九年级数学圆知识点总结北师大版
北师大版九年级数学下册 第21讲 圆的基本性质 知识点梳理
3圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.
例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．
第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,
∠A=1/2∠O.
图a图b图c
( 2 )推论：
北师大版数学九年级圆知识点
北师大版数学九年级圆知识点在北师大版九年级数学教材中，圆是一个重要的几何概念。
圆的知识点涉及到圆的定义、性质、圆的方程等方面。
在本文中，我们将深入探讨这些知识点，并运用它们解决实际问题。
首先，我们来了解圆的定义。
圆是指平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的常数称为半径。
根据这个定义，我们可以得出圆的一个重要性质：圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离。
接下来，我们来研究圆的性质。
首先是切线的性质。
对于一条与圆相切的直线，它与圆的交点只有一个，并且与圆的切点的切线垂直于半径。
这个性质在实际问题中有很多应用，比如求圆的切线长度等。
除了切线的性质，我们还需了解弦的性质。
弦是连接圆上两点的线段。
对于相同弦的两条弧，它们所对的圆心角相等。
这个性质在解决一些角度问题时非常有用，例如求圆心角所对的弧长等。
在圆的知识点中，还有一些重要的定理需要掌握。
例如，弧与圆心角的关系定理。
根据这个定理，我们知道圆心角的度数等于其所对弧的弧度数。
这个定理的应用非常广泛，包括求解圆心角度数、弧度数等等。
圆的知识点中还有一个重要的内容是圆的方程。
在解决与圆相关的问题时，通过圆的方程可以方便地求解圆的各项参数。
圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
学生需要掌握这两种形式，并且能够在实际问题中应用它们。
除了上述知识点，我们还需要了解圆与其他几何图形之间的关系。
例如，圆与直线的位置关系。
当直线与圆相交时，我们可以根据交点的位置来判断直线与圆的位置关系。
这个知识点在解决位置问题时非常有用。
总之，圆是数学九年级的一个重要知识点。
通过学习圆的定义、性质、定理和方程，我们可以更好地理解和应用圆的知识。
在解决实际问题时，我们可以通过分析问题，利用圆的性质和定理来解决。
掌握好圆的知识对我们的学习和应用都有很大的帮助。
希望同学们能够认真学习，掌握好这些知识点。
这样，在数学学习中就能够游刃有余，并且能够将数学知识应用到实际生活中。
北师大版九年级数学圆
北师大版九年级数学教材中的圆包括以下内容：
1. 圆的定义：圆是由平面上到一个点的距离都相等的点的集合。
其中，这个点叫做圆心，距离叫做半径。
2. 圆的性质：
- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于其所对的弧的度数。
- 弧长和扇形面积：圆的弧长是圆周上任意两点间的弧长。
扇形是由圆心、圆周上的两个点和与之相连的弧组成的图形。
计算弧长和扇形面积需要使用圆周率π。
- 切线与切点：切线是与圆只有一个交点的直线，这个交点叫做切点。
切线与半径垂直。
- 弦和弦长：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的中垂线经过圆心，并且将弦分成两等分，弦长等于两等分部分长度之和的一半。
- 相交弧的性质：如果两个圆相交，那么它们相交弧的度数和为360°。
3. 圆的相关公式：
- 圆的周长：圆的周长等于圆周上一整个弧长，即2πr（其中r为半径）。
- 圆的面积：圆的面积等于πr^2。
以上是北师大版九年级数学教材中关于圆的主要内容。
通过学习这些知识，学生可以理解圆的定义、性质和相关公式，进而应用到解决与圆相关的问题中。
1。
北师大九年级 圆 知识点
北师大九年级圆知识点圆是数学中一种基本的几何图形，它是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点所组成的集合。
在几何学中，圆是最简单的曲线，它具有许多独特的性质和特征，是学习几何学的基础。
下面将介绍北师大九年级关于圆的一些重要知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面内到一个固定点的距离等于半径长度的所有点组成的集合。
2. 圆的性质：- 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，其长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点到相邻点的距离之和，它等于直径的乘积。
- 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离之和，它等于半径的平方乘以π（π≈3.14159）。
二、圆的相关概念1. 弧：圆上的一段曲线称为圆弧。
圆弧的长度叫做弧长。
圆弧所对的圆心角称为弧度。
