导数在高中数学中的应用探讨
高中数学导数的应用
高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。
一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。
例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。
二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。
对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。
同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。
这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。
三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。
对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。
因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。
这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。
四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。
当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。
而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。
这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。
总结起来，导数的应用非常广泛。
无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。
因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。
只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。
简述导数在高中数学新课程中的地位与作用-教育文档资料
简述导数在高中数学新课程中的地位与作用导数（“导函数”的简称）是一类特殊的函数，利用导数可以求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题等。
导数在函数中的应用很广，所以，导数是分析和解决问题的有效工具。
本文通过探讨导数在新课程中的地位以及在数学解题中的应用，以拓展学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。
高中数学是由必修课程和选修课程两部分构成。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣选修。
选修课程由系列1、2、3、4等组成，在系列1和2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
一、有利于学生理解函数的性质在高中阶段学习函数时，主要学习函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来。
因而，如果能准确作出函数的图像，函数的性质就一目了然。
如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。
但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，如函数y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，仅用描点法就很难准确地作出图像。
但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点和最值点；利用极限思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。
这样就有利于学生理解函数的性质，同时也拓宽了学生的知识面。
1.利用导数求函数的解析式用解析式表示函数的关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加清晰。
例1.设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。
解析：因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以，P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而得：d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′x=0=c，从而得出：c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以，12a+4b+12=08a+4b+20=0解得：a=2，b=-9。
导数在高中数学解题中的应用探究
导数在高中数学解题中的应用探究作者：谯洪斌来源：《新课程研究·上旬》2019年第02期摘要：导数是高中数学的重要内容，导数知识和其他数学知识结合可以产生多种多样的新题型，这类题型立意巧妙、观点新颖，成了考试题中的亮点，也成了学生的难题。
文章阐述了高中数学导数的概念，分析了导数在高中数学解题中的具体应用思路，并提出通过做题探索解题方法，使学生掌握利用导数解题的能力，提高学生的创造性能力。
关键词：导数；高中数学；解题应用作者简介：谯洪斌，四川省南充高级中学教师。
