【全国百强校】重庆市南开中学2016届高三12月月考文数试题解析(解析版)

I 卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.函数sin cos y x x =+最小正周期是( ) A.2πB.πC.2π D.4π 【答案】A考点：三角函数的周期2.已知i )C. D.5【答案】B 【解析】=，故选B.考点：复数的运算3.已知函数y =A ，值域为区间B ，则A C B =( ) A.()1,2B.(]1,2C.()0,1D.(]0,1【答案】B 【解析】试题分析：由题意得A=[0，2]，B=[0，1]，所以(]1,2A C B =，故选B. 考点：函数的定义域；值域；集合的运算 【方法点睛】解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．4.等比数列{}n a 中，0n a >，公比488q a a =⋅=，则267a a a ⋅⋅=( ) A.2B.4C.8D.16【答案】C考点：等比中项的性质5.已知,a b R ∈，且24a b +=3b +的最小值为( )A. B.6 C. D.12【答案】B 【解析】36b+≥=== ，当且仅当a =2,b=1时，等号成立.故选B.考点：均值不等式6.已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma nb +与2a b -共线，则mn=( ) A.12B.2C.12-D.2-【答案】C 【解析】 试题分析：()()12,32,24,1,21280,2,2m ma nb m n m n a b n m m n m n n +=-+-=-∴---=∴=-∴=-，故选C.考点：共线向量的坐标运算7.已知双曲线22219x y b-=的一个焦点在圆22280x y x +--=上，则双曲线的离心率为( )A.43B.53【答案】A考点：双曲线的简单性质8.已知函数()y f x =满足()2'34f x x x =--，则()3y f x =+的单调减区间为( ) A.()4,1- B.()1,4- C.3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由题()2'340,14f x x x x =--<∴-<<，134,41x x ∴-<+<∴-<<，即()3y f x =+的单调减区间为()4,1-，故选A. 考点：利用对数语句函数的单调性9.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A.2-B.2C.5D.7【答案】C 【解析】试题分析：由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S+n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 模拟执行程序框图，01S n ==， ，不满足条件S<0，满足n 为奇数，S=2，n=2；不满足条件S<0，不满足n 为奇数，S=2，n=3； 不满足条件S<0，满足n 为奇数，S=10，n=4； 不满足条件S<0，不满足n 为奇数，S=6，n=5； 不满足条件S<0，满足n 为奇数，S=38，n=6； 不满足条件S<0，不满足n 为奇数，S=-2，n=7； 满足条件S<0，退出循环，输出n+S=7-2=5． 故选：C ． 考点：程序框图10.若,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A.[]6,2- B.()6,2-C.[]3,1-D.()3,1-【答案】B考点：简单的线性规划11.一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积与剩余部分的体积之比为( )A.1:2B.2:3C.4:5D.5:7【答案】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；三视图【方法点睛】1．计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高；2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握；3．求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．12.已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()nSf n =，则41n n S aa --的最小值为( ) A.276B.358C.143D.378【答案】 【解析】试题分析：由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得． 由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a =1或a =-4，考点：等差数列通项公式；基本不等式【方法点睛】利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可． 第Ⅱ卷（共90分）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.从{}1,2,3,4,5,6中任取两个不同的数(),m n m n >，则nm能够约分的概率为 . 【答案】415【解析】试题分析：从{}1,2,3,4,5,6中任取两个不同的数(),m n m n >，基本事件总数2615n C ==，其中nm，能够约分，包含的基本事件有：{4，2}，{6，2}，{6，4}，{6，3}，即m=4， ∴nm 能够约分的概率415p m n ==.考点：古典概型及其概率计算公式14.已知函数()()(),ln ,ln 1x f x x e g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 从大到小的顺序为 . 【答案】c b a ＞＞考点：比较大小15.有一个球心为O ，半径2R =的球，球内有半径r =的截面圆，截面圆心为A ，连接AO 并延长交球面于P 点，以截面为底，P 为顶点，可以做出一个圆锥，则圆锥的体积为 . 【答案】3π 【解析】试题分析：根据已知，先求出球心O 到截面圆心A 的距离d ，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．∵球的半径R =2，截面圆的半径r =故球心O 到截面圆心A 的距离1d ==，则圆锥P 的高3h d R =+= ，故圆锥的体积2133V r h ππ==. 考点：柱锥台体的体积与表面积；球内接多面体 【易错点拨】“切”“接”问题的处理规律 1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径16.经过椭圆22143x y +=的右焦点的直线l ，交抛物线24y x =于A .B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB OC ⋅= . 