2. 弦：连接圆上的两点的线段称为圆弦。
3. 切线：与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线。
切线与半径的夹角为直角。
4. 弦割定理：若一条直线同时截取圆的弦和切线，那么弦上的两线段的乘积等于切线与弦外的弦段的乘积。
三、圆的性质与定理1. 相交弦定理：两条相交的弦所对的弧相等。
2. 弦切角定理：切线和切线所截弦所对的弧所张角相等。
3. 弧切角定理：切线和切线所截圆弧所对的弦所张角相等。
4. 相交角性质：圆内接四边形的对角和为180度。
5. 弧与角关系：圆心角是弧上两点所对的角，圆心角的度数等于弧所对的圆心角的两倍。
四、圆的应用1. 圆的测量：通过给定的半径或直径，可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的几何关系：如判定圆和直线的位置关系、圆与圆的位置关系等。
3. 圆的建模：在实际问题中，许多物体的形状可以近似看作圆，通过建立圆的模型可以进行问题的分析和求解。
总结：圆是数学中重要的几何图形之一，具有独特的性质和特征。
在学习和应用圆的知识时，我们需要了解圆的定义和性质，掌握一些相关概念和定理，并能够运用圆的知识解决实际问题。
希望通过对北师大九年级圆的知识点的学习，能够对同学们的数学能力提升和问题解决能力的培养有所帮助。
九年级北师大版圆的知识点
九年级北师大版圆的知识点九年级北师大版数学教材中，圆是一个重要的知识点。
圆的特性和应用，对于学生的数学能力和几何思维的培养都有很大的帮助。
本文将介绍九年级北师大版数学教材中围绕圆的知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆周率以及圆的应用等内容。
在九年级的数学课本中，首先会介绍圆的基本概念和定义。
圆是由一个平面上的所有离一个固定点（圆心）相等距离的点组成的。
圆心是圆的核心，而这个相等的距离则被称为半径。
半径的长度决定了一个圆的大小。
半径相等的两个圆被称为同心圆。
除了圆的基本定义，九年级的课本还介绍了圆的一些重要性质。
其中一条非常关键的性质是圆的直径等于半径的两倍。
也就是说，通过圆心的直线，且两端点都位于圆上的线段称为直径。
直径是圆的最长线段，能够把圆分成两个相等的半圆。
圆还具备很多其他的性质。
例如，任意两条相交圆弦所对的圆心角相等；两个相交圆弧所对的圆心角相等；圆上的弧所对的圆心角等于弧对应的圆周角的一半等等。
这些性质为后续的几何问题解决提供了很多的便利。
在圆的知识点中，圆周率也是一个关键的概念。
圆周率是圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母π表示。
圆周率是一个无理数，其近似值为3.14159。
因为无法精确表示，所以在计算中通常取近似值。
除了对圆的定义和性质的学习，九年级的数学课本还会介绍一些圆的应用。
例如，圆的面积计算是一项实际应用广泛的技能。
圆的面积等于半径的平方乘以圆周率，公式为S=πr²。
通过掌握这个公式，可以计算圆的面积，进而应用于实际生活中的问题。
另外，九年级数学课本还会介绍圆与其他几何图形的关系。
例如，圆与角的关系，圆与直线的关系等等。
这些关系的理解和应用，可以使学生进一步培养几何思维能力，提高解决几何问题的能力和灵活性。
在学习圆的知识点时，举一些实际的例子和案例也是非常重要的。
例如，学生可以通过测量不同碗的半径和直径，计算其容量，了解圆在日常生活中的应用。
此外，学生还可以通过绘制和计算圆的面积，理解面积的概念，并将其应用到解决问题中。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。
三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。
四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。
北师大九年级圆知识点归纳
北师大九年级圆知识点归纳北师大九年级的数学教材中有一个重要的章节，那就是圆的知识点。
圆是我们生活中非常常见的几何图形，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对北师大九年级圆的相关知识点进行归纳和总结。
1. 圆的定义和性质首先，我们来看圆的定义。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有很多，其中最重要的性质是圆的半径相等，圆的直径是圆的两个点之间的最长距离，圆上任意两点和圆心都构成的线段是圆的弦。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上任意一条弧的长度。
我们知道，一个完整的圆共有360度，所以圆的周长可以通过圆的半径或直径来计算。
周长等于直径乘以π（π的近似值为3.14）。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域，可以通过圆的半径或直径来计算。
面积等于半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和切点当一条直线只与圆相交于一点时，这条直线称为圆的切线。
