高中数学第二章函数2.2.1一次函数的性质与图象学业分层测评新人教B版必修72

一次函数的性质与图象
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题 1．若函数y ＝ax 2
＋x
b －1
＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( )
A.⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1
B.⎩⎪⎨
⎪⎧ a ＝0，
b ＝1
C.⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝2
D.⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2
【解析】 若函数为一次函数，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b －1＝1，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0.
b ＝2.
【答案】 C
2．一个水池有水60 m 3
，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3
，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( )
A ．Q ＝60－3t
B ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)
C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)
D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20)
【解析】 ∵每小时的排水量为3 m 3
，t 小时后的排水量为3t m 3
，故水池中剩余水量Q ＝60－3t ，且0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.
【答案】 B
3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )
【解析】 对于A ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a >0，y 1和y 2中的a 、b 符号分别相同，
故正确；
对于B ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a >0，故不正确； 对于C ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a <0，故不正确； 对于D ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a <0，故不正确． 【答案】 A
4．过点A (－1,2)作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
【解析】 当直线在两个坐标轴上的截距都为0时，点A 与坐标原点的连线符合题意，当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，只有当直线斜率为－1时符合，这样的直线只有一条，因此共2条．
【答案】 B
5．已知一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不经过第三象限，化简a 2
－4a ＋4＋a 2
－6a ＋9的结果是( )
A ．2a －5
B ．5－2a
C ．1
D ．5
【解析】 ∵一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不过第三象限，∴a －2<0，∴a <2. ∴a 2
－4a ＋4＋a 2
－6a ＋9＝|a －2|＋|a －3| ＝(2－a )＋(3－a ) ＝5－2a . 故选B. 【答案】 B 二、填空题
6．一次函数f (x )＝(1－m )x ＋2m ＋3在[－2,2]上总取正值，则m 的取值范围是________.
【导学号：97512020】
【解析】 对于一次函数不论是增函数还是减函数，要使函数值在[－2,2]上总取正值，只需⎩⎪⎨
⎪⎧
f －，
f
即⎩⎪⎨⎪⎧
2m －2＋2m ＋3>0，2－2m ＋2m ＋3>0.
解之，得m >－14
.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞
7．已知函数y ＝x ＋m 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25，则m ＝________. 【解析】 函数与两坐标轴的交点为(0，m )，(－m,0)， 则S △＝12m 2
＝25，
∴m ＝±5 2. 【答案】 ±5 2
8．已知关于x 的一次函数y ＝(m －1)x －2m ＋3，则当m ∈________时，函数的图象不经过第二象限．
【解析】 函数的图象不过第二象限，如图．
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －1>0，－2m ＋3≤0，得⎩⎪⎨⎪
⎧
m >1，m ≥3
2
，
故m ≥3
2
.
【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ 三、解答题
9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图2­2­2所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．
图2­2­2
【解】 设题图中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，其中y ≥0. 由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
630＝40k ＋b ，
930＝50k ＋b ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝30，
b ＝－570.
∴函数解析式为y ＝30x －570. 令y ＝0，得30x －570＝0，解得x ＝19. ∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.
10．已知函数y ＝(2m －1)x ＋2－3m ，m 为何值时： (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值y 随x 的增大而减小；
(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上.
【导学号：97512021】
【解】 (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2m －1≠0，
2－3m ＝0；
得⎩⎪⎨⎪⎧
m ≠1
2，m ＝2
3.
即m ＝2
3
；
(2)当2m －1≠0时，函数为一次函数，所以m ≠1
2；
(3)由题意知函数为减函数， 即2m －1<0，所以m <1
2
；
(4)直线y ＝x ＋1与x 轴的交点为(－1,0)，将点的坐标(－1,0)代入函数表达式，得－2m ＋1＋2－3m ＝0，所以m ＝3
5
.
[能力提升]
1．已知kb <0，且不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x >－
b
k ，则函数y ＝kx ＋b 的图象大致是( )
A B C D
【解析】 由kb <0，得k 与b 异号，由不等式kx ＋b >0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x >－
b
k ，知k >0，所以b <0，因此选B.
【答案】 B
2．如图2­2­3所示，在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为(6,4)．若直线l 经过点(1,0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数解析式是( )
【导学号：60210048】
图2­2­3
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝1
3x ＋1
C ．y ＝3x －3
D ．y ＝x －1
【解析】 设D (1,0)，∵直线l 经过点D (1,0)，
且将▱OABC 分割成面积相等的两部分， ∴OD ＝BE ＝1，
∵顶点B 的坐标为(6,4)， ∴E (5,4)，
设直线l 的函数解析式是y ＝kx ＋b ， ∵直线过D (1,0)，E (5,4)，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧ k ＋b ＝0，5k ＋b ＝4，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，b ＝－1.
∴直线l 的解析式为y ＝x －1.故选D. 【答案】 D
3．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．
【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)
当k >0时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
－k ＋b ＝1，
2k ＋b ＝3，
即⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝2
3，b ＝5
3.
∴f (x )＝23x ＋5
3
.
当k <0时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
－k ＋b ＝3，
2k ＋b ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－2
3，b ＝7
3，
∴f (x )＝－23x ＋7
3
.
∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋5
3
或
f (x )＝－2
3
x ＋7
3
.
【答案】 f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋7
3
4．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f (x )的解析式，并求f (x )的最小值．
【解】 在同一坐标系中作出函数y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2的图象，如图所示． 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝－x －4，y ＝－2，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－2，y ＝－2，
即A (－2，－2)．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x －3，y ＝－2，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝－2，
即B (1，－2)．
根据图象，可得函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －4，x <－2，－2，－2≤x ≤1，
x －3，x >1.
由上述过程及图象可知，当－2≤x ≤1时，f (x )均取到最小值－2.。