【答案】-5考点：椭圆的几何性质；直线与圆锥曲线的关系【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．三.解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A .B .C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin sin sin c b A Ba b C-+=-. （1）求角A ；（2）若cos 2B b ==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)3π；. 【解析】试题分析：(1)由题根据所给条件运用正弦定理化简所给条件可得222c bc a b -=-，如何运用余弦定理可得考点：解三角形【方法点睛】解三角形问题，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而解决有关边角的计算问题，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系进行计算．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*233n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的的前n 项和n T .【答案】(1)3nn a =；(2) 1(1)3322n n n n T ++-=+ 【解析】试题分析：(1)由题根据所给条件()*233n n S a n N =-∈，结合数列求和的递推关系不难求解其通项的递推关系1233n n n a a a -=-，进而得到13(2)n n a a n -=≥ ；(2)结合(1)可得n n n n n a a b 3log 3+=+=，如何运用分组求和的方法不难得到数列的和.考点：等比数列通项公式及其前n 项和；数列求和19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，M 为侧棱PD 的三等分点（靠近D 点），O 为,AC BD 的交点，且PO ⊥面ABCD ，PO =.（1）若在棱PD 上存在一点N ，且//BN AMC 面，确定点N 的位置，并说明理由；（2）求点B 到平面MAC 的距离.【答案】(1) n n n n n a a b 3log 3+=+=；(2)1【解析】试题分析：(1)由题不难判断N 为PM 的中点，进而得到M 为边PD 的三等分点，可得MO 为△BND 的中位线，可得BN ∥面AMC ；(2)由题根据BO 垂直于平面PAC ，然后根据三棱锥体积公式计算即可. 试题解析：（1）N 为PM 的中点， M 为边PD 的三等分点，∴MO 为△BND 的中位线，∴MO ∥BN ，⊂MO 面AMC ，⊄BN 面AMC ，∴BN ∥面AMC.（2）6=PO ，3=OD ，3=∴PD ，2=PM ，1=MD ，PD OM ⊥∴，2=∴OM ，221=⨯=∴∆OM AC S MAC ，AMC B BAC M V V --==⨯⨯⨯=323644331， ∴B 到面MAC 的距离为1.考点：线面平行的判定与性质；柱锥台体的体积与表面积20.（本小题满分12分）已知圆221:4C x y +=与x 轴的左右交点分别为12,A A ，直线1l 经过1A ，直线2l 经过2A ，D 为1l ，2l 的交点，且1l ，2l 的斜率乘积为14-. （1）求D 点的轨迹方程；（2）若点,A B 在圆1C 上，()0,1,P AP AB λ-=，且0AB DP ⋅=，当DP 最大时，求弦AB 的长度.【答案】(1) )2(1422±≠=+x y x ；(2) 3332=AB12:--=∴x y l AB ，33323142=-=∴AB . 当)31,324(-D 时，同理可得3332=AB . 考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系【方法点睛】直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法：① 利用半径r 、弦心距d 和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解；② 斜率为k 的直线l 与圆C 交与A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则AB = 2x （弦长公式） .21.（本小题满分12分）已知函数()()23x f x x x e =-.（1）求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1k <时，判断方程()4x xf x x kx e +=-的零点个数，并证明.【答案】(1) e ex y +-=3；(2)1.∴如图当1<k 时，k x g =)(仅有一个零点， 即4)(-=+kx x ex xf x 仅有一个零点.法二：令4)1(3)(23+-+-=x k x x x g ，由题意：01>-k ，∴当0≤x 时，0163)(2>-+-='k x x x g ，此时g(x)单调递增，,4)0(,01)1(=<-=-g k g∴g(x)在0≤x 时有一个实数根.当0>x 时，x k x x x g )1(43)(23-++-=，令43)(23+-=x x x h ，则x x x h 63)(2-='，当x=2时，取得极小值h(2)=0，由0)1(>-x k ，∴g(x)在0>x 时无实数根.∴当k<1时，k x g =)(仅有一个零点，即4)(-=+kx x ex xf x 仅有一个零点. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断请考生在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔填涂题号.22.（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线,PE E 为切点，连接,AE BE ，APE ∠的平分线与,AE BE ，分别交于点,C D .（1）求证：DB PD DE PC=； （2）若2PCE AEB ∠=∠求PDB ∠的大小.【答案】(1)略；(2)72PDB ︒∠=考点：与圆有关的比例线段23.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，1C 与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅的值. 【答案】(1) 14:;1:2221=+=+y x C y x C ；(2)65考点：参数方程24.（本小题满分10分）设函数()133f x x x a a =-+-+，x R ∈.（1）当1a =时，求不等式()7f x >的解集；（2）对任意m R +∈，x R ∈恒有()49f x m m ≥--，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) {}40><x x x 或；(2) ),1[+∞【解析】考点：绝对值不等式的解法；恒成立问题高考一轮复习：。