第四章 确定性推理方法

7, 隐去全程量词
{[~P(x) R(f(x))U(a)] [~Q(x)) R(f(x))U(a)]}
化子句集的方法（续3）
8, 表示为子句集
{~P(x) R(f(x))U(a), ~Q(x)) R(f(x))U(a)}
9, 变量标准化（变量换名）
{~P(x1) R(f(x1))U(a), ~Q(x2)) R(f(x2))U(a)}
定理： 若S是合式公式F的子句集，则F永假的充要条 件是S不可满足。 S不可满足：若nilS，则S不可满足。 证明的思路： 目标的否定连同已知条件一起，化为子句集， 并给出一种变换的方法，使得S S1 S2 ... Sn，同时保证当Sn不可满足时，有S 不可满足。
4.2 归结方法（命题逻辑）
命题逻辑



命题：能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：单个常量或变量的命题称作合 式公式。合式公式有限次组合所构成的字 符串称为命题公式。 命题逻辑的基本联接词有： ~， ， ， ， 等价，当且仅当，双条件
命题公式的解释：
设A为一个命题公式，P1 P2 P3 ,…,Pn 是出 现在A中的全部命题变量，给P1 P2 P3 ,…,Pn 各指定一个真值（0或1），称为对A的一 个赋值或解释。
子句集： (1) P (2) ~P~QR (3) ~SQ (4) ~TQ (5) T (6) ~R（目标求反）
归结： (7) ~P~Q (8) ~Q (9) ~T (10) nil
(2, 6) (1, 7) (4, 8) (5, 9)
证明子句集S={~PQ,~Q,P}不可满足
4.3 谓词逻辑的归结原理
化下列公式成子句形式：
（1） (x) [P（x）→P（x）] （2）{~{(x) P（x）}}→ (x)[~P（x）]
化下列逻辑表达式为合取范式:
化下列逻辑表达式为合取范式
(x)(y){(z )[ P( z ) Q( x, z )] R( x, y, f (a))}
(x)(y){(z )[ P( z ) Q( x, z )] R( x, y, f (a))}
第四章 确定性推理方法
推理：求解问题的一种重要方法。从已知事实出 发，通过运用已掌握的知识，找出其中蕴含的 事实，或归纳出新的事实，这一过程通常称为 推理。 确定性推理：知识和证据是确定的，结论也是确 定的。 不确定推理：
单调推理、非单调推理



按照推理过程中推出的结论是否越来越接 近最终目标来划分，推理又分为单调推理 和非单调推理。 单调推理是在推理过程中随着推理向前推 进及新知识的加入，推出的结论越来越接 近最终目标。 非单调推理是在推理过程中有新知识的加 入，不仅没有加强已推出的结论，反而要 否定它，使推理退回到前面的一步，然后 重新开始。（知识不完全情况下发生。） X是鸟，会飞，X是企鹅，不会飞。
4.1 归结原理


归结原理是一种定理证明方法，1965年由 Robinson提出，从理论上解决了定理证明问题。 子句集



无量词约束 元素只是文字的析取 否定符只作用于单个文字 元素间默认为和取 例：{~I(z)R(z), I(A), ~R(x) L(x), ~D(y)}
谓词公式化子句集的方法
化子句集的方法（续1）
3, 变量标准化 即：对于不同的约束，对应于不同的变量 (x)A(x) (x)B(x) => (x)A(x) (y)B(y) 4, 量词左移 (x)A(x) (y)B(y) => (x) (y) {A(x) B(y)} 5, 消存在量词 (skolem化） 原则：对于一个受存在量词约束的变量，如果他 不受全程量词约束，则该变量用一个常量代替， 如果他受全程量词约束，则该变量用一个函数代 替。 (z) (x)(y){[(~P(x) ~Q(x)) R(y)] U(z)} => (x) {[(~P(x) ~Q(x)) R(f(x))] U(a)}
化子句集的方法（续2）
6, 化为合取范式 即(ab) (cd) (ef)的形式
(x){[(~P(x) ~Q(x)) R(f(x))]U(a)} => (x){(~P(x) ~Q(x)) R(f(x))U(a)} => (x){[~P(x) R(f(x))U(a)] [~Q(x)) R(f(x))U(a)]}
(x)(y){(z )[ P( z ) Q( x, z )] R( x, y, f (a))} (x)(y){(z )[ P( z ) Q( x, z )] R( x, y, f (a))} (x)(y){(z )[P( z ) Q( x, z )] R( x, y, f (a))} (y ){P( g ( y)) Q(b, g ( y )) R(b, y, f (a))}
归结的例子
设公理集： P, (PQ) R, (ST) Q, T 求证：R 子句集： (1) P (2) ~P~QR (3) ~SQ (4) ~TQ (5) T (6) ~R（目标求反）
化子句集： (PQ) R => ~(PQ)R => ~P~QR (ST) Q => ~ (ST)Q => (~S~T)Q => (~SQ) (~TQ) => {~SQ, ~TQ}
(1)也就是要证明使C1和C2为真的解释I，也必然可以 使C为真。 C1=LC1’ ，C2=(~L) C2’ (2)设I是使C1和C2为真的任一解释，若I下的L为真， 从而~L为假。由C2为真的假设可以推出必有在I下 的C2’为真，故在I下，由于C=C1’ C2’，所以C也为 真。若在解释I下L为假，从而由于假设C1为真，必 有C1’为真，故在解释I下C=C1’ C2’也必为真。 (3)归结式C是其亲本子句C1和C2的逻辑结论。
合一算法
例：{P(x, x, Z), P(f(y), f(B), y)} 前缀表示： (P x x z) (P (f y) (f B) y) 置换：{(f y)/x} (P (f y) (f y) z) (P (f y) (f B) y) 置换：{B/y}, 并使得{(f B)/x} (P (f B) (f B) z) (P (f B) (f B) B) 置换：{B/z} 得到置换：{(f B)/x， B/y，B/z} 置换后的结果： (P (f B) (f B) B)
(1)
(x)(D(x)~L(x)) => (x)(~D(x)~L(x)) => ~D(x)~L(x) (x)(D(x)I(x)) => D(A)I(A) => D(A) I(A)
(2)
(3) (4)

目标求反：
~(x)(I(x)~R(x)) => (x)~(I(x)~R(x)) => (x)(~I(x)R(x)) => ~I(x)R(x)
谓词逻辑


是一种形式语言，具有严密的理论体系 是一种常用的知识表示方法



例： City（北京） City（上海） Age（张三，23） (x)( y)( z)(F(x, y)F(y, z)GF(x, z)
谓词逻辑




原子谓词公式：是一个不能再分解的命题。 原子谓词公式及其否定，统称为文字。P与~P 为互补文字。 任何文字的析取称为子句。 由子句构成的集合成为子句集。 不包含任何文字的子句称为空子句，表示为 NIL。 由于空子句不包含任何文字，不能被任何解 释满足，所以，空子句是永假的，不可满足 的。


设子句： C1=LC1’ C2=(~L) C2’ 则归结式C为： C=C1’ C2’ 定理： 子句集S={C1, C2, …, Cn}与子句集 S1={C, C1, C2, …, Cn}的不可满足性是等价的。其中， 是C1和C2的逻辑结论 即C1 C2→ C
谓词逻辑的归结方法
对于子句C1L1和C2L2，如果L1与~L2可合一， 且s是其合一者，则(C1C2)s是其归结式。 例： P(x)Q(y), ~P(f(z))R(z) => Q(y)R(z)
归结举例
设公理集： (x)(R(x)L(x)) (x)(D(x)~L(x)) (x)(D(x)I(x)) 求证： (x)(I(x)~R(x)) 化子句集： (x)(R(x)L(x)) => (x)(~R(x)L(x)) => ~R(x)L(x)
推论：
设C1和C2是子句集S上的子句，C是 C1和C2的归结式。如果把C加入 子句集S后得到新子句集S1，则 S1和S在不可满足的意义下是等 价的。 S是不可满足的等价于S1是不可满 足的
归结推理过程：
证明子句集S的不可满足性过程： （1）对子句集S中的各子句间使用归结推 理规则。 （2）将归结所得到的归结式放入子句集S 中，得到新子句集S’。 （3）检查子句集S’中是否有空子句(NIL)， 若有，则停止推理，否则，转步骤（4） （4）置S=S’，转步骤（1）。

合一 如果存在一个S置换，使得{Ei}中 E1s=E2s=E3s=…=Ens， 则称{Ei}是可合一的。S为{Ei}的合一者。 例：{P(x, f(y), B), P(z, f(B), B)} 置换s={A/x, B/y, A/z}是一个合一者, 因为： P(x, f(y), B)s= P(A, f(B), B) P(z, f(B), B)s= P(A, f(B), B) 置换s={z/x, B/y}和置换s={x/z, B/y}也都是合一 者。 结论：合一者不唯一。
公式的分类




永真式：若A无成假赋值，则称A为重言式。 或永真式。 永假式 可满足式：若A至少有一个成真赋值，则 称A为可满足式。 非重言式的可满足式：若A至少有一个成 真赋值，又至少有一个成假赋值，则称A 为非重言式的可满足式。