相关概念1．连接圆上任意两点的________叫做弦，经过圆心的弦叫做________，如图，________是⊙O的直径；在⊙O中，线段________是弦．思考：“直径是弦，弦是直径”这种说法正确吗？直径是圆中最长的弦吗？结论：________，________．2．圆弧是圆上________，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做________．大于________的弧叫做优弧，小于________的弧叫做劣弧．思考：(1)“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？结论：________________________________________________________________________(2)以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”，那么以M，N为端点的弧记作________，读作________．如图，弦AC所对的弧有两条，其中优弧记作________，劣弧记作________．3．能够________的两个圆叫做等圆．“半径相等的两个圆是等圆”．思考：面积相等的两个圆是等圆吗？周长相等的两个圆呢？结论：________，________．在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．反思小结：在理解圆的相关概念时要结合图形．针对训练：见“当堂练习”部分．探究点三点与圆的位置关系1．如图是一个圆形靶的示意图，O为圆心，小明向上投了5枝飞镖，它们分别落到了A、B、C、D、E点．观察A、B、C、D、E这5个点与⊙O的位置关系？在学生思考交流展示后小结点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内．展示点评：点与圆的位置关系及点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系让学生动手画圆，分别在圆外、圆内、圆上找一些点，测量这些点到圆心的距离，分析它们有什么共同特征？反之知道一个点到圆心的距离和圆的半径，你会判断这个点和圆的位置关系吗？怎么样判断？在学生操作、思考、交流、展示后教师总结：①点在圆外⇔d＞r②点在圆上⇔d＝r③点在圆内⇔d＜r针对训练：1．已知⊙O的面积为9π，判断点P与⊙O的位置关系：(1)若PO＝4.5，则点P在________；(2)若PO＝2，则点P在________；(3)若PO＝________，则点P在圆上2．如图：已知Rt △ABC ，AB ＜BC ，∠B ＝90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆． 反思小结：对于圆的定义有几种定义的方法，可以以点运动的轨迹来定义，也可以以集合的观点来定义；判断点与圆的位置关系，必须比较d 与r 之间的大小．四、总结梳理 内化目标1．圆⎩⎪⎨⎪⎧圆的定义⎩⎪⎨⎪⎧描述性定义集合定义圆的表示法、读法圆的相关概念2．应用：同圆的半径相等，圆心是任一直径的中点．3．点与圆的位置关系． 五、达标检测 反思目标 1．下列命题正确的有( )①弦是圆上任意两点之间的部分 ②半径是弦 ③直径是最长的弦 ④弦是半圆，半圆是弦A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一个点到圆上的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则圆的半径是( ) A ．2.5cm 或6.5cm B ．2.5cm C ．6.5cm D ．5cm 或13cm3．如图，已知在⊙O 中，AB ，CD 为直径，则AD 与BC 的关系是( ) A ．AD ＝BC B ．AD ∥BCC ．AD ∥BC 且AD ＝BC D ．不能确定4．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是__________．5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC ＝10cm ，则OD ＝________cm.6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，求证：A ，B ，C 三点共在同一圆上．作业布置教材第68页习题1，2，3.教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________3．2圆的对称性教学目标1．理解圆的旋转不变性．2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学重点利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学难点理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．教学过程一、创设情景明确目标(1)圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找出多少条对称轴？(2)你可以用什么方法来解决上述问题？二、自主学习指向目标阅读教材第70至71页的内容，并完成中的“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点圆的对称性(1)圆是轴对称图形活动1：把一个圆用折叠的方法把圆折叠数次，看看能不能使折叠的两部分完全重合．展示点评：如上面三个图，只要折线经过圆心，则所折的两部分半圆可以完全重合，可以确定出圆是轴对称图形，对称轴即为过圆心的直线，有无数条这样的对称轴．反思：圆有无数条对称轴，而以前学习的正多边形的对称轴是有限的．活动2：把一个圆以圆心为固定点任意旋转一个角度，旋转前后都能重合吗？展示点评：把上述两个圆形以圆心O 为固定点随意旋转任意一个角度，旋转前后的图形都是重合的；所以圆是中心对称图形，而对称中心就是圆心．反思：圆是中心对称图形，而它绕中心旋转的角度可以是任意角，区别于其他中心对称图形，一般地需要旋转90°，180°或360°等等．针对训练：教材72页随堂练习1，2. (2)圆心角，弧，弦之间的关系．活动3：在等圆⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′(如图)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合，你还能发现哪些等量关系？说一说你的理由．展示点评：可以很容易得到AB ︵＝A ′B ′︵，AB ＝A ′B ′，∠AOB ＝∠A′O′B′， 归纳：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．②在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．反思小结：(1)上述①②必要条件为同圆或等圆；另外弦所对的弧特别指出为劣弧．(2)如果①∠AOB ＝∠A′O′B′，则有：AB ︵＝A′B′︵，AB ＝A′B′； ②若AB ＝A′B′，则有AB ︵＝A ′B ′︵，∠AOB ＝∠A ′O ′B ′； ③若AB ︵＝A ′B ′︵，则有∠AOB ＝∠A′O′B′，AB ＝A′B′. 