高中数学导数及其应用电子教案
高二数学导数的应用教案
高二数学导数的应用教案
教学目标：
1. 理解导数的概念和性质；
2. 掌握导数的计算方法；
3. 熟练应用导数解决实际问题。
教学步骤：
一、导入（10分钟）
1. 引入导数的概念，与学生讨论导数的意义和应用；
2. 提出今天的学习目标：掌握导数的计算方法，并能够在实际问题中灵活应用。
二、理论讲解与示范（15分钟）
1. 介绍导数的定义：函数在某一点的切线斜率；
2. 解释导数的符号表示和计算方法，如使用极限的概念计算导数；
3. 给出一些导数计算的例题，并详细讲解解题思路和步骤。
三、练习与巩固（20分钟）
1. 给学生分发练习题，并要求他们独立完成；
2. 针对练习题中的难点和疑惑，进行答疑和解释；
3. 鼓励学生互相交流和讨论，加深对导数的理解和应用。
四、拓展应用（15分钟）
1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用；
2. 分组讨论，找到不同领域中可以使用导数解决的问题，并汇报给全班；
3. 提出一些挑战性的导数应用问题，激发学生的思维和创造力。
五、综合评价（10分钟）
1. 进行简单的导数应用综合评价；
2. 针对学生的表现，给予及时的反馈和指导；
3. 总结本节课的重点内容和学习方法。
总结：
通过本节课的学习，学生应该对导数的概念和应用有了更深入的理解，能够熟练计算导数，并能够应用导数解决实际问题。
在后续的学习中，我们将进一步拓展导数的应用领域，并提高解题的灵活性和创造性。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数应用问题教案
高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。
教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。
教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。
教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。
二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。
三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。
四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。
五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。
希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。
导数及其应用教案
课题：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
高中数学导数及其应用教案
高中数学导数及其应用教案教学目标：1. 理解导数的定义和性质，能够计算常见函数的导数。
2. 掌握导数在函数求极限、判定函数的增减性和凹凸性等方面的应用。
3. 能够解决实际问题中的优化和相关性问题。
教学内容：1. 导数的定义和性质2. 基本函数的导数3. 高阶导数4. 函数的导数应用：求极限、判定增减性和凹凸性5. 优化问题和相关性问题的求解教学流程：1. 导数的定义和基本性质的介绍（15分钟）- 导数的定义- 导数的性质：线性性、乘积法则、商法则、链式法则2. 基本函数的导数计算（20分钟）- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数计算- 三角函数的导数计算3. 高阶导数和导数的应用（25分钟）- 高阶导数的定义和计算- 导数在函数的极限、增减性和凹凸性判定中的应用4. 优化问题和相关性问题的解决（20分钟）- 优化问题的定义和解决方法- 相关性问题的建模和解决方法教学方法：1. 讲解导数的定义和性质，引导学生理解概念并掌握基本计算方法。
2. 练习基本函数的导数计算，帮助学生巩固知识。
3. 引导学生理解高阶导数和导数在函数中的应用，培养学生应用知识解决问题的能力。
4. 练习优化问题和相关性问题，让学生通过实际问题感受导数在解决问题中的作用。
教学评估：1. 布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力。
2. 定期组织小测验，检验学生对导数相关知识的掌握程度。
3. 课堂中提问和讨论，评估学生对导数的理解程度。
教学资源：1. PowerPoint课件：导数的定义和基本性质、基本函数的导数计算、高阶导数和导数的应用、优化问题和相关性问题的解决。
2. 习题册：导数相关习题，巩固学生对导数的掌握。
教学反思与总结：教师在教学导数及其应用过程中，要注意引导学生理解概念、掌握计算方法，并注重培养学生的问题解决能力。
通过多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
及时总结分析教学过程中出现的问题和不足，不断完善教学内容和方法，提升教学质量。
导数及其应用教案设计
导数及其应用教案设计一、教学目标1.理解导数的定义和概念；2.掌握导数的计算方法；3.了解导数的几何意义和物理意义；4.应用导数解决实际问题。
二、教学重点1.导数的定义和概念；2.导数的计算方法。
三、教学难点1.导数的几何意义和物理意义；2.导数在实际问题中的应用。
四、教学准备1.教学课件；2.教学工具：黑板、彩色笔；3.教学素材：与导数相关的题目和实例。
五、教学过程Step 1 引入导数的概念（10分钟）1.引入问题：小明从家里出发骑自行车到学校，经历了不同的路段，那么他在每个路段上的速度是多少呢？2.学生思考问题，并提出速度的定义。
3.介绍导数的概念：导数是研究函数变化率的工具，它描述了一个函数在其中一点附近的变化速率。
Step 2 导数的计算方法（20分钟）1. 导数的定义：设函数y=f(x)，当x在x0处有极限存在，那么函数f(x)在x0处的导数定义为：f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。
2.通过例题演示如何计算导数。
3.引入常见导数的计算法则，如幂函数、反函数、指数函数等。
Step 3 导数的几何意义和物理意义（15分钟）1.导数的几何意义：表示函数在其中一点处的切线斜率。
2.通过例题演示导数的几何意义。
3.导数的物理意义：表示物体运动的速度或速度的变化率。
4.通过例题演示导数的物理意义。
Step 4 导数在实际问题中的应用（25分钟）1.介绍导数在实际问题中的应用，如最大值最小值问题、函数的图像判断等。
2.通过例题演示导数在实际问题中的应用。
3.引入微分的概念，并介绍微分的定义和计算方法。
Step 5 拓展与巩固（20分钟）1.指导学生通过课堂练习和课后作业巩固所学知识。
2.引导学生从日常生活中发现和应用导数的问题。
六、教学反思通过引入问题、讲解定义、演示例题等方式，让学生逐步理解导数的概念和计算方法。
在讲解导数的几何意义和物理意义时，通过具体示例，帮助学生更好地理解和应用导数。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
高中数学教案函数的导数与应用
高中数学教案函数的导数与应用高中数学教案：函数的导数与应用导数是数学中一个重要的概念，它在函数研究和应用问题中起着关键的作用。
本教案将介绍函数的导数的概念、求导法则以及导数在各种实际应用中的具体运用。
一、函数的导数的概念及求导法则1.1 函数的导数概念函数的导数描述了函数在某一点的变化率，可用以下定义来表达：对于函数f(x)，当自变量x在某点a处有极小的增量Δx时，相应的函数增量为Δf(x)。
如果当Δx趋近于0时，函数增量Δf(x)与Δx之比的极限存在，那么这个极限就是函数f(x)在点a处的导数。
导数用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
1.2 常见函数的导数求法在实际应用中，我们常常需要对各种函数进行求导。
以下是一些常见函数的导数求法：1.2.1 常数函数的导数对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
1.2.2 幂函数的导数对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
1.2.3 指数函数的导数对于指数函数y = a^x，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = a^x·ln(a)。
1.2.4 对数函数的导数对于对数函数y = logₐ(x)，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = 1/（x·ln(a)）。
1.2.5 三角函数的导数对于三角函数，常见的导数求法如下：- 正弦函数的导数：dy/dx = cos(x)- 余弦函数的导数：dy/dx = -sin(x)- 正切函数的导数：dy/dx = sec^2(x)- 余切函数的导数：dy/dx = -csc^2(x)二、导数在函数研究中的应用2.1 函数的单调性与极值导数可以帮助我们研究函数的单调性与极值。
当函数的导数为正时，函数递增；当函数的导数为负时，函数递减。
函数的极值出现在导数为0的点或者导数不存在的点上。
2.2 函数的凹凸性与拐点导数还可以帮助我们研究函数的凹凸性与拐点。
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高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。
