初中数学中考压轴题精选部分解析
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足，求点P 的坐标； (3)如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．5．如图（1），在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（1）如图（2），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DF x BF=，求tan ∠AFB 的值（用x 的代数式表示）； （3）如图（3），若点G 在线段BF 上，且FG ＝2BG ，连结AG 、CG ，DF x BF =，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC 重合)，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，连接PC ．若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似，求点P 的坐标；（3）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ，过点E 任作一直线l '分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”，点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，3）．半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____；②若直线n 的函数表达式为33y x =-+．求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，2），点F 是坐标平面内一点，以F 5为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （1-，0）是⊙F 关于直线l 的“近点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6，求直线l 的函数表达式．8．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF 交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．10．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线交x轴于()2,05,0B两点，交y轴于点C．A-、()（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若，，，求点Q的坐标．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2++-+=．a b a b24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=6，PD=4，则AB= ；PQ= ；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3QD．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．14．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．(1)如图1，当12AE AC<时，过点E作EF BE⊥交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：EB EF=；(2)在ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒．过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD直线BD交直线AP于点E．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并予以证明．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．①求PE2的最大值；②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．16．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，再连结BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点、已知AB ＝10，AC ＝6，AD ＝4，求BC 的长．【拓展】如图③，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ，连结EF ．已知BE ＝5，CF ＝6，则EF 的长为__________.17．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．19．已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ． ①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．20．如图，在ABCD 中，90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且2QM PQ =，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S ．（1）求边AB 的长．（2）当04t <<时，PQ = ，当48t <<时，PQ = ．（用含t 的代数式表示）（3）当点M 落在BD 上时，求t 的值．（4）当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．(1)223y x x =--；(2)，； (3)，；，；，；，； ，；，． 【解析】【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点A （﹣1，0）代入，求出a 即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝2x ﹣6，过点C 作CP 1∥BD ，交抛物线于点P 1，再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y ＝2x ﹣3，联立方程组即可求出P 1（4，5），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明△OCE ≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝12x﹣3，即可求出P2（52，﹣74）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．(1)解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝32，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣32＝32，∴F（3，﹣32），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣32），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝12x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝12x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝52，∴P2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣13t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴，；，；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．2．（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在，12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；（2）设224(,)33P t t --根据（1）的结论求得C 的坐标，进而求得AC 的解析式，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，进而求得PD 的长，根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t 的值，进而求得P 点的坐标；（3）分情况讨论，①//CM AQ ，②//AC MQ ，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标．【详解】（1）二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ （2）抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ，令0x =，则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，由(3,0)A -，(0,2)C ，则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 如图，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，设224(,)33P t t --，则2(,2)3D t t +， 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时，APC S 取得最大值，此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - （3）存在，理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图，当//CM AQ 时，Q 点在x 轴上，//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时，如图，设M 的纵坐标为n ，四边形ACQM 是平行四边形，点A ,Q 在x 轴上，则,AQ MC 的交点也在x 轴上， 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -，2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3，纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3，纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述，存在点Q ，使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得32AD OD ==，从而完成求解； （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形， ∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．4．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形． 