第8章(1)_有限字长滤波器设计

2. 与误差有关的因素：
• 系统中数的表示方式 原码 二进制表数 补码 反码 • 数的处理方式： 相加时的上溢 相乘时的下溢 舍入 截尾 浮点
定点：快速、经济；常用于专用机
• 滤波器的实现方式：IIR、FIR、FFT的各种不同实现方式； • 信号形式：规则信号、随机信号 3. 分析方法： 非线性模型
16位整数定点表示滤波器系数的 2阶级（串）联实现幅度响应
5. FIR滤波器运算量化噪声：
• 对线性相位FIR滤波器的运算量化噪声； • 如果用级联形式实现，则希望是每个噪声源到输出端的
转移函数的频率特性比较平坦，没有很高的峰值增益；
28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度
28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度 未量化时通带和组带衰减（通带逼近1的误差， 阻带逼近0的误差）
k 0
=E [ h(k )e(n k ) h(l )e(n m l )]
l 0

2 e
h( k ) h( m k )
k 0

h(n)的自相关函数
8.4 数字系统运算量化噪声的直观分析 数字系统的量化效应： ⑴ 系数量化效应：造成零、极点位置移动和频响变化；
⑵ 运算过程中的量化效应：相加形成溢出；
∴ 舍入量化误差范围：
• 负数x ＜ 0补码情况：
1 1 eR ≤ q＜ q 2 2
x=1△b1 b2… bB bB+1 bB+2… bB1
B i 1
[ x]Q= (1 b i 2 i )
同样可以证明 ：舍入处理量化误差范围：
1 1 ＜ eR= [x]Q-x ≤ q q 2 2
i 1
eR=[x]Q－x= b i 2 i b B 1 2 ( B 1) b i 2 i
=
B1
iB 2
bi 2
i
1 2 B 2 B1 = ≈ 2
1 q 2
同样： 若 bB+1=1, bB+2=bB+2 =…= bB1=0,
σ2 f(n)方差： f =E[(f(n)-mf)2]
1 2 = e 2j
mf=0
=
E[f2(n)]= σ
1
2 e
n 0
h 2 (n )

H ( z)H ( z
2 1 2 1 H ( e j ) d ) dz e 2 z

f(n)的自相关函数： Φff(m)=E[f(n)f(n+m)]
=(1 b i 2 i ) (1 b i 2 i ) b i 2 i (2 B 2 B1 )
≈-2-B=－q＜0
i 1 i 1 i B 1
B
B1
B1
∴ -2-B=－q＜ eT＜0
截尾处理量化的非线性关系： [x]Q
单位的高增益子系统，放在最 前面，以后按增益逐步递减排 列，这样高增益级不会频频放 大各噪声分量；
• 从信号角度，为防止溢出把低增益级放在前面，以提高
( S ) N
；
12阶IIR滤波器的（椭圆）频率响应的幅度
未量化时通带带内频率响应
16位整数定点表示滤波器系数的直接实现幅度响应
16位整数定点表示滤波器系数的 2阶并联实现幅度响应
6
4
2
2q -2q -q q q -q -2q P(eT) 1/q -q 0
4
0
2q
x
-2
-4
eT
6
-6 -6
-4
-2
0
2
2)定点表数、舍入处理量化误差： eR= [x]Q-x • 正数x＞0情况：
B
x=0△b1 b2… bB bB+1 bB+2… bB1 产生最大误差
B1 i 1
若 bB+1=0, bB+2=bB+2 =…= bB1=1,