例题讲解：教材71页例题． 针对训练：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦．(1)如果AB ＝CD ，那么________，________． (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么________，________．(3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么________，________．(4)如果AB ＝CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，OE 与OF 相等吗？为什么？ 四、总结梳理 内化目标1．圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线． 2．圆具有旋转不变性，把圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合．圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3．圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论． 五、达标检测 反思目标1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝ED ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．2．如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 为弧AB 的中点，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，求证：MC ＝NC.作业布置教材第72页习题1，2题． 教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ *3.3 垂径定理教学目标1．掌握垂径定理及其推论的内容．2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算． 教学重点垂径定理及其推论的发现、记忆与证明． 教学难点垂径定理及其推论的运用． 教学过程一、创设情景 明确目标如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M.(1)此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说说你的理由？ 二、自主学习 指向目标阅读教材第74页至75页内容，并完成中的“课前预习”． 三、合作探究 达成目标 探究点 垂径定理及其推论(1)垂径定理 活动：(思考)如图：AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足E.①这个图形是轴对称图形吗？②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由． ③你能用一句话概括这些结论吗？ ④你能用几何方法证明这些结论吗？ ⑤你能用符号语言表达这个结论吗？展示点评：如图，根据图的对称性，直线CD 是对称轴，所以AE ＝BE ，AD ︵＝DB ︵，OE ⊥AB ，AC ︵＝BC ︵.归纳：垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，平分弦所对的两条弧． 如图，∵CD ⊥AB ，CD 为直径， ∴AE ＝BE ， AD ︵＝DB ︵，AC ︵＝BC ︵.反思小结：垂径定理是利用了圆是轴对称图形的性质而得到的；垂径定理在圆的解题中应用十分广泛．例题讲解：教材第74页例题． 针对训练：“当堂练习”部分． (2)垂径定理的推论．思考：AB 是圆O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD 交AB 于E ，此图是轴对称图形吗？你能发现哪些结论？和你的同桌交流一下，说说你的理由． 在学生思考、讨论、交流后师生共同总结：平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 思考：为什么强调这里的弦不是直径？如图，∵CD 为直径，AE ＝BE ， ∴CD ⊥AB ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.例题讲解：教材第75页例题．针对训练：中的“当堂练习”部分． (3)垂径定理的应用．思考：从数学的角度分析已知什么几何图形，画出它，分析已知哪些量，要求什么量，为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？反思小结：在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R ，圆心到弦的距离d ，弦长a 之间的关系式：R 2＝d 2＋(a 2)2.针对训练：(1)教材第76页随堂练习． (2)见“课后作业”部分． 四、总结梳理 内化目标(1)垂径定理及其推论的推理过程．(2)垂径定理及其推论的应用；在实际问题中常常需要添加一些辅助线，利用勾股定理来解决．五、达标检测 反思目标1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD ＝5，则弦AC ＝________．2．若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为23cm ，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是________cm.3．如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是________．错误!,第4题图)4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( ) A．2B．3C．4D．55．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是( ) A．7cm B．1cmC．7cm或4cm D．7cm或1cm作业布置教材第76页习题1，2，3.教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角及定理教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角定理的证明．3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．教学过程一、创设情景明确目标在射门游戏中如图，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系？