【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =， (3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =， 12OE EB t ∴==，152ME OA ==，90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒， BME CBF ∴∠=∠，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==，5OF OB BF t ∴=+=+， 1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ， ∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==， 即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴．（4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =， BAD ABD ∴∠=∠，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠． tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（1）证明见解析；（23333xx；（3）194【解析】 【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明：（1）如图，连接,AC 菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx（3）如图，设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG ＝2BG ， 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x， 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6．（1）213442y xx =-++；（2）点P 的坐标为：（6，41，2）；（3）11NC MC +=【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OCCO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI+=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断． 【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ， ∴∠ACB =90°， ∵点C 的坐标为()0,4， ∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°， ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆，∴AO OCCO OB=， ∵4CO =，10AO BO AB +==， ∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =， 经检验，满足题意， ∵OB OA >， ∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时， ∴ACO PCQ ∠=∠， ∵90ACO OCB ∠+∠=︒， ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ， ∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=，解得：16x =或20x =（舍去）； ∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ， ∴∠ACO =∠POG ， ∵90PGO AOC ∠=∠=︒， ∴AOC ∆∽PGO ∆， ∴AO OCPG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++，∴22413442x x x =-++， 解得：171x =±-， ∵点P 在第一象限， ∴171x =-，∴2134217242x x -++=-，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）； （3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴EI =EJ ，∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ， ∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ，∴12AI AO EI CO ==，∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+，12=，解得：EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．（1）①B ；D ；4；②1；（2）1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】（1）①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可；②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ．先分别求得点E 、F 的坐标，进而可求得EF 的长，再利用等积法求得OH 的长，进而即可解决问题；（2）如图，先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案． 【详解】解：（1）①由题意，点B 是O 关于直线m 的“近点”， 点D 是O 关于直线m 的“远点”， ∵点E 的坐标为（0，3）．⊙O 的半径为1， ∴OE ＝3，OB ＝OD ＝1，∴BE ＝OE －OB ＝2，DB ＝OB ＋OD ＝2，O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=， 故答案为：B ；D ；4；②如图，过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ，设直线33y x =-+交x 轴于点F ，交y 轴于点E ， 令y ＝0，则x ＝3；令x ＝0，则y ＝3， ∴(3F ，0)，(0,3)E ，3OE ∴=，3OF =，22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=，∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△， ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅， 解得：32OH =， 12QH OH OQ ∴=-=， 又∵2PQ OQ OP =+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=；（2）如图，设直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过点F 作FH ⊥直线l ，垂足为点H ，交⊙F 于N ，G ，∵⊙F 5，∴FN ＝FG 5，∴GN ＝FN ＋FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6， ∴GN·NH ＝6，NH ＝6， 解得：NH设直线l 的解析式是y kx b =+， ∵直线l 经过点M （1，2），∴将（1，2）代入y kx b =+，得：2k b +=， 2b k ∴=-，(2)y kx k ∴=+-，∴当0x =时，2y k =-，∴点B 坐标为（0，2－k ），|2|OB k ∴=-，当0y =时，(2)0kx k +-=， 解得：2k x k-=， ∴点A 坐标为（2k k-，0）， 2||k OA k -∴=，22|(1)||1|k k AN k k--=--=+，AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠，90AOB AHN ∠=∠=︒， AOB AHN ∴△∽△，∴NH ANOB AB=，∴|2|522|1|||k k k k k-=--+， 整理，得：22520k k ++=，解得：12k =-或2k =-，∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用，远点，近点，特征数等新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．（1）直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6；（2）d =4-t ；（3）Q （212，1）． 【解析】 【分析】（1）先由解析式求出得A 、C 点的坐标，得OA =OC ，得四边形ABCO 为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b 的值；（2）过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ，证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （AAS ），得到AP =GQ ，进而求得结论便可；（3）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与x 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥x 轴于点M ．证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （CCS ），得PK =QR ，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与y轴交于点N，过Q作QM⊥y轴于点M．则AP=t，QM=d，且d=6-t．∵OF 平分∠POC ， ∴∠POF =∠COF =∠PFO ， ∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°， ∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ， 在△OPK 和△PQR 中， 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ）， ∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°， ∴∠OKP =∠OPH ， ∴∠R =∠OPH ， ∵PO =PF ，PH ⊥OF ， ∴∠OPH =∠FPH ， ∴∠R =∠FPR ， ∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ， ∴四边形OPEN 是平行四边形， ∴EN =PO =PF ， ∴PE -PF =ER -EN ， ∴FE =NR ，设FE =NR =k ，则KQ =2FE =2k ， 又设NQ =m ，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．10．（1）；（2）；（3）【解析】 【分析】（1）由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案；（2）先画好图形，证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案；（3）如图，过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则，再解方程可得 4,t = 再求解的解析式，再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点，所以可得抛物线为：（2）如图，过P 作于,H 连AP 交OC 于则，x 则令0,（3）如图，过P作轴于,K过M作于,N 由（2）得：，，轴，则轴，，即结合（1）可得：四边形为矩形，。