0≤x＜1
－1 ≤x＜0
x X m (b 0 b i 2 i ) , －Xm≤x ≤ Xm
i 1
b0符号位
b0＝0 b0 =1
x＞0 x＜0 ， bi为0或1
Xm：确定x表数范围， 若系统用纯小数运算，则： Xm=1； • 有限位寄存储器数的表示：寄存储器为 B+1 位,经量化
5. 定点补码表数下溢处理量化误差分析：
• 量化误差定义： e=[x]Q-x 1)定点表数、截尾处理量化误差： eT= [x]Q-x
• 正数x＞0情况：
x=0△b1 b2… bB bB+1 bB+2… bB1
若： bB+1 =bB+2 =bB+3=… =0，则有 [x]Q=x ， eT= [eT]min=[x]Q-x =0
(e(n )
1 2B = 2 12
1 1q 2 1 2 m e ) p(e)de 21 e de q q q 12
2 2
舍入处理的自协方差序列
Cov ee (n ) γ ee (n ) E[(e(m) m e )(e(n m) m e )] E[e(m)e(n m)]
Bห้องสมุดไป่ตู้
[ x ]Q b 0 b i 2
i 1
i
[ x ] Q ≤1－2－B，其中最小量化间隔：q= 2－B
3. 补码相加运算及其特性 • 补码加法：f(x)= x1+x2=＜x1＞2+ ＜x2＞2= ＜x1+ x2 ＞2
∴ x 1 x 2 ＜1
若符号位有进位，则舍弃
• 补码加法的两个重要特性： ① f(x)是x的周期性函数，周期为2； ② 如果补码运算总和不溢出，则中间结果有溢出，不会影
31 30 23 22 0
S
c
8 bit
M
23 bit
• 成组浮点：按运算要求把数分成若干组（例如FFT中，每 级作为一组），每组数中最大数的阶码c，作 为该组数的共同阶码，用这单一阶码做运算；
特点：运算简单，同时有一定的精度。
2. 补码表数：又称“二的求补” • 补码定义：
[ x ]补
其真值为
x 2 x
统计分析模型
8.2 二进制数的表示及量化误差
1. 定点及浮点表数
x=2c×M • 定点表数：c=常数 特点：运算方便，实现简单，快速，经济；动态范围小； • 浮点表数：c随时调整，而且把尾数M的最高位调整为1，
1 称为规格化表示，2
≤ M ＜1
特点：动态范围大，但运算复杂，设备量大，速度慢； IEEE 754—1985标准定义的单精度浮点格式
S 上式表明：字长每增加一位， N o
dB
dB
提高6dB
3. A/D量化噪声通过线性系统 [x(n)]Q x(n) h(n) e(n)
[y(n)]Q=y(n)+f(n)
设线性系统具有无限精度，
y(n ) x (n )
m 0
h(n) =[x(n)+e(n)]
响结果的正确性；
表示为：f[f[f…f[f[x1]+x2] …]+xN]=f[x1+x2 +…+xN] • 相加溢出处理（上溢，overflow） ① 饱和(saturation)处理 ② 环绕（wrap）处理
4. 补码相乘运算
• 相乘由于字长加长引起下溢，处理方法
截尾(Truncation) 舍入(Round--off)
28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度 16位量化时通带和组带衰减（直接实现）
28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度 14位量化时通带和组带衰减（直接实现）
28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度 13位量化时通带和组带衰减（直接实现）
28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度 8位量化时通带和组带衰减（直接实现）
bB+1 =bB+2 =bB+3=… =1，则有 eT=[eT]max =[x]Q-x＜ 0
[eT]max =[x]Q-x= b i 2 b i 2 b i 2 i (2 B 2 B1 )
i i B B1 B1
≈-2-B=－q＜0
i 1
统计分析模型：
取样器 x(n)

e(n)
[ x(n)]Q=x(n)+e(n)
•e(n)经常被看作量化误差，又被称为量化噪声，它的性质
如前面所述，对定点运算e(n)具有加性噪声性质； • A/D统计分析模型经常用来估计A/D所需的位数； 2. A/D变换输出（S/N）的计算
σx S ) 6.02 B 10 .79 10 lg(σ x ) 10 lg( 2 1 / 12 q N o
第8章 数字系统的有限字长效应
8.1 引言 1. 引起有限字长的误差源： • A/D变换的量化误差； • 用有限精度的数表示系统各系数引起的量化误差； • 在运算时为限制数位扩展而进行的尾数处理(舍入或 截尾)及防止溢出而压缩信号电平所产生的量化误差； • 溢出振荡产生的误差； • 固定信号输入时产生的极限环振荡带来的误差；
量化后零点变化大，导至滤波器阻带性能变环；
4 .串联系统运算量化噪声概述： .串联系统运算量化噪声和组成系统的二阶子系统本身的 零 、极点组合及二阶子系统前后组合有关；
• 串联系统运算量化噪声模型；
• 构成二阶子系统本身的零、极点组合以就近搭配为原则， 使频响比较平坦；
• 从运算量化噪声角度。把临近
N 1 2 Lim e(m)e(n m) σ eδ (n ) N 2 N 1 m N
8.3 A/D变换中的量化误差 1. A/D变换的物理模型 非线性分析模型：