切线的长度与切点到圆心的距离相等。
圆的切点是由一条与圆相切的直线与圆相交所得到的点。
4. 圆的弦和弧圆的弦是圆上任意两点间的线段。
弦的长度称为弦长。
圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
弧的长度是弧所对应的圆心角的度数除以360度的周长，再乘以圆的周长。
5. 圆的相似和相切两个圆相似的条件是它们的半径成比例。
两个圆相切的条件是它们的半径相等且它们的圆心之间的距离等于它们的半径之和。
6. 圆的位置关系当两个圆相交于两个点时，它们交于一条线。
当两个圆相切于一个点时，它们相切于一条线。
当两个圆没有公共点时，它们是外离的。
当一个圆在另一个圆内时，它们是内含的。
7. 圆的应用圆的知识点在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门能够给建筑物增添美感；在地理学中，地球的形状就是近似于一个圆球；在数学中，圆的几何性质在三角学和数学推理中起着重要的作用。
通过对北师大九年级圆的知识点的归纳和总结，我们可以更加系统地了解圆的相关概念和性质。
北师大版九年级下册数学第12讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理
北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理【学习目标】1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.P rPrPr要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=2（0s）0.9相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆的有关计算3.已知，点P 是半径为5 的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】C.【解析】作图，过点P 作直径AB，过点P 作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P 的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P 的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，容易漏解. 举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4.已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O 使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB 的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC 的垂直平分线EF，交MN 于点O；3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.所以⊙O 就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.52 - 42【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）A ．已知圆心B ．已知半径C ．已知直径D ．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B 、C 、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选 D ．5. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的 OP 的最大值与最小值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为 5；根据垂线段最短，可得到当 OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为 10，弦 AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得 AP=4，由勾股定理的 OP= = 3 ，∴OP 最短为 3.∴OP 的长的取值范围是 3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道 OP 何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O 的半径为 13，弦 AB=24，P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值范围是．【答案】 OP 最大为半径，最小为 O 到 AB 的距离．所以 5≤OP ≤13.。
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九年级数学圆知识点总结北师大版
点的连线与切线所夹角为直角.