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【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．（2）若=，求α的大小．（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用三角形的外角的性质计算即可；（2）只要证明△FCE∽△ACB，可得==，Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=，推出∠FCA=30°，即α=30°．（3）在Rt△ABC，和Rt△CBE中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：②∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠CDA=∠DBC+∠BCD=45°+α．（2）在△FCE和△ACB中，∠CFE=∠CAB=45°，∠FCE=∠ACB=90°，∴△FCE∽△ACB，∴=∵=∴=连结FA，∵∠FCA=90°﹣∠ACE，∠ECB=90°﹣∠ACE，∴∠FCA=∠BCE=α，在Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=∴∠FCA=30°，即α=30°．（3）结论：AB2=2CF2+2BE2．理由：∵AB2=AC2+BC2=2BC2，BC2=CE2+BE2=CF2+BE2，∴AB2=2CF2+2BE2．【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．（1）当⊙O的半径为1时，①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有P1，P2．②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围．（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．【分析】（1）①利用两圆的位置关系即可判断；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2）根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题；【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）∴OP1=，OP2=2，OP3=3，∴半径为1的⊙P1与⊙O相交，半径为1的⊙P2与⊙O相交，半径为1的⊙P3与⊙O相离1，∴⊙O的关联点是P1，P2；故答案为：P1，P2；②如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于 P1，P2两点．线段P1，P2上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此﹣≤x≤．（2）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点，∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，2﹣1 为半径的圆．综上所述，2﹣1≤r≤3．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ 2.9 ．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为2.3 cm．【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9（2）根据已知数据描点连线得：（3）当DB=AE时，y与x满足y=x，在（2）图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．4．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m 即可；（3）分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值，然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围．【解答】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m+1=m（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；（2）易得直线l2的表达式为y=x，当x=2时，y=x=2，则P（2，2），把P（2，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2，解得m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2；（3）点A（0，2）关于x轴的对称点B的坐标为（0，﹣2），当抛物线过A（0，2）时，把A（0，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2，解得m=1，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0＜m≤1；当抛物线过B（0，﹣2）时，把B（0，﹣2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2，解得m=﹣3，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，﹣3≤m＜0；综上所述，m的取值范围是 0＜m≤1或﹣3≤m＜0．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．5．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， =．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．（1）求证：AC=CE．（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．【分析】（1）连接BC，想办法证明AC=BC，EC=BC即可解决问题；（2）首先证明∠DBF=∠BAF，可得sin∠BAF=sin∠DBF==，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC．∵AB是的直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°，∵=，∴AC=BC∴∠CAB=45°．∵AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=BE，∴AC=CE．（2）在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AE=8，AE=BE ∴AB=8，在Rt△ABF中，AB=8，sin∠BAF=，解得：BF=6，连结BD，则∠ADB=∠FDB=90°，∵∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBF=90°，∴∠DBF=∠BAF，∵sin∠BAF=，∴sin∠DBF=，∴=，∴DF=．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．8．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．9．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．11．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．。
2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)
圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是 P 1，P 3 ；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是 P 2、P 3 ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是 D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是 P1，P2 ；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是 P1 ；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是 Q 2，Q 4 ．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为 (2,0) ；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标 (2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)= 23-2 ，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围 1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2 ；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。
初中数学中考试卷“压轴题”汇集训练及解析
（2 ）如图（二），连接 AO1 ，并延长 AO1 交⊙ O1与点 E ，连 ED
∵四边形 AEDB 内接于⊙ O1 ∴ ABC E
又∵AC AC
∴ E AO1C
∴CO1 / /ED
又 AE 为⊙ O1 的直径
∴ED AD
∴CO1 AD ·······················（·3·分·）···········
又知点 P 的坐标中 x 5 ，所以， MP>2,AP>2 ；因此以 1、 2、 3 、 4 为边或
以 2 、3、 4、 5 为边都不符合题意，所以四条边的长只能是
3 、4 、5、 6 的一
种情况，在 Rt △AOM 中， AM
OA2 OM 2
42 32 5 ，因为抛物
线对称轴过点 M，所以在抛物线 x 5 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的
4
y
x 4 ；把 x
5
G (t, 4 t 4) ， 5
t 代入得： y
4 t 4 ，则
5
此时： NG=
4 t
4-（ 4 t 2
24 t 4 ），
5
5
5
= 4 t 2 20 t ． 55
··································
∴S ACN
1 NG OC
1 (
4t2
20 t) 5
AB
a
中，
OB
AB 2 OA 2
5 25 a 2
1
，OD= OB
5 25 a2 ，OP
OA
5
a
2
2a
22
5 5 25 a2
k
∴O1( ,
初三数学压轴题
初三数学压轴题一、题目示例在平面直角坐标系中，抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)三点。
（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥ y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△ BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。
二、题目解析1. 求抛物线的解析式- 已知抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)三点。
- 把A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)分别代入y = ax^2+bx + c中，得到方程组：- a - b + c = 0 9a+3b + c = 0 c=-3- 将c = - 3代入前两个方程，得到a - b-3 = 0 9a + 3b-3 = 0- 由a - b-3 = 0可得a=b + 3，将其代入9a + 3b-3 = 0中：- 9(b + 3)+3b-3 = 0- 9b+27 + 3b-3 = 0- 12b=-24，解得b=-2- 把b = - 2代入a=b + 3，得a = 1- 所以抛物线的解析式为y=x^2-2x - 3。