二、自主学习 指向目标阅读教材第78页至79页的内容，并完成中的“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标 探究点一 圆周角定义活动：完成上面题目背景下提出的问题？ 结论：∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC.展示点评：可以发现∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 它们有共同的特点：角的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫它圆周角．反思小组：(1)圆周角定义，顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫做圆周角．(2)圆周角与圆心角的区别在于一个顶点在圆上，一个顶点在圆心． 针对训练：“当堂练习”部分有关题目． 探究点二 圆周角定理活动：如图，∠AOB ＝80°(1)请你画出几个AB ︵所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． (2)这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同学交流．展示点评：图(1)可知：∠C ＋∠A ＝∠AOB ，∠A ＝∠C ，∴2∠C ＝∠AOB ，即：∠C ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°；图(2)连接OC 并延长，由图(1)可知∠1＝2∠3，∠2＝2∠4，∴∠1＋∠2＝2(∠3＋∠4)，即∠AOB ＝2∠ACB(∠C ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°)；图(3)连接OC并延长交⊙O 于D ，同理可知∠AOD ＝2∠ACO ，∠BOD ＝2∠BCO ，∴∠AOD －∠BOD ＝2(∠ACO －∠BCO)，即∠AOB ＝∠2ACB(∠ACB ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°)归纳：在学生小组交流后得到结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．反思小结：(1)探索同一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间关系分三种图形进行讨论．(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 针对训练：(1)学生完成教材第79页(2)(3)问． (2)中“当堂练习”有关部分． 探究点三 圆周角定理的推论 观察图①，∠ABC ，∠ADC 和∠AEC 各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？由此你得到什么结论？在学生思考讨论交流后学生总结：在同圆中，同弧所对的圆周角相等．思考：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？归纳小结：圆周角定理的推论是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．针对训练：①教材第80页随堂练习．②中的“当堂练习”部分．四、总结梳理内化目标(1)圆周角的定义(2)圆周角定理及其推论1.五、达标检测反思目标1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠BAC＝________．变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，则∠BOC＝________．变化题2：如图，∠BAC＝40°，则∠OBC＝________．2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，求∠BOD(BCD所对的圆心角)和∠BAD的大小．作业布置教材第80页习题1，3.教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第2课时圆周角及推论教学目标1．掌握圆周角定理推论的内容，会熟练运用定理及推论解决问题．2．掌握圆内接四边形的概念及性质，会运用性质解决问题．教学重点圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质．教学难点圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质的运用．教学过程一、创设情景明确目标1．如图，∠BOC是_______角，∠BAC是_______角，若∠BOC＝80°，∠BAC＝________．第1题图第2题图2．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO＝65°，则∠BCA＝()A．25°B．32.5°C．30°D．45°二、自主学习指向目标阅读教材第81页至82页内容，并完成中“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一圆周角定理的推论活动：1．探究圆周角定理的推论；观察图①，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图②，圆周角∠BAC＝90°，弦BC经过圆心吗？为什么？展示点评：利用圆周角定理可知：∵∠BOC ＝180°，∴∠A ＝12∠BOC ＝12×180°＝90°(图1)；图(2)可以判断BC 为直径．小组讨论：在学生思考，小组交流后师生共同总结：圆周角定理的推论是直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．运用：∵BC 是直径，点A 在圆上，∴∠BAC ＝90° ∵圆周角∠BAC ＝90°，∴BC 是直径反思小结：定理的推论实际上是在定理基础上的一种拓展；可以通过圆周角定理得到：直径所对的圆周角为直角，反之也成立．针对训练：(1)中“当堂练习”部分．(2)练习：小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？图(1) 图(2) (3)教材第83页随堂练习1. 探究点二 圆内接四边形活动：(1)如图(1)A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系？为什么？图(1) 图(2)(2)如图(2)，若AC 不为直径，则∠BAD 与∠BCD 之间的关系还成立吗？为什么？展示点评：(1)由推论可得：∠D ＝∠B ＝90°，∠B ＋∠D ＝180°，则∠BAD ＋∠BCD ＝360°－(∠B ＋∠D )＝180°；图(2)中∠BOD ＋∠BOD (大于平角)＝360°，而∠C ＝12∠BOD ，∠A ＝12∠BOD (大于平角)，则∠C ＋∠A ＝180°.所以∠BAD 与∠BCD 之间关系仍然成立．小组讨论：(1)什么是圆内接四边形？ (2)推论的归纳与推理过程．①四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，这样的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．