如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。
（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。
认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。
（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
（2）导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。
事实上，若函数在点处可导，则有此时，记 ,则有即在点处连续。
（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。
反例：在点处连续，但在点处无导数。
事实上，在点处的增量当时，，；当时，，由此可知，不存在，故在点处不可导。
2、求导公式与求导运算法则（1）基本函数的导数（求导公式）公式1 常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。
公式2 幂函数的导数：。
公式3 正弦函数的导数：。
公式4 余弦函数的导数：公式5 对数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）公式6 指数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）。
（2）可导函数四则运算的求导法则设为可导函数，则有法则1 ；法则2 ；法则3 。
3、复合函数的导数（1）复合函数的求导法则设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，即。
引申：设，复合成函数，则有（2）认知（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。
于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。
二、导数的应用1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。
（2）利用导数求函数单调性的步骤（Ⅰ）确定函数的定义域；（Ⅱ）求导数；（Ⅲ）令，解出相应的x的范围当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。
（3）强调与认知（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。
若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x 的取值范围为B，则应用；（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。
因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。
举例：（1）是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。
（2）在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。
2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。
极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。
（2）函数的极值的判定设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。
（3）探求函数极值的步骤：（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则在这一点取得极大值，若左负右正，则在这一点取得极小值。
3、函数的最大值与最小值（1）定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。
认知：（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。
（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。
（Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。
（2）探求步骤：设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（ I ）求在内的极值；（ II ）求在定义区间端点处的函数值，；（ III ）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。
引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。
对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（ I ）求出的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（ II ）计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。
（3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。
四、经典例题例1、设函数在点处可导，且，试求（1）；（2）；（3）；（4）（为常数）。
解：注意到当）（1）；（2）=A+A=2A（3）令，则当时，∴（4）点评：注意的本质，在这一定义中，自变量x在处的增量的形式是多种多样的，但是，不论选择哪一种形式，相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。
若自变量x在处的增量为，则相应的，于是有；若令，则又有例2、（1）已知，求；（2）已知，求解：（1）令，则，且当时，。
注意到这里∴（2）∵∴①注意到，∴由已知得②∴由①、②得例3、求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）（2），∴（3），∴（4），∴（5），∴（6）∴当时，；∴当时，∴即。
点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。
例4、在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。
解：（1）∴当时，取得最小值-13又当时，∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为且有①∴将代入的解析式得，∴点坐标为方程的解∴注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。
例5、已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。
证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为，则有，，∴，∴，∴，∴于是，对于有；①对于，有②∴由①得，由②得∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，∴两曲线在公共点处的切线重合∴两曲线在公共点处相切。
例6、（1）是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；（2）若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。
解：（1）由题意，当时，当x∈(2,+∞) 时，∴由函数的连续性可知，即整理得解得或验证：（Ⅰ）当时，∴若，则；若，则，符合题意；（Ⅱ）当时，，显然不合题意。
于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。
（2）若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则并且当时，；当时，∴综合可知，当时，恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于（1），由已知条件得，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。
例7、已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值。
解：（1），令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根，故有∴，即①∴又∵仅当时取得极值，∴方程的根只有或，∴方程无实根，∴即而当时，恒成立，∴的正负情况只取决于的取值情况当x 变化时，与的变化情况如下表：(1，+∞)1+ 0 —0 +极大值极小值∴在处取得极大值，在处取得极小值。
由题意得整理得②于是将①，②联立，解得（2）由（1）知，点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系。
例8、（1）已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；（2）设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。