（四川南充 637205）中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2019）04-0052-02高考数学对学生的创新意识的要求越来越高。
以能力立意是高考数学命题的指导思想，命题方式也在不断变化，而导数解题的知识点是命题的重点。
导数是高中数学的重点内容，常与函数、方程、数列、不等式、几何、向量、线性规划以及实际生活等内容融合在一起。
导数问题巧而精，学生要解答正确并非易事，需要学生具备发散性思维，有足够的耐心，有自主学习和独立思考的能力。
本文对导数在高中数学解题中的应用进行分析，旨在探索规律，揭示方法。
一、高中数学中导数的含义导数是在函数概念中出现的，具有函数的基本性质，高中数学教材上写明导数展现了函数的变化趋势，从学习简单的初等函数开始，导数就可以在其中得到运用，求导总是能使问题迎刃而解。
所以，高中的导数教学主要是通过求导解决实际题目来进行的，最终要使学生养成用导数解决数学难题的思维。
近几年的高考试题越来越多涉及导数问题，导数题型出现的频率越来越高，所以高中数学教学的重点就是让学生运用导数解决数学试题，体现出数学的实用性。
教师要教会学生灵活运用导数，学会快速从问题中发现是否需要求导，这是解决题目的突破点，也是导数学习的重难点，需要教师在设计教学方案和课堂讲授时加以重视。
二、导数在高中数学解题中的实际运用融合数学思想，强化数学思维能力的培养是当今时代所需。
论导数在高中数学中的应用
对 州
论导数在高中数学中的应用
周 萍
吉 林省德惠市德惠实验 中学 摘要 ： 在 高 中数 学中导数部分 的知识是相 当重要 的部分 ， （ 三） 利用导数求不等式 它是 高中数 学后继课程的基础也是 高考 中的热点 问题 ，蕴含 函数与不等式 的结合 出题是 高中数学 中比较常见 的 ， 这 着丰 富的数学思想 ， 在数 学解题 中的运 用广泛。 在 高中数 学中 种题型乍一看解决起来 比较 困难但是运用导数来解决就 比较 我们来看一个类型题。 引入导数增添 了高中数 学的活力 ，让数学题 目的解答 变得更 简单 ， 加灵活、 简单 。 本文主要 是对导数在 高 中数 学 中的应 用进行探 例： 对 于 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ｘ —ａ ） （ ｘ —ｂ ） ， 其中 Ｏ ＜ ａ ＜ ｂ ， 设ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ Ｓ ， ｘ ＝ ｔ 取 到极值， 其中 ｓ ＜ ｔ ， 求证： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 索， 希 望能够在 导数 的学习和使用 中起到一定的作用。 关键词 ： 高中数 学 导数 解题 证明： 首先求 ｆ （ ｘ ） 导数， 得： （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ —２ （ ａ ＋ ｂ ） ｘ ＋ ａ ｂ 由ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ ８和 ｘ ＝ ｔ 取到极值 ， 知： ｓ ， ｔ 是 二次方程 ｆ ， （ ｘ ） ＝ Ｏ 导数 是新课 改下新增 的内容 ，这一 内容在高中数学 的比 的两实根， 重越来越 多 ，导数 在数学 中的引入加深 了学生对于 函数 的理 又： ｆ ｔ （ ０ ） ＝ ａ ｂ ＞ Ｏ ｆ （ ａ ） ＝ ａ 一ａ ｂ ＝ ａ （ ａ －ｂ ） ＜ ０ ｆ （ ａ ） ＝ ｂ 。 一ａ ｂ ＝ ｂ （ ｂ － １ ＞ ０ 解， 激发 了学生 的创新思维 ， 并且 能够 引导 学生将数学知识运 ａ 即ｆ ， （ ｘ ） 在区间 （ ０ ， ａ ） （ ａ ， ｂ ） 内分别有一个实根， 用到实际生 活中极大地激 发了学生对 于学习数学 的积极性 。 由ｓ ＜ ｔ ， ｓ ， ｔ 都是方程 ｆ （ ｘ ） ＝ ０的两实根， 得出： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 但是 对于初学 者来说 ， 导数的学习还是有一定 的难度 的 ， 所 以 二． 导数在 几何解题中的运用 必须 弄清导数 的定 义及其性质 ，并且慢慢地将 其运用到实际 解题 中去 ， 这样才能实现对导数的透彻理解。 在人教版高 中数 对 于一些几何 问题 的解决如果运用普通 的方法显得非 常 学中就有 “ 导数及其 运用 ” 一章 ， 在本文 中笔者 结合着课 本 内 麻 烦 ， 有时我们可以巧妙地运用导数来解决 。 我们 看下 面的一 容对 导数在高 中数学 中的运用进行一个新角度 的总结 。 个 例子 。 导数在代数解题中的运用 例： 用一条不限长度的钢丝 围成一个长方形 的框架 其长 、 （ 一） 小于等于 ８ ｍ） ， 那么 当其 长宽各 最 大面积是多少 ？ 在高 中数学 的学 习中会遇到判断 函数单调性 或是求 函数 为多少 时面积最大 ， 分析： 我们读 完题 目可 以看 出这是一个求最大值 的问题 ， 单调 区间的问题 ， 对于这个问题 利用导数 是特别容易解决 的， 正 如人教版高 中数学 中“ 导数及其 运用” 一章 中的“ 导数 在研 我们可 以将思维转 向函数 的导数上去解 决。 