②推论：圆内接四边形的对角互补． 针对训练：(1)中的“当堂练习”部分． (2)教材随堂练习3.四、总结梳理 内化目标(1)推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． (2)圆内接四边形，四边形的外接圆的概念． (3)推论：圆内接四边形的对角互补．五、达标检测反思目标1．如图：∠EDC是圆内接四边形ABCD的一个外角，你知道∠B与∠EDC的关系吗？第1，2题图2．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝______，∠B＋∠ADC＝________；若∠B ＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________．3．四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠B＝________∠D＝________．4．四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________．作业布置教材第83页习题1，2，3题．教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________3．5确定圆的条件教学目标1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法．2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．教学重点确定圆的条件．教学难点确定圆的条件．教学过程一、创设情景明确目标1．某地区在一空地上新建了三个居住小区A、B、C，现要规划一所学校，使学校到三个小区的距离相等．你如何选取这所学校的地点？2．经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个圆呢？二、自主学习指向目标阅读教材第85页至87页的内容，并完成中的“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点经过不在同一直线上的三点作圆活动：1．经过一个点作圆作圆，使它过已知点A.你能作出几个这样的圆？在学生操作思考后总结：经过一个点可以作无数个圆．反思：经过点A可以有无数个圆，它们没有固定的半径和圆心．2．经过两个点作圆．过已知点A，B作圆，(1)你准备如何(确定圆心，半径)作圆？(2)其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？在学生思考操作后总结：(1)经过两点A，B的圆有无数个，这些的圆心在线段AB的垂直平分线上；(2)作法：以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到A或B的距离为半径作圆．展示点评：过两点A，B的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上．反思：圆心是不固定的．3．经过不在同一直线上的三个点作圆．作圆，使它过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)，你能作出几个这样的圆？(1)你准备如何(确定圆心，半径)作圆？(2)其圆心的位置有什么特点？与A，B，C有什么关系？展示点评：1.能否转化为2的情况——经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；2．经过两点B，C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上；3．经过三点A，B，C的圆的圆心应该在两条垂直平分线的交点O的位置．反思：经过不在同一直线上的三个点的圆是唯一的．归纳：定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆1．三角形的三个顶点确定一个圆，这圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．2．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．思考：(1)如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？(2)你现在能解决课前的问题了吗？动手做一做？针对训练：(1)教材第86页做一做．(2)教材第86页随堂练习．四、总结梳理内化目标(1)经过一点，可以作无数个圆，其圆心，半径不定，经过两点可以作无数个圆，其圆心在线段的垂直平分线上．(2)经过不在同一直线上的三点可以作唯一一个圆，其圆心，半径均是固定的．五、达标检测反思目标见“课后作业”部分．教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________3．6直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质教学目标1．理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判断它．2．直线与圆相切的判断方法，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它．3．理解并掌握圆的切线的性质，会利用性质解决问题．教学重点理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确地判定．教学难点1．理解“切线”定义中的：“唯一”；2.灵活准确应用相关性质解决问题．教学过程一、创设情景明确目标1．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？2．观察三幅太阳落山的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？3．作一个圆，把直尺边缘看成一条直线．固定圆，平移直尺．观察直线和圆有哪几种位置关系？二、自主学习指向目标阅读教材第89页至91页内容，并完成中“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一切线的定义活动：作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移尺，直线和圆有几种位置关系？展示点评：图(1)中可以观察发现直线l与圆有两个交点；图(2)中直线l与⊙O只有一个交点，图(3)中直线l与⊙O无交点．小组讨论：(1)直线与圆有三种位置关系：相交，相切和相离．a．相交：直线与圆有两个交点时，叫直线与圆相交；b．相切：直线与圆有唯一的公共点时，叫直线与圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．c．相离：直线与圆没有交点时，叫直线与圆相离．反思：上述定义是通过直线与圆有无公共点的角度来考虑，还可以利用其他关系来定义上述概念吗？活动：画出圆分别作出三种位置关系中圆心到直线的距离d和半径R.