【走向高考】高考数学总复习 1-6 对数与对数函数课后作业 新人教A版

"【走向高考】2013年高考数学总复习 1-6 对数与对数函数课后作业 新人教A 版 "1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1≤x <04x 0≤x ≤1，则f (log 43)＝( )A.13 B.43 C ．3 D ．4[答案] C[解析] ∵0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.2．(文)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2B ．ln(ln2)C ．ln 2D ．ln2[答案] D[解析] 由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此，ln(ln2)肯定是最小的一个；由于ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.(理)(2011·重庆文，6)设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 343，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] B[解析] ∵a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，∵log 13x 单调递减而12<23∴a >b 且a >0，b >0，又c <0.故c <b <a .3．(2010·上海大同中学模考)如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点，那么称这个点为“世博点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，“世博点”的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] ∵指数函数与同底的对数函数的图象关于直线y ＝x 对称，故若它们有交点，则交点一定在直线y ＝x 上，而M (1,1)不适合题意，故只有点Q 满足题意．4．(文)函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x－log 2x x，故选A.[点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A.(理)函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )[答案] B[解析] f (x )＝ln|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x >1－xx <1，∵x ≠1排除A ，又x >1时，f (x )为增函数，排除C 、D.5．(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．解法二：令x ＝0得y ＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C 、D ；又令x ＝－1得y ＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B ，故选A.6．函数y ＝log 12 (x 2－5x ＋6)的单调增区间为( ) A ．(52，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] 由x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2，由s ＝x 2－5x ＋6＝(x －52)2－14知s ＝x 2－5x ＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y ＝log 12 (x 2－5x＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.7．(文)函数y ＝log 23－x2的定义域为________．[答案] {x |1≤x <2或－2<x ≤－1}[解析] 要使函数有意义，应满足log 23 (2－x 2)≥0，∵y ＝log 23 x 为减函数，∴0<2－x 2≤1，∴1≤x 2<2，∴1≤x <2或－2<x ≤－1. (理)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1的定义域是________． [答案] (－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 要使f (x )有意义，应有1＋1x －1>0， ∴x x －1>0，∴x <0或x >1.8．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.1.(2010·合肥质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2xx2x ＋x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] f (x )＝2x ＋1(x ≤0)有一个零点x ＝－12，而f (x )＝ln x －x 2＋2x (x >0)的零点可以借助于y 1＝ln x (x >0)与y 2＝x 2－2x (x >0)的图象来确定，它们的图象有两个交点，选D.2．设正数x 、y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．(0,6]B ．[6，＋∞)C ．[1＋7，＋∞)D ．(0,1＋7][答案] B[解析] ∵log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＋3＝xy . 由x 、y ∈R ＋知xy ≤(x ＋y2)2，∴x ＋y ＋3≤(x ＋y2)2.令x ＋y ＝A ，∴A ＋3≤A 24，∴A ≥6或A ≤－2(舍去)，故选B.3．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [答案] C [解析] 由y ＝lgx ＋310得到y ＝lg(x ＋3)－1，由y ＝lg x 图象上所有点向左平移3个单位，得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再向下平移一个单位得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．故选C.4．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[答案] C[解析] 当a >0时，由f (a )>f (－a )得：log 2a >log 12a ，即log 2a >log 21a ，即a >1a，解得a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得：log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－1a)>log 2(－a )，即－1a>－a ，解得－1<a <0，故选C.(理)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2012x＋log 2012x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5[答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2012x＝－log 2012x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2012x，f 2(x )＝－log 2012x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.5．(文)(2011·湖北重点中学联考)已知实数a 、b 满足等式log 12 a ＝log 13 b ，有下列四个关系式：①0<a <b <1；②b >a >1；③a ＝b ；④0<a <1<b .其中不可能成立的关系式是________．[答案] ①④[解析] 在同一直角坐标系中作出y ＝log 12 x 和y ＝log 13 x 的图象，通过图象分析，可知成立的关系式有(ⅰ)0<b <a <1；(ⅱ)b ＝a ＝1；(ⅲ)1<a <b .由此可知①④不可能成立．(理)(2011·荆州二检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________． [答案] 8[解析] ∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，于是1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥8.等号在n ＝12，m ＝14时成立．6．