究 函数 中的应用 ” 一节就是运用导数 来解 决函数问题 的内容 ， 解： 设长方形 的宽 为 ｘ ｍ， 那么其长为 ２ ｘ ｍ ， 其中 ０ ＜ ｘ ≤８ ， 由 这是 因为 导数有这样 的性质 ， 对 于 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在 某个 区间（ ａ ， 题 意可 得 ： ｂ ） 上， 如果 ｆ （ ｘ ） ＞ ０ ， 那 么函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单调 递增 长方形 的面积 Ｓ ＝ ２ ｘ ￣ ，ｓ ＝ ４ ｘ ，对 于 ｓ 来说 ， ｓ 始终都是大 的， 如果 ｆ ， （ ｘ ） ＜ ０ ， 那么 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单 调递减 的， 于 ０的，所 以函数 ｓ是一个单调递增 的函数所 以当 ｘ ＝ ８时面 如果 ｆ （ ｘ １ ＝ ０ ， 那么 函数 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 是 常数 函数 ， 根 据导数 的这一 性 积有最 大值 ， 即宽为 ８ ｍ， 长为 １ ６ ｍ ， 最大面积 为 １ ２ ８ ｍ 。 质， 对于函数单调性的求解 就非 常容 易了。 三． 导 数在高中数学应用中要注意的问题 在导数部分 的教学过程中 ，要 注意一些问题把握教学要 例： 对于函数 ｘ ） ＝ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ求其单调区间。 分析 ： 对于这一道题 目， 我们观察发 现它 的最高次 幂是 ３ 求， 很好地抓住教学 的重难点 。 首先在导数的定义理解上要让 次， 直接运用函数图像 去观察函数 的单调 区间是十分 困难 的， 学生有一个详实 的了解 ， 明确导数 的涵义 ， 然后是对于导数 的 由于其是可导 的所 以我们就可 以运用导数的性质来求解。 各种性质 的学 习， 在导数 的运用 中都是利用导数 的性质 的 ， 所 以对 于导数 的各种性 质要让学生 “ 知其然知 其所 以然 ” ， 记牢 解： 函数 ｘ １ 的导数为 ｆ ＇ （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ， 当ｆ ， （ ｘ ） ＞ Ｏ时 ， ｘ ＞ Ｏ或 ｘ ＜ 一 ２ ， 即 函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ∞， 一 ２ ） ， （ ０ ， ＋ 这些性质并且理解这些性质 ， 最后就是运用导数进行解题 了 ， ∞） 上是单调递增 的； 运用导数去解题本身就是一种 比较便捷 的方法 ，在运用 的过 当ｆ （ ｘ ） ＜ ０时 ， 一 ２ ＜ ｘ ＜ Ｏ ， 即函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ２ ， ０ ） 上是 单调递减 程 中要避免学生又讲简单问题 复杂化 ，保证 学生能够巧妙地 运用导数来解题 。另外 ， 在导数知识 的学 习中 ， 要注意知识 的 的。 （ 二） 利 用 导 数 求 函数 的极 值 关联性与连续性 ， 学会让知识形成一个线形的系统。 在 高 中数 学 中还 经常 出现求 函数 在某 个 区间 的极 值 问 结语 ： 题 ，通过对导数的性质研究我们知道对于 函数 的导数在 区间 导数在高 中数学的地位重要 ， 由以上笔者 的分析 ， 可 以看 内如果两侧的符号不 同那么这个 函数在这个 区间上就存 在着 出运用导数可 以解决高中数学 中的许 多问题 ，这使原本枯燥 极大值或极小值 ，这就其实我们在求解 函数 的最值 时可 以通 的数学有 了乐趣 ， 原本 困难 的数学变得简单 ， 能够激发学生 的 过对于导数进行分析 。 学 习兴趣 ， 不失为一种不可多得 的数学学习方法。 例： 求 函数 ｆ （ ｘ ） 一ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ９ ｘ在单调区间【 １ ， ５ ］ 上的最大值 。 参考文献 ： ［ １ 】 常利军． 探析 导数在高 中数学 中的应用 叨． 语数外 学 分析 ： 这个题 目给出了函数解析式要求 区间上 的最大值 ， 我们根据函数导数的性质便 可以轻松 地计算 出其最 。 习． ２ ０ １ ３ （ ０ ５ ） ． ［ ２ 】 吴龙福． 例析 导数在 高 中数学题 目解答 中的典型性应 解： 函数 ｘ ） 的导数为 ｆ （ ｘ ） 一３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ＋ ９ ， 所 以在 区间（ 一 １ ， ３ ） 上是单调 递增 的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ； 在 区间（ 一 ｏ 。 ， 一 １ ） ， （ ３ ， ＋ 。 。 ） 上是单 用【 Ｊ ］ ． 数学大世界． ２ ０ １ ２ （ １ １ ） ． ［ ３ 】 漆建 哲． 导数在 高 中数学解题 中的应用分析 ［ Ｊ ］ ． 语数 调递减的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＜０ ， 所 以我们得 出， 对于区间［ １ ， ５ 】 在【 １ ， ３ 】 范 围 内ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ， 即是递增 的 ， 在［ ３ ， ５ 】 范 围内 ｆ （ ｘ ） ＜０ ， 即是递减 的 ， 所 外学习． ２ ０ １ ３ （ ０ ７ ） ． 以在 ｘ ＝ ３ 处取得最 大值 ， 即ｆ ３ ） ＝ ６ ３ 。
高中数学函数与导数的应用
高中数学函数与导数的应用导数作为高中数学中的重要概念，被广泛应用于数学问题的求解过程中。
通过对函数的导数进行分析和运算，我们可以得到许多有用的信息，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将从几个具体的应用场景出发，探讨函数与导数在高中数学中的应用。
一、函数的极值与最值问题函数的极值和最值问题是数学中常见的优化问题。
通过求取函数的导数，我们可以得到函数的极值点以及对应的函数值。