直线和圆的位置关系与半径和圆心到直线的距离之间的转化展示点评：(1)根据直线与圆的三种位置关系，让学生画出圆心到直线的距离d，并比较d与半径r 的大小，从而得到三种位置关系下d与r之间的数量关系；(2)反过来，知道圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小，我们怎样判断直线与圆的位置关系？(3)你知道怎样判断直线与圆相切吗？讨论归纳：在学生操作、思考、小组交流后师生共同总结：直线和圆相交⇔0≤d＜r直线与圆相切⇔d＝r直线与圆相离⇔d＞r判断直线与圆相切的方法有两种：(1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；(2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断．针对训练：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是________；以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是________；以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是________．2．设⊙O的半径为r，直径为m，圆心O到直线a的距离为d.(1)若r＝15，d＝15，则直线a和⊙O的位置关系是________；若m＝6，d＝2，则直线a和⊙O的位置关系是________；若m＝7，d＝5，则直线a和⊙O的位置关系是________；(2)若直线a和⊙O相切，⊙O半径为3，则d＝________；(3)若直线a和⊙O相离，d＝4.5，则⊙O半径r的取值范围是________；探究点二切线的性质活动：(1)下面的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？你能由此悟出点什么？(2)如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说说你的理由．利用对称性或反证法解决后总结：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．运用：∵CD切圆O于A，∴OA⊥CD例题讲解：教材第90页例1.针对训练：(1)教材第91页随堂练习．(2)中的“当堂练习”部分．四、总结梳理内化目标1．直线与圆的三种位置关系的相交，相切，相离．2．切线的性质及应用．五、达标检测反思目标1．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2cm(2)r＝4cm(3)r＝2.5cm2．在平面直角坐标系中，圆A的圆心坐标为(1，－2)，半径为1.(1)⊙A与y轴的位置关系是________；(2)⊙A向上平移的距离为______时，⊙A与x轴相切．作业布置教材第91页习题1，2，3.教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第2课时切线的判定和三角形的内切圆教学目标1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．。
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九年级数学·下新课标[北师]第三章圆1.经历探索圆及其相关结论的过程,进一步认识和理解研究图形性质的各种方法,发展几何直观和推理能力.2.认识圆的轴对称性和中心对称性.3.探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理,探索并证明垂径定理.4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论.5.探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系.6.掌握切线的概念,探索切线与过切线的半径之间的关系,会过圆上一点画圆的切线.7.探索并证明切线长定理.8.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.9.会计算圆的弧长、扇形的面积.10.会利用基本尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形.1.通过探索,使学生经历“观察——测量——平移——旋转——推理证明”的过程,帮助学生有意识地积累活动经验,体会分类讨论、数形结合和演绎归纳的数学思想的应用,发展有条理的思考及表达能力.2.通过折纸、对称、平移、旋转、推理证明的方式,使学生利用多种方法认识圆的有关性质,在探究活动中去发现问题和提出问题,并在合作交流中解决问题.1.经历探索圆及其相关结论的过程,发展学生的数学思维能力.2.通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验.3.利用现实生活和数学中的素材,设计具有挑战性的情境,激发学生求知、探索的欲望.本章是在学习了直线型图形的有关性质的基础上,进一步来探索一种特殊的曲线型图形——圆的有关性质.学生在学习本章之前,已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质,积累了大量的空间与图形的经验.本章充分体现了已有经验的作用:利用折叠、旋转的方法探索圆的对称性;用轴对称变换的方法探索垂径定理及其逆定理,并利用推理证明的方法进行证明;用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理并证明;用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系;用对称变换及反证法探究切线的性质;用图形运动的方法研究直线与圆的位置关系等.通过本章的学习,对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.同时本章的学习也是高中的数学学习的基础.【重点】利用圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角定理、切线的性质及判定定理和弧长及扇形的面积公式解决与圆有关的问题.【难点】运用圆的有关性质及推论并结合解直角三角形、相似三角形的知识解决相关问题.1.学生在前面的学习中,已经掌握了很多研究图形的手段和方法,积累了大量研究图形问题的经验.在本章的教学中,教师要有意识地引导、鼓励学生利用他们所掌握的观察、测量、轴对称、平移、旋转、推理、证明等多种手段和方法,开展有关的研究活动,从而发现关系,获得结论.在这一过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,帮助他们有意识地积累活动经验,获得成功的体验.2.学生在前面的学习中,已经积累了大量研究图形问题的经验,感受到了很多研究图形问题的基本思想.在本章的教学中,教师应继续有意识地引导学生在相关的数学活动中感悟基本的数学思想.比如,在点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系这些内容中,蕴含着分类的思想;在探索圆周角与圆心角之间的关系时,也涉及分类的思想.