2. 求MN的长（用含m的代数式表示）- 设直线BC的解析式为y=kx + d，把B(3,0)，C(0, - 3)代入可得3k + d = 0 d=-3- 解得k = 1，所以直线BC的解析式为y=x - 3。
- 因为点M在直线BC上，且横坐标为m，所以M(m,m - 3)。
- 又因为N在抛物线上，且N的横坐标为m，所以N(m,m^2-2m - 3)。
- 则MN=(m^2-2m - 3)-(m - 3)=m^2-3m。
3. 判断是否存在点m使△ BNC的面积最大并求m的值- 过N作NH⊥ x轴交BC于H。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
初中数学试卷中考压轴题精选(含详细答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！一．解答题（共30小题）1．（顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．（1）求直线l1、l2的解析式；（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…①求点B1，B2，A1，A2的坐标；②请你通过归纳得出点A n、B n的坐标；并求当动点C到达A n处时，运动的总路径的长？2．（莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．3．（资阳）已知Z市某种生活必需品的年需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x （元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y1=﹣4x+190，y2=5x﹣170．当y1=y2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y1＜y2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y1＞y2时，称该商品的供求关系为供不应求．（1）求该商品的稳定价格和稳定需求量；（2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？4．（哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5．（桂林）如图已知直线L：y=x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）求点A、点B的坐标．（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）．（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式．（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（防城港）如图，在平面直角坐标系，直线y=﹣（x﹣6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．（1）求BD的长；（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD=S1，S△NOA=S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的坐标；（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．7．（大兴安岭）直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6，0）．（1）若过点P（2，0）且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；（2）若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2（点P1、P2与点O、C不重合），请求P1、P2点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）．9．（厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A 在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．（1）求OB和OM的值；（2）求直线OD所对应的函数关系式；（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD 的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．10．（天门）如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．（1）点N的坐标为（_________，_________）；（用含x的代数式表示）（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．11．（乐山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB 为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标x A，x B是关于x的方程x2﹣（m+2）x+n﹣1=0的两根．（1）求m，n的值；（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．12．（黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC 的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD 为矩形？并求出此时动点P的坐标．13．（遵义）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．（1）求AB的长；（2）当t为何值时，△ACD与△AOB相似并直接写出此时点C的坐标；（3）△ACD的面积是否有最大值？若有，此时t为何值；若没有，请说明理由．14．（株洲）已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若⊙O1，⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线O1O2的解析式；（3）若直线O1O2分别交AC，BC于点M，N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论．15．（镇江）探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，a n表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．图：表：n 1 2 3 4 …a n 1 3 7 15 …（1）根据“图”、“表”可以归纳出a n关于n的关系式为_________．若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（a n，a n+1）都在直线l1上．（2）设直线l2：y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．16．（咸宁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1．操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上．探究：（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b．①求b与k的函数关系式；②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．17．（厦门）已知点P（m，n）（m＞0）在直线y=x+b（0＜b＜3）上，点A、B在x轴上（点A在点B的左边），线段AB的长度为b，设△PAB的面积为S，且S=b2+b．（1）若b=，求S的值；（2）若S=4，求n的值；（3）若直线y=x+b（0＜b＜3）与y轴交于点C，△PAB是等腰三角形，当CA∥PB时，求b的值．18．（乌鲁木齐）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O 内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R 的取值范围．19．（随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=﹣x﹣6，点A 与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，﹣4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）20．（邵阳）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O 按顺时针方向旋转α角（0°＜α≤360°），可得△COD．（1）求点A，B的坐标；（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，△COD和△AOB的重叠部分为△ODE（图①）．求证：△ODE∽△ABO；（3）除了（2）中的情况外，是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似，若存在，请指出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由；（4）当α=30°时（图②），CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分（即四边形OPMN）的面积．21．（韶关）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E．设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．（1）求M、D两点的坐标；（2）当P在什么位置时，PA=PB求出此时P点的坐标；（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH 的面积．22．（衢州）如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，B n（n，y n）（n是正整数）依次为一次函数y=x+的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，A n（x n，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△A n B n A n+1分别是以B1，B2，B3，…，B n为顶点的等腰三角形．（1）写出B2，B n两点的坐标；（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．23．（黔东南州）某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）的关系可近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x的关系式；（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额﹣成本）为s（元），则销售单价定为多少时，该商厦获利最大，最大利润是多少？此时的销售量是多少件？24．（牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．（1）求B，C两点的坐标；（2）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直线AD的解析式．