【精品】四川省成都市郫都区2017-2018学年高二《数学》上学期第一次月考试题理及答案
四川省成都市2017_2018学年高二数学10月月考试题理2017101701133
2017-2018学年度高二上期十月月考数学试题(理科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。
2. 本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。
4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。
第Ⅰ卷（60分）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）。
1.圆(x2)2y25关于原点对称的圆的方程是( A)A. (x2)2y25B. x2(y-2)25C. (x2)2(y2)25D. x2(y2)252.设x、y R,则“x2且y2”是“x2y24”的( A )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件x y223．椭圆的左右焦点分别为,一直线过交椭圆于A，B 两点，1F F1,2F1167则的周长为（B ）ABF2A.32B.16C. 8D. 44. 已知命题p:x0,ln(x1)0；命题q:若a b,则a2b2，下列命题为真命题的是（B）A、p∧qB、p∧￢qC、￢p∧qD、￢p∧￢q5．已知点M（a,b）（ab≠0），是圆x2y2r2内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是，则（C ）ax by r2A. l∥m且l与圆相交B. l⊥m且l与圆相切C. l∥m且l与圆相离D. l⊥m且l与圆相离6. 已知椭圆C：x y22221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为a b- 1 -直径的圆与直线bx ay 2ab0相切，则C的离心率为（A ）A．63B．33C．2313D．7．已知P为椭圆x y上的一点，M、N分别为圆22=12516(x、3)、y、1和圆(x、3)2、22y2、4上的点，则PM、PN的最小值为（B ）A．5 B．7 C．13 D．158．平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（ C ）条。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
郫都区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
郫都区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）A ．e x+1B ．e x ﹣1C ．e ﹣x+1D ．e ﹣x ﹣12． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b <C ．22a b >D ．