1.垂径定理及推论：在一个圆中，如果一条直线通过圆心且垂直于另一条直线，则这条直线被称为垂径，而另一条直线被称为弦。
根据垂径定理，垂径平分弦，并且中垂定理、中径定理和弧径定理都可以由垂径定理推导而来。
2.平行线夹弧定理：当两条平行弦穿过一个圆时，它们所夹的弧是相等的。
3.“角、弦、弧、距”定理：在同一个圆或等圆中，如果两个角相等，则它们所对的弦也相等；如果两个弦相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个弦的弦心距相等，则它们也相等。
4.圆周角定理及推论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果一个三角形的一条边的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角线互补，
并且任何一个外角都等于它的内对角。
6.切线定理及性质：如果一条直线通过圆的外部一点并且
与圆相切，则这条直线被称为切线。
根据切线定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
7.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线
长相等；圆心和这一点的连线与切线所夹角为直角。
点的连线平分两条切线的夹角。
因为AB是切线，所以
OC垂直于AB。
（3）几何表达式举例：因为PA、PB是切线，所以PA=PB。
因为PO过圆心，所以∠APO=∠BPO。
弦切角定理及其推论：（1）弦切角等于它所夹的弧对的
圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦
切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（如图）
相交弦定理及其推论：（1）圆内的两条相交弦，被交点
分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。
切割线定理及其推论：（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的
交点的两条线段长的积相等。
关于两圆的性质定理：（1）相交两圆的连心线垂直平分
两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。
正多边形的有关计算：（1）中心角α=n360°，半径Rn，
边心距rn，边长an，内角βn，边数n；（2）有关计算在
RtΔAOC中进行。
公式举例：αn=360°/n，βn=(n-2)180°/n，
Rn=an/2sin(αn/2)，rn=Rntan(αn/2)。
基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高。
三角形有许多与圆相关的概念，包括外接圆、外心、内切圆、内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角。
有两个定理与圆有关：第一个是不在一直线上的三个点可以确定一个圆；第二个是任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
此外，正n边形的半径和边心距可以将正n边形分为2n个全等的直角三角形。
圆的计算有三个公式：圆的周长C=2πR，弧长
L=nπR/180，圆的面积S=πR²。
此外，圆的扇形面积、弓形面
积以及圆心角和弧度的关系也可以用公式表示。
圆柱和圆锥的侧面展开图中，圆柱的侧面积是2πrh，圆
锥的侧面积是LR，其中L=2πr，R是圆锥母线长，r是底面半径。
圆是轴对称和中心对称图形，圆心角的度数等于它所对弧的度数。
三角形的外心等于两边中垂线的交点等于三角形的外接圆的圆心，三角形的内心等于两内角平分线的交点等于三角形的内切圆的圆心。
直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离和圆的半径表示，圆与圆的位置关系可以用圆心到圆心的距离和两个圆的半径表示。
证直线与圆相切时，可以使用“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线。
关于圆的常见辅助线，可以构造弦心距、直角三角形、垂径定理、相似形等辅助线来解决问题。
此外，还可以将圆内角转化为圆周角、圆外角转化为圆周角，构造外公切线与垂直等方法来解决问题。
两个圆内切时，可以构造外公切线和内公切线，这些线都是平行的。
同时，与圆相切的切线垂直于半径。
当两个圆外切时，可以构造内公切线和平行的切线。
如果两个圆相交，可以构造它们的公共弦。
如果两个圆同心，可以通过作弦心距并连接圆心来构造中垂线。
这些操作可以证明得到AC=DB。
当PA、PB是两个圆的切线时，可以构造双垂图形和全等。
如果相交的弦相似，可以得到一些结论。
如果BF一切一割，可以得到相似，并且可以构造弦切角。
如果PB、PC是两个圆的割线，可以得到相似，并且可以构造圆周角。
如果构造双垂，可以得到相似，并且可以构造直角。
在规则图形中，折叠出一对全等和一对相似。
在等腰三角形中，底边上的高会过内切圆的圆心和切点，并且可以构造相似形。
对于一个内切圆，它的半径可以通过公式r=(a+b-c)/2计
算得到。
在一个半圆中，可以补全另一半圆。
如果AD和BC都是切线，连接OA和OB，则可以证明∠AOB=180°，即A、O、B三点共线。
对于一个直角三角形ABC，它的内切圆的半径可以通过公式r=(a+b-c)/2计算得到。
如果两个圆相切，可以构造内公切线和外公切线，并且这些线都是平行的。
同时，与圆相切的切线垂直于半径。
在一个等弧中，可以得到平行和相似。
如果构造AN⊥BC，则可以证明BDNECPC过圆心，PA 是切线，并且可以构造双垂和直角三角形。
最后，GFAM/BCAN=2AB/O1O2-（R-r）/（R+r）。