具体而言，当函数的导数等于零时，对应的自变量取值即为函数的极值点。
而根据导数的正负性可以确定函数在极值点附近的取值情况。
通过对求导结果的分析，我们可以轻松地确定函数的极大值或极小值。
二、函数的凹凸性和拐点问题对于函数的凹凸性和拐点问题，我们可以通过函数的二阶导数来进行研究。
二阶导数表示了函数变化率的变化率，也即函数的凹凸性。
当函数的二阶导数大于零时，函数在该点附近上凸；当函数的二阶导数小于零时，函数在该点附近上凹。
通过对函数的二阶导数进行符号判断，我们可以判断函数在指定自变量范围内的凹凸性，从而更好地理解函数的性质。
而拐点则是指函数曲线的凹凸方向发生改变的点。
三、函数的图像与导数的关系函数的导数不仅可以帮助我们研究函数的数学性质，还可以直接影响函数的图像。
例如，当函数的导数为正时，表示函数在该点附近单调上升；当函数的导数为负时，表示函数在该点附近单调下降。
通过对函数的导数进行正负性判断，我们可以绘制函数的递增、递减区间。
另外，导数还可以帮助我们确定函数的拐点、极值点和最值点等特殊点，从而更好地描述函数的图像。
四、函数的模型与导数的运用函数的模型在实际问题中具有广泛的应用。
通过对问题进行建模，我们可以将实际问题转化为数学问题，并利用函数与导数的知识进行求解。
例如，在物理问题中，我们可以通过建立运动物体的位移函数，并通过求导计算速度和加速度等相关信息。
在经济学问题中，我们可以建立成本、收益或利润函数，通过求导求取最大或最小值，寻找最优解。
导数在高中数学中的应用
导数在高中数学课程中的应用新乡市一中数学组 李凤德[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数 新课程 应用一、 知识地位分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。
纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。
内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。
今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。
复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。
二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解 因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ． ⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解 显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于 12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ， 又 1222721222++++=+-+x x x x x ， 可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值． 解 由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，9)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析 应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解 显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='， 由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，． （二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错． 例5(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. ∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解 由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-， 即211)22(x x x y -+=．(1)由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--， 即a x x x y ++-=2222．(2)若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222 消去2x ，得0122121=+++a x x ， 由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析 通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=， 和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明 构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则01111)(21>+=+-+='x x x x x f ． 得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立． 又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ． 得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立． 