又如,推理的思想也是本章内容中蕴含的重要数学思想,其中既有合情推理,也有演绎推理.此外,本章是图形与几何内容的最后一章,教学中还要有意识地引导学生对有关的数学思想进行归纳、总结或反思,以提升学生对基本数学思想的领悟水平.3.与圆有关的证明,《标准》只要求证明垂径定理、圆周角定理及其推论,而且其中的垂径定理和切线长定理还是选学内容,不作考试要求.因此,教学中要以《标准》和教科书为依据,准确把握证明的深度与广度.1圆1课时2圆的对称性1课时*3垂径定理1课时4圆周角和圆心角的关系2课时5确定圆的条件1课时6直线和圆的位置关系2课时*7切线长定理1课时8圆内接正多边形1课时9弧长及扇形的面积1课时回顾与思考1课时1圆1.经历形成圆的概念的过程,经历探索点和圆位置关系的过程.2.理解圆的概念,理解弦和弧的概念,了解点与圆的位置关系,并能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的观点.1.经历探索圆的概念和点与圆的位置关系的过程,发展学生的实践探索能力.2.了解点与圆的位置关系后,会在简单条件下判断点与圆的位置关系,训练学生的数学应用能力,培养学生分析问题和解决问题的能力.1.用生活和生产中的实例激发学生的学习兴趣,唤起学生尊重知识的意识,更加热爱生活.2.通过操作、讨论、归纳等活动,培养学生的观察想象能力,同时训练他们的语言表达能力,使学生获得学习数学的经验.【重点】理解圆、弦和弧的概念,会判断点与圆的位置关系.【难点】能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的观念.【教师准备】多媒体课件和教学圆规.【学生准备】1.复习以前所了解的圆的相关知识.2.直尺和圆规.导入一:观察下面的图形,你能发现它们有哪些共同特点吗?【学生活动】学生观察图片后,会发现图中都有圆,让学生再举出一些生活中类似的图形.【老师引入】在我们生活中,大家经常可以看到圆这个图形“靓丽”的身影,古希腊数学家毕达哥拉斯曾经说过:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形.”让我们一起来感受生活中最美的图形——圆.[设计意图]通过多媒体展示现实生活中有关圆的物体图片和名人名言引起学生的注意,使他们感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激起学生学习的兴趣,从而引入课题.导入二:篝火晚会,是草原人民一种传统的欢庆形式.在用火烤熟食物的过程中,便互相拉手围着火堆跳舞以表达自己喜悦愉快的心情,这种欢庆的形式一直延续到今天,就形成了现在的篝火晚会.如图所示.【问题】你能说明篝火晚会中人们互相拉手围着火堆跳舞时,为什么习惯上围成一个圆圈吗?[设计意图]通过篝火晚会引出问题,学生既在了解课外知识的同时,又产生了疑问,为下面圆的概念的得出埋下了伏笔.[过渡语]我们在七年级已经初步了解了圆的概念和相关知识,实际上圆的概念还有另外的一种定义方法,你想了解吗?一、圆的概念【问题】同学们玩过投圈游戏吗?如图所示,一些学生正在做投圈游戏,他们的投圈目标都是图中的花瓶.如果他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人都公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形才公平?老师引导学生分析并回答下面的问题:1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.2.他们应该怎样排才是公平的?3.上面的“花瓶”和导入中的“火堆”可以看做什么?所有人到它们的距离有什么关系?【学生活动】学生观察后并思考,大胆猜测,得出结论:1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.2.他们可以围成一个圆形,使每个同学到花瓶的距离相等,才能对每个同学都公平.3.“花瓶”和“火堆”可以看做是一个定点,所有人到它们的距离都相等,可以看成是定长.【老师点评】圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径.以点O为圆心的圆记作☉O,读作“圆O”.【画一画】请同学们利用圆规画一个圆.大部分学生产生了疑惑:在哪画圆?画多大的圆?【师生活动】师借机引导学生发现问题:要确定一个圆,需要满足什么条件呢?【学生小结】确定一个圆的要素:(1)圆心;(2)半径.【老师强调】确定一个圆需要两个要素,一是位置,二是大小;圆心确定其位置,半径确定其大小.只有圆心没有半径,虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径而没有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的位置不定,因而圆也不确定.只有圆心和半径都固定,圆才被唯一确定.[设计意图]在七年级圆的概念的基础上,又利用集合的观点对圆进行定义,提高了学生对集合思想的初步认识.[过渡语]通过上面的探究,我们已经了解了圆的定义,下面我们来探究和圆有关的一些概念.课件出示:如图所示:(1)圆中的线段AB是,线段CD是.(2)线段AB和线段CD有什么关系?(3)点A,B之间的部分是什么?点C,D之间的部分是什么?(4)弧有几种类型?怎么样区分呢?(5)如何理解等圆和等弧的概念?【学生活动】学生通过自学的方式,逐一完成题目的回答,然后小组互相交流,代表发言.【老师点评】1.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧.3.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.4.弧包括优弧和劣弧,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.5.能够重合的两个圆叫做等圆.6.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.【老师强调】等弧的前提条件是在同圆或等圆中.[设计意图]通过两个探究活动引出圆及其相关的概念,明确确定圆的两个要素的作用,为下面的点和圆的位置关系的探究打下了良好的基础.[知识拓展]1.弧的表示法:如图所示,以B,C为端点的弧有两条:优弧BDC,记作,劣弧BAC,记作或.[过渡语]平面上,点与圆的位置关系有几种?我们如何判断它们之间的关系呢?课件出示:【想一想】如图所示,☉O是一个半径为r的圆.在圆内、圆外、圆上分别取一点,点到圆心的距离为d,你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗?【师生活动】学生动手操作画图,师巡视,观察学生画的图,教师在黑板上演示出所有的作图类型:【问题】1.在画图的过程中你认为点与圆有几种位置关系?2.我们如何确定点与圆有几种位置关系?【学生活动】学生独立思考后小组讨论,代表发言.【教师点评】1.点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内.2.点在圆外,即d>r;点在圆上,即d=r;点在圆内,即d<r.