(文)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [解析] (1)由a x－1>0，得a x >1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧；当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<a x1<a x2，∴0<a x1－1<a x2－1，即a x 2－1a x 1－1>1.∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (a x2－1)－log a (a x1－1)＝log aa x 2－1a x 1－1>0.直线AB 的斜率k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1>0.②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得，a x 1>a x 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0.同上可得k AB >0.(理)(2010·石狮质检)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．7．(文)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域为{x |－3<x <1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}， 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得a ＝12.(理)已知函数f (x )＝log 12 2－axx －1(a 是常数且a <2)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)∵2－axx －1>0，∴(ax －2)(x －1)<0， ①当a <0时，函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)； ②当a ＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0<a <2时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫1，2a .(2)∵f (x )在(2,4)上是增函数，∴只要使2－ax x －1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g (x )＝2－axx －1， 1°当a ＝0时，g (x )＝2x －1在(2,4)递减，且g (4)>0满足题意； 2°当a ≠0时，显然a ≠2，解法一：g ′(x )＝－ax －－－axx －2＝a －2x －2，∴当a －2<0，即a <2时，g ′(x )≤0. ①a <0时，g (4)>0满足题意； ②0<a <2时，必有2a ≥4，∴0<a ≤12.综上所述，a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：∵g (x )＝2－ax x －1＝－a ＋2－ax －1，∴要使g (x )＝－a ＋2－ax ＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a >0，∴a <2， 以下步骤同解法一．1．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x i >0(i ＝1,2，…，2011)，f (x 1·x 2·x 3·…·x 2011)＝50，则f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22011)的值等于( )A ．2500B ．50C ．100D ．log a 50[答案] C[分析] 根据对数的运算性质，log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M 2＝2log a M (M >0，N >0)求解．[解析] 由f (x 1·x 2·x 3·…·x 2011)＝50得，log a x 1＋log a x 2＋…＋log a x 2011＝50而f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22011)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22011＝2(log a x 1＋log a x 2＋…log a x 2011)＝2×50＝100，故选C.2．已知函数y ＝f (x )满足：①对任意实数x ，有f (2＋x )＝f (2－x )；②对任意2≤x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0.则a ＝f (2log 24)，b ＝f (log 124)，c ＝f (1)的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )＝f (4－x )， ∴b ＝f (log 12 4)＝f (－2)＝f (6)，c ＝f (1)＝f (3)，a ＝f (2log 24)＝f (4)．又对任意2≤x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，∴f (x )在[2，＋∞)上为增函数， ∴f (3)<f (4)<f (6)，即c <a <b .3．(2010·广东佛山顺德区质检)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx x >0gx x <0是偶函数，f (x )＝log a x对应的图象如下图所示，则g (x )＝( )A ．2xB ．log 12 (－x )C ．log 2(－x )D ．－log 2(－x ) [答案] C[解析] ∵f (x )＝log a x 的图象过点(2,1)，∴log a 2＝1，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x ，设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x x >0gx x <0，当x <0时，－x >0，∴h (－x )＝f (－x )＝log 2(－x )，又h (x )为偶函数，∴h (－x )＝h (x )，∴当x <0时，h (x )＝log 2(－x )，即g (x )＝log 2(－x )．4．已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是( ) A ．13 B ．16 C ．18 D ．22[答案] A[解析] y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤91≤x 2≤9，即x ∈[1,3]．若令t ＝log 3x ，则t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3， ∴当t ＝1时，y 取得最大值13，故选A.5．已知函数f (x )＝log m (x ＋1)，且m >1，a >b >c >0，则f a a ，f b b ，f cc的大小关系是( )A.f a a >f b b >f cc B.f c c >f b b >f aaC.f b b >f c c >f aaD.f a a >f c c >f bb[答案] B[解析] 本题考查数形结合思想，f x x可以转化成f (x )上的点与原点连线的斜率，据函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))，显然k OA <k OB <k OC ， ∴f a a ＜f b b ＜f c c，故选B 6．(2010·合肥质检)函数f (x )＝ln1－x 1＋x 的图象只可能是( )[答案] A[解析] 本题用排除法，注意到本题中f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，从而排除B 、C 选项．又由u (x )＝－1＋21＋x在定义域{x |－1<x <1}内是减函数，而g (x )＝ln x 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21＋x 在定义域{x |－1<x <1}内是减函数．故选A. 7．已知函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则( )A ．0<a <12或1<a <2 B ．0<a <12或a >2 C.12<a <1或1<a <2 D.12<a <1或a >2 [答案] C[解析] ①若a >1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，且当x ≥2时，f (x )>0. 由|f (x )|>1得f (x )>1，即log a x >1. ∵当x ∈[2，＋∞)时，log a x >1恒成立， ∴log a 2>1，∴log a 2>log a a ，∴1<a <2. ②若0<a <1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是减函数．同理可得12<a <1. [点评] 用数形结合法解更简便些．。