综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解 注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n--=--=+++11)1(12 ， 然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n n n n n n nC C C C )1(32321---+- ．解 因为n n n n n n nn x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ． 上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解 如图1，设点C 距点D xkm ，则 x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ．总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )． 又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、 结束语 A B C Dx 图1导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．。
高中数学导数教学中分类讨论法的应用
教学·策略高中数学导数教学中分类讨论法的应用文|荣荟翠教师对导数教学的各方面内容进行分类讨论，可以帮助学生了解导数基础知识，让学生高效地掌握导数内涵，并灵活解决导数问题。
一、简化解题步骤从近些年的高考题中我们不难看出“导数”已经成为重点考查的内容，利用导数求函数的最值问题是常见的题型。
在解答此类导数问题时，就可应用分类讨论法对题目进行分析，通过分类与逐层分析，可以让解题过程更加简单，且能让学生的解题步骤更加清晰、明确，对于知识的掌握也会更加深入。
在应用分类讨论法的过程中，学生可以逐步明确函数的性质，掌握问题的本质。
在具体的应用过程中，教师需以具体的题型为引导，让学生针对性地进行分析与讨论，通过化整为零的方式进行分类，降低问题的难度。
一般情况下，函数f （x ）在区间［a ，b ］上可导，那么f （x ）在区间［a ，b ］上最值的求法有以下三种：（1）求出f （x ）在区间［a ，b ］上的极值；（2）计算f （x ）在极值点和端点的函数值；（3）对f （x ）极值点和端点的函数值进行比较，写出最大值、最小值。
案例一：已知函数f （x ）=x 3-3x ，求函数在区间［-3，2］的最大值和最小值。
解析：由题中f （x ）=x 3-3x 可以得出f ′（x ）=3x 2-3=3（x +1）（x -1），则当x ∈（1，2］时，f （x ）>0，所以［-3，-1］，［1，2］是函数f （x ）的单调增区间，当x ∈［1，1］时，函数f ′（x ）>0，所以可知［-1，1］是函数f （x ）的单调减区间。
又因f （-3）=-18，f （-1）=2，f （1）=-2，当x =-3时，f （x ）取得最小值，为-18，当x =-1或者2时，f （x ）取得最大值，为2。
二、解决导数零点问题导数是学习高等数学知识的基础，以导数为基础的各种函数问题成为重点学习的内容。
在求解导数题目的过程中我们发现，题目中常包含多种参数，随着参数的改变，解题的难度也会增加，所以通过分类讨论的方式进行答题非常关键。
探析导数在高中数学中的应用
导数 的学 习 ， 掌握其 基本 定 义和 原理 ， 能 够帮 助我 们解 决 多种 ｆ ＊ － ｌ ￣ 。本 文 通过 实例 说 明导 数的 具体作 用 ， 希 望能 够在 导数 的 学习和使 用 中起 到一 定作 用 ， 能 够让 学生 充分认 识到 导数 的重要 性和便 捷 性 。 关 键词 ： 高中数 学 ； 导数 ； 函数 ； 应用 中图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３
一
到实际 生活 中 ， 解 决 生活 中 的 问题 ， 为 以后 的学 习和 应 用 打下 坚 来 解决 极值 的 问题 ， 只不 过具 体 使 用 中 发生 灵 活 的 变 动 ， 但 是 最
实 的基 础 。
一
终 离不 开其 本质 和 目的 。下 面是 具体 的解析 过程 ： 解： （ １ ） ，（ ） ＝ ６ ｘ ＋ ６ ａ ｘ ＋ ３ ６ ， 因 为 函数 ， （ ） 在 ＝１ 及 ＝ ２
、
导数在 求 函数单 调性 中 的应用
在 高 中数 学 的学 习中 ， 我 们经 常会 遇 到判 断 某一 个 函 数单 调
性或者要求分析函数的单调区间问题 ， 通常我们是根据 函数的特 性， 画 出其 图形 来求 解 ， 但 是 过 程 比较 复杂 ， 学生也不容易掌握，
给教 学带 来 困难 。但 是 随着导 数在 高 中数 学 中的 出现 和应 用 ， 我
语 数外学 习
Ｎ０ ． ｏ ５ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ
Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ５期
探 析 导 数在 高 中 数 学 中的应 用
常利 军
（ 山南地 区第二 高级 中学， 西藏 山南 ８ ５ ６ ０ ０ ０ ）
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导数在高中数学中的应用探讨
摘要：导数是数学发展史中一项重要的发明，在几何之后一个具有跨时代意义的伟大研究，也被称为数学史中的里程碑。
本文主要分析高中数学中导数的应用，阐述根据导数知识对高中数学问题研究的方法。
关键词：导数高中数学应用
高中数学的应用及其广泛，导数也从以往辅助地位提升到分析和解决问题中不可缺少的功能。
导数是高中数学中的重点内容，也是对函数性质的总结与扩展，并且导数运用可以解决生活中常见的很多问题。