[设计意图]通过学生动手实践,自愿参与数学活动,主动去探索、讨论、积极发表自己的看法,思考点和圆的位置关系,以及相应的这个点与圆心的距离与半径的大小关系,使学生主动参与学习活动,增强了学生学好数学的自信心.[知识拓展]点到圆心的距离和点与圆的位置关系的关系:①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r.[过渡语]我们已经了解了圆的相关知识,让我们通过练习检测一下我们掌握的程度吧.课件出示:【做一做】设AB=3 cm,画图说明满足下列要求的图形:(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形;(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形.师引导学生思考下面的问题:(1)到点A的距离等于2 cm的点组成什么样的图形?到点B的距离等于2 cm的点呢?(2)到点A的距离小于2 cm的点在哪?到点B的距离小于2 cm的点呢?【师生活动】学生分组讨论,合作交流,教师参与到小组合作学习中,并给予必要的个别指导,师生共同补充完善.【学生活动】代表发言,说明作图的方法和理由:(1)分别以点A,B为圆心,2 cm长为半径作☉A和☉B,到点A的距离等于2 cm的所有点组成的图形是☉A,到点B的距离等于2 cm的所有点组成的图形是☉B,两个条件同时满足应该是两圆的交点P,Q,如图(1)所示.(2)分别以点A,B为圆心,到点A的距离小于2 cm的点在☉A的内部,到点B的距离小于2 cm的点在☉B的内部,所以应该是☉A的内部与☉B的内部的公共部分(图中阴影部分),不含边界,如图(2)所示.[设计意图]通过动手操作画图,让学生再次体会点与圆的位置关系,并在探究的过程中渗透了一种常用的数学法——交集法,让学生经历用集合的观点理解图形的过程.1.圆、弦、弧的概念.2.点与圆的位置关系.1.下列说法中,结论错误的是()A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧解析:A.直径相等的两个圆是等圆,正确,不符合题意;B.长度相等的两条弧是等弧,错误,符合题意;C.圆中最长的弦是直径,正确,不符合题意;D.直径把圆分成两条弧,这两条弧是等弧,正确,不符合题意.故选B.2.若☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,那么点A与☉O的位置关系是()A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定解析:∵☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,∴d<r,∴点A与☉O的位置关系是点A在圆内.故选C.3.圆上各点到圆心的距离都,都等于.解析:根据圆的定义,可得圆上各点到圆心的距离都相等,都等于半径.答案:相等半径4.如图所示,☉O的半径为4 cm,∠AOB=60°,则弦AB的长为cm.解析:∵∠AOB=60°,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=60°,∴△OAB是等边三角形.∴AB=OA=4 cm.故填4.5.如图(1)(2)所示,线段AB=1.8 cm,作满足下面要求的图形.(1)到点A和点B的距离都小于1.1 cm的所有点组成的图形;(2)到点A和点B的距离都大于1.1 cm的所有点组成的图形.解:(1)如下图所示的阴影部分(不含边界)就是到点A和点B的距离都小于1.1 cm的所有点组成的图形.(2)图中两个圆以外的部分就是到点A和点B的距离都大于1.1 cm的所有点组成的图形.1圆1.圆、半圆、弧、等圆和等弧的概念.2.点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内.点在圆外⇔d>r;点在圆上⇔d=r;点在圆内⇔d<r.一、教材作业【必做题】1.教材第66页随堂练习第1,2题.2.教材第68页习题3.1第1,2,3题.【选做题】教材第69页习题3.1第4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法:(1)直径是弦; (2)弦是直径; (3)半圆是弧,但弧不一定是半圆;(4)半径相等的两个圆是等圆; (5)长度相等的两条弧是等弧.其中错误的个数是()A.1B.2C.3D.42.一个点到圆的最大距离为11 cm,最小距离为5 cm,则圆的半径为()A.16 cm或6 cmB.3 cm或8 cmC.3 cmD.8 cm3.圆的半径为3,则弦AB长度的取值范围是.4.如图所示的矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么点B在圆P ,点C在圆P .(填“内”或“外”)【能力提升】5.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,AD∥OC且∠ODA=55°,则∠BOC等于()A.105°B.115°C.125°D.135°6.如图所示,数轴上半径为1的☉O从原点0开始以每秒1个单位长度的速度向右运动,同时,原点右边距原点7个单位长度有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动,经过秒后,点P在☉O上.7.如图所示,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作☉C,半径为r.(1)当r取什么值时,点A,B在☉C外?(2)当r在什么范围时,点A在☉C内,点B在☉C外?8.如图所示,△ABC中,∠BCA=90°,AC=2 cm,BC=4 cm, CM是中线,以C为圆心,以 cm长为半径画圆,则点A,B,M与☉C有什么样的位置关系?【拓展探究】9.如图所示,小虎牵着小狗上街,小虎的手臂与绳长共为2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上),手臂肩部距地面1.5 m.当小虎站立不动时,小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少?并画出平面图.【答案与解析】1.B(解析:(1)根据弦的概念,直径是一条线段,且两个端点在圆上,满足弦是连接圆上两点的线段这一概念,所以(1)正确;(2)弦是连接圆上两点的线段,只有过圆心的弦才是直径,其他的弦不是直径,所以(2)错误;(3)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,所以(3)正确;(4)由等圆的定义可知,半径相等的两个圆面积相等、周长相等,所以为等圆,所以(4)正确;(5)等弧是能完全重合的弧,只有长度相等的两条弧不一定能重合,所以(5)错误.故选B.)2.B(解析:当点在圆内时,最近点的距离为5 cm,最远点的距离为11 cm,则直径是16 cm,因而半径是8 cm;当点在圆外时,最近点的距离为5 cm,最远点的距离为11 cm,则直径是6 cm,因而半径是3 cm.)3.0<AB≤6 (解析:圆的半径为3,则弦中最长的弦即直径的长度是6,因而弦AB长度的取值范围是0<AB≤6.)4.