25．（梅州）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．26．（聊城）某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积．已知公园A，B分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮1608m2和1200m2出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：公园A 公园B路程（千米）运费单价（元）路程（千米）运费单价（元）甲地30 0.25 32 0.25乙地22 0.3 30 0.3（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）（1）分别求出公园A，B需铺设草坪的面积；（结果精确到1m2）（2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．27．（佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．（1）求点B，点C的坐标；（2）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，求直线MD 的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O，P，C，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（济南）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．29．（黑龙江）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA ＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6 （1）求∠ABC的度数；（2）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；（3）在第（2）问的条件下，y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请直接写出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．30．（哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC 交y轴于点E，点C（4，﹣2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．（1）求直线AB的解析式；（2）若点H的坐标为（﹣1，﹣1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P 的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．（1）求直线l1、l2的解析式；（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…①求点B1，B2，A1，A2的坐标；②请你通过归纳得出点A n、B n的坐标；并求当动点C到达A n处时，运动的总路径的长？考点：一次函数综合题。
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动点问题
1、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7 ，AB=4 ，
∠COA=60°，点P 为x 轴上的一个动点，点 P不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作 PD交 AB于点D ．
（1）求点B 的坐标；
（2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB ，且BD/AB=5/8 ，求这时点P 的坐标．
2、（2006 福建南平市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，
在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。
请探究：
（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由：
（2）若设AE=X ，DH=Y ，当 X取何值时， Y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？
3、（2006南阳油田）如图，等边三角形ABC的边长为8，点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动，
到点C后停止运动；点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B后停止运动.
若点P，Q同时开始运动，运动的时间为t(秒)(t＞0).
（1）指出当t＝4秒时，点P,Q的位置，此时直线PQ有何特点？
（2）当点Q在AC边上运动时，求△PCQ的面积S1与t的函数关系式.
（3）当点Q在AB边上运动时（点Q与点B不重合），求四边形PCAQ的面积S2与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.
3、（2006山东枣庄市）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．
已知BC ：CA＝4 : 3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O.
(l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
(2）当点P运动AB到的中点时，求CQ的长；
(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．
函数题
4、（2006年潍坊市）已知二次函数图象的顶点在原点 O，对称轴为Y 轴．一次函数Y=KX+1 的图象
与二次函数的图象交于A,B 两点（ A在B 的左侧），且 A点坐标为(-4,4) ．平行于 X轴的直线L 过（0，-1）点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线L 的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2 个单位，再向下平移 t个单位(t＞0），二次函数的图象与 x轴交于M,N 两点，
5、（2006 伊春市）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是
方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
6、（2006锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴
的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在
点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标；
(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；
(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
7、（2006贵阳市）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售
经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；
（1）假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是多少元？这种篮球每月的销售量是多少？
个；（用含x 的代数式表示）（4分）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的
售价应定为多少元？（8分）
8、（2006西江南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c ，经过点A(0，5)和点B（3 ，2）
(1)求抛物线的解析式：
(2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？
若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)若⊙ Q的半径为r，点Q 在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值
9、（2006 烟台市）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点.
（1）若抛物线L2与L1关于x轴对称，求L2的解析式；
（2）若点B是抛物线L1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个
顶点定为D，求证：点D在L2上；
（3）探索：当点B分别位于L1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？
若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
三角形
10、
（2006四川省内江）如图所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成
△AC1D1 和△BC2D2 两个三角形（如图28-2所示）.将纸片△AC1D1 沿直线D2B （AB）方向平移（点A，D1，D2，B 始终
在同一直线上），当点D1 于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1 与BC2 交于点E, AC1与C2D2 分别交于点F、P.
(1) 当△AC1D1平移到如图28-3所示的位置时，猜想图中的 D1E与D2F 的数量关系，并证明你的猜想；
(2) 设平移距离D2D1 为X ，△AC1D1 与△BC2D2重叠部分面积为Y ，请写出Y 与X 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
(3)对于（2）中的结论是否存在这样的 X 的值，重叠部分的面积等于原△ABC 面积的1/4 .若不存在，请说明理由.
11、（2006 湖南常德市）把两块全等的直角三角形ABC 和 DEF叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC
的斜边中点O 重合，其中∠ABC=∠DEF=90° ，∠C=∠F=45° ，AB=DE=4 ，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF
绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．
（1）如图9，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证
△APD∽△CDQ ．此时，AP.CQ= ．
（2）将三角板DEF 由图9所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90° ，问AP.CQ 的
值是否改变？说明你的理由．
(3)在（2）的条件下，设CQ=x ，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．（图10，图11供解题用）
12、（2006北京海淀区）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若sin∠BAD=3/5 ，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。