导数在高考当中逐渐成为热点，根据导数解决实际问题，主要可以培养学生建模、总结、反思等能力。
以下针对导数在高中数学中的应用进行探讨[1]。
一、导数的含义
1.导数的基本概念
导数是微积分中的重要基础概念，也是函数的局部性质，当一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点的变化率，如果函数的自变量和取值都是实数，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表曲线
在这一点上地切线斜率。
导数的本质就是通过基础概念对函数进行局部线性逼近。
但是，不是所有的函数都有导数，一个函数中也不一定所有的点都有导数，假如某一个函数在某一点中有导数存在，可称其为这一点可导，否则称为不可导。
可导的函数一定是连续的，不连续的函数一定不可导。
微积分基本定理表明求原函数与积分是等比的，求导和积分是一对互逆的状态，都是微积分学当中最基础的概念。
2.导数与函数的性质
导数与函数的性质可分为单调性和凹凸性，若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数与零相同则为函数驻点，不一定为极值点，需带入驻点左右两边的数值求导数正负判断是否具有单调性[2]。
若已知函数为递增函数，那么导数大于等于零，如果已知函数为递减函数，导数则小于等于零。
当变化时函数的切线变化，函数的导数值就是切线斜率；可导函数的凹凸性与导数的单调性相关，当函?档牡己?数在某一个区间上单调递增，这个函数区间是向下凹，反之为向上凸。
当二阶导函数存在时，可用正负性进行判断，在某一区间大于零，这个区间的函数是向下凹，反之区间函数向上凸，曲线的凹凸分界点称作为曲线的拐点。
二、导数的计算与求导法则
复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，也可以成为链式法则，变限积分的求导法则为：
a（x），b（x）为子函数。
在高中数学当中应用导数，不仅可以提高学生的思维开拓，还能促进学生扩展创新的能力，导数的计算就是，计算已知函数的导函数，可以根据导数的定义运用变化值的极限进行计算，在实际学习计算过程中，很多常见的解析函数都可以当做简单函数的和、差、积或者相互复合的结果，只有对简单函数的导函数进行整体掌握，才能根据导数求导法则推算复杂函数的导函数[3]。
导数的求导法则是由基本函数的和、差、积或者相互复合构成函数的导函数，通过函数的求导法则来对导数的求导法则进行推导，基本法则主要分为四种方式：一是求导的线性。
函数的线性组合求导，相当于对其中各个部分求导后在进行线性组合；二是两个函数乘积的导函数。
一导乘二+一乘二导；三是两个函数商的导函数是一个分式。
子导乘母-子乘母导，除以母平方；四是当有复合函数时，用链式法则进行求解。
三、导数在高中数学中的具体应用
1.导数在不等式证明问题中的应用
在高中数学学习过程当中，不等式证明是高中数学中的一个难点，也是综合性较强的一个知识点，对学生的思维能力要求很高，很多数学问题采用常规方法难以得到证明结果，就需要根据高中数学，新增内容导数进行解决问题[4]。
在教学中运用导数概念，对不等式进行问题解析，能够引导学生更快的完成问题内容，将不等式与函数进行相互结合，利用导数的相关内容，可以快速解决问题。
比如设函数：
2
2
'
当时，'当时，'所以在（0，1）上递增（1，+∞）上递减，而g（1）=0，所以时，即。
因此，采用导数对不等式进行证明，需要创造新的函数，根据新函数的最值解决不等式证明问题。
2.导数在求解函数极值、最值中的应用
采用函数对极值进行求解，主要包含四种内容，一是根据导数的概念，求解出导数的数值；二是确定函数的定义，分析出函数的值处在什么范围；三是参照导数公式'，对导数的全部实根进行求解；四是观察'根的状况，比如根的两侧符号出现变化，左正右负，
则说明的根是极大值，反之左负右正，的根是极小值，可根据这两种状态进行判断。
3.根据导数意义确立函数解析式
在函数当中求解函数解析式，可以对函数的性质进行更好的研究，在函数的应用当中，函数性质的研究对函数解析可以起到更好的作用[5]。
比如，已知函数原状态是32，此函数坐标图像在轴具有交点，称A，根据图像画图可以掌握，该函数在A点交点的切线方程是。
已知的点在时可以获取极值，根据已知的条件，列出函数相对应的解析式。
解题：根据题目中已知的条件，可以了解到函数
32当中轴相交的点为A，因此A点的坐标可以得出（0，），曲线A点的切线方程在题目中提到为。
A 点满足函数条件，可得，切线斜率为，那么在中的导数可以求出’lx=0=15，根据函数原型进行求解，可以得出’2’lx=0=c，根据这两个公式可以对函数参数C 进行求解为c=15，如题中已知条件，函数在时可以求出0为极值，根据上诉分析，可列出方程组进行求解：方程组解出的数值为，，
将，，c=15带入进原函数内
函数解析式可以求出3b2+。
结语
导数在高中数学当中的应用，是高中数学最有力的工具，不仅能够提高学生解决问题的能力，还能体现数学中的中心思想，对于实际问题的解决办法，导数提供了有效的作用。
导数在理解教学过程当中具有一定的难度，教师应当在教学过程当中，将实例与导数相互结合，充分进行问题解析，不断对导数在高中数学的应用进行研究探讨，只有这样才能够使学生更深刻掌握导数概念，为以后的深入数学学习奠定坚实基础，
参考文献
[1]邓晗阳.导数在高中数学解题中的应用探讨[J].科学大众（科学教育），2016（12）：27.
[2]程慧.导数知识在高中数学学习中的应用探讨[J].速读（上旬），2017（9）：141.
[3]刘金球.高中数学例题解答中导数的应用探讨[J].中学生数理化（学研版），2016（2）：33-34.
[4]周海锋.高中数学导数教学的再思考[J].教师，2015（32）：43.
[5]马僖泽.关于高中数学导数教学有效性探微[J].新教育时代电子杂志（教师版），2016（38）：97.。