内外(解析:∵AB=8,点P在边AB上,且BP=3AP,∴AP=2,PB=6,∴r=PD= =7,PC===9,∵PB=6<7,PC=9>7,∴点B在圆P内、点C在圆P外.)5.C (解析:∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=55°,∵AD∥OC,∠AOC=∠OAD=55°,∴∠BOC=180°-∠AOC=125°.故选C.)6.2或(解析:设x秒后点P在圆O上,∵圆O从原点0开始以每秒1个单位长度的速度向右运动,同时,原点右边距原点7个单位长度有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动,∴当第一次点P在圆上时,(2+1)x=7-1=6,解得x=2;当第二次点P在圆上时,(2+1)x=7+1=8,解得x=.故填2或.)7.解:(1)当0<r<3时,点A,B在☉C外.(2)当3<r<4时,点A在☉C内,点B在☉C外.8.解:根据勾股定理,有AB==2(cm).∵CA=2 cm< cm,∴点A在☉O内.∵BC=4 cm> cm,∴点B在☉C外.由中线性质得CM= cm,∴点M在☉C上.9.解:由题意可知AB=2.5 m,AC=1.5 m,小狗在地面上环绕跑时,圆的半径为=2.0(m),小狗活动的最大区域是以2.0 m长为半径的圆,如图所示.由于学生在七年级就掌握了圆及其相关概念,容易造成学生的学习兴趣不高,所以本节课一开始就通过展示生活中有关圆的实物图,深深地吸引学生,使其产生很大的兴趣,让其体会到数学来源于生活,激发出学生的求知欲.由于本节课的知识点比较简单,所以本节课主要以学生自主探究为主,合作探究为辅的方式进行教学.让学生通过观察、猜想、动手操作等过程,积极主动地探究规律,通过归纳、综合概括或引申发展,从而有所发现,并提出一般技巧和规律,有效地突破了学习的重难点,调动学生的积极思维,培养了学生理解和分析能力.本节课教学容量较大,没能留给学生充分的时间进行拓展延伸,下次教学还要把概念教学的时间缩短,为后面拓展延伸留更多的时间.为了满足不同层次学生的需要,要对问题设置与提问进行分层设计,为每一位学生提供充分展示自己的机会.随堂练习(教材第66页)1.解:将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈,B所经过的路径就是所要画的圆.2.解:小明投的铅球落在区域5~6 m内,小华投的铅球落在区域6~7 m内.习题3.1(教材第68页)1.解:以柱脚为圆心,5 m长为半径画圆,此圆在草地上的部分是羊活动的区域.2.(1)☉O外(2)☉O内(3)53.解:分别以A,B为圆心,以2 cm长为半径画☉A和☉B,在☉A内部且又在☉B外部所组成的图形即为所求.如右图所示.4.解:小明可能,如:1+1+1+1+1+3=8(分);小华不可能,因为最多只能得到9×6=54(分);小红可能,如:5+5+5+5+7+1=28(分).1.本节课的知识点主要是圆及其相关的概念,所以内容比较简单,学生通过自主探究基本上可以掌握,可以利用观察、猜想、动手操作的方式进行探究.2.要对探究的结论及时进行归纳总结,要得出一般性的结论,为知识的运用打下良好的基础,对于本节课的难点,可以通过小组的交流合作进行突破.已知AB=4 cm,画图说明满足下列条件的图形.(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形;(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形;(3)到点A的距离大于3 cm,且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.〔解析〕(1)到点A和B的距离都等于3 cm的点为两圆的公共点;(2)在☉A内也在☉B内的点满足到点A和B的距离都小于3 cm;(3)在☉A外,在☉B内的点满足条件.解:(1)如图(1)所示,分别以点A和点B为圆心,3 cm长为半径画☉A与☉B,两圆的交点C,D为所求.(2)如图(1)所示,分别以点A和点B为圆心,3 cm长为半径画☉A与☉B,两圆的重叠部分为所求,不算边界.(3)如图(2)所示,以点A为圆心,3 cm长为半径画☉A,以点B为圆心,2 cm长为半径画☉B,则☉B内除去两圆的重叠部分为所求.2圆的对称性1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.【重点】理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.【难点】应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.【教师准备】多媒体课件和教学圆规.【学生准备】1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.2.圆规和自制圆形纸片.导入一:同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.课件出示:【引入】因为有圆,万物才显得富有生机, 我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?[设计意图]从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心.导入二:我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.[设计意图]通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.[过渡语]我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?课件出示:如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?思路一猜想【学生活动】学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?【教师点评】圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.思路二折纸【学生活动】学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.师出示折叠示意图:【学生活动】学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.【教师点评】圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.[过渡语]通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形.【想一想】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?【学生活动】学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.【师生小结】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.【教师点评】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.。