陆丰东海中学2010-2011学年度第一学期期末考试数学(理科)

陆丰东海中学2010-2011学年度第一学期期末考试高二数学（理）第一部分 选择题(共50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 集合A ＝}14|{<-x x ，条件=B }031|{>-x x ，则=⋂B A （ ） Ａ. φ B. }3|{>x x C. }54|{<<x x D. }53|{<<x x 2.集合{}22≤≤-=x x M ，{}20≤≤=y y N ，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是 （ ）3.若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ”的 （ ）A. 充分不必要条件.B. 必要不充分条件.C. 充要条件.D. 既不充分也不必要条件.4. 已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．645.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 （ ） A. 1925 B. 1625 C. 1425D. 7256. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 （ ） A. 14B. 15C. 16D. 177. 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ）A ．1)1()2(22=++-y xB ．1)1()2(22=-+-y xC ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x8. 椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．239. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ． 2 B. 1 C.32 D. 3110.如图，函数)(x f y =的图象是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的两段弧，则不等式x x f x f +-<)()(的解集为 （ ）A.{}22,02|≤<<<-x x x 或B.{}22,22|≤<-<≤-x x x 或C.⎭⎬⎫≤<⎩⎨⎧-<≤-222,222|x x x 或 D.{}0,22|≠<<-x x x 且第二部分 非选择题(共100 分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置。

11.已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．12.9131=-x 的解集是 13.命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是14. 设抛物线x y 42=上一点P 到直线02=+x 的距离是5，则点P 到抛物线焦点F 的距离为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知向量)2cos ,4sin2(x x m =，)3,4(cos x=，函数x f ∙=)( ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若π≤≤x 0，求)(x f 的最大值和最小值．16. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，32=a ，27654=++a a a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和 （1）求n a 和n S ； （2）若n a b n 2=，求数列{}nb 的前n 项和nT17. （本小题满分14分）如图所示，在棱长为a 的 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、H 分别是棱BB 1、 CC 1、DD 1的中点。

（Ⅰ）求证：BH//平面A 1EFD 1；（Ⅱ）求直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值。

18. （本小题满分14分）已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

19. （本小题满分14分）O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b )0,0(≠>b a ，且交抛物线）（），（于22112,N ,M )0(2y x y x p px y >=两点。

（1） 写出直线l 的截距式方程 （2） 证明：by y 11121=+ （3） 当p a 2=时，求MON ∠的大小。

20. （本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈ 陆丰东海中学2010-2011学年度第一学期期末考试高二数学（理）参考答案一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。

）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）11、_______1________ ________1_________； 12 、______{|1}x x =-______； 13、__若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数___； 14、 __________4_________； 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知向量)2cos ,4sin2(x x =，)3,4(cos x=，函数x f ∙=)( ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若π≤≤x 0，求)(x f 的最大值和最小值．解：（Ⅰ）2cos 34cos 4sin 2)(x x x x f +=2cos 32sin x x += )32sin(2π+=x ----4分)(x f 的最小正周期π4=T ．-------6分（Ⅱ） π≤≤x 0πππ65323≤+≤∴x ，当232ππ=+x ，即3π=x 时，)(x f 有最大值2；当6532ππ=+x ，即π=x 时，)(x f 有最小值1 ． --------12分 16. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，32=a ，27654=++a a a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和（1）求n a 和n S ； （2）若n a b n 2=，求数列{}nb 的前n 项和nT解：（1）由已知 27654=++a a a ，可得2735=a解得 95=a ………………………………………………….1分设等差数列的公差为d ，则6325==-d a a ，解得2=d ……………..2分 ∴ 122)2(3)2(2-=⨯-+=-+=n n d n a a n …………………………..4分 故212)121(2)(n n n a a n s n n =-+=+=综上，12-=n a n ，2n s n =…………………………………………………6分 （2）∵1212-==+n n n a b ………….8分∴)12()12()12(132-++-+-=+n n T ……….……………………….9分 ＝(n n -++++)222132 =422--+n n即 n T =422--+n n ………….12分17. （本小题满分14分）如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、H 分别是棱BB 1、CC 1、 DD 1的中点。

（Ⅰ）求证：BH//平面A 1EFD 1；（Ⅱ）求直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值。

（Ⅰ）证明：连结D 1E ，1111111,,//.22BE BB D H DD BB DD == 11111111//,,//,,,BE D H BED H BH ED BH A EFD D E A EFD ∴∴∴⊄⊂即四边形为平行四边形平面平面11//.BH A EFD ∴平面 ………………7分（Ⅱ）解：过A 作AG ⊥A 1E ，垂足为G 。

∵A 1D 1⊥平面A 1ABB 1，11ABB A AG ⊂∴A 1D 1⊥AG ，1111A D A E A =⋂ 又∴AG ⊥平面A 1EFD 1。

连结FG ，则∠AFG 为所求的角。

……9分111,,,.103,,,2sin 15AA AG A E A A AB AG a a AG AC AF a AG AFG AF ∆⋅=⋅∴=⋅∴==∴==∴∠== 在E 中分连结则即直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值为15…………14分 18. （本小题满分14分）已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

解：（1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数.（2）设212≥>x x ，()()22212121x a x x a x x f x f --+=- ()[]a x x x x x x x x -+-=21212121， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ，即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 。

另解（导数法）：()22'xax x f -=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022≥-xa x ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立， 故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数。

19. （本小题满分14分）O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b )0,0(≠>b a ，且交抛物线）（），（于22112,N ,M )0(2y x y x p px y >=两点。

（4） 写出直线l 的截距式方程 （5） 证明：by y 11121=+ （6） 当p a 2=时，求MON ∠的大小。

解：（1）直线l 的截距式方程为1=+bya x 。

（1） （2）、由（1）及px y 22=消去x 可得0222=-+pab pay by （2）点M ，N 的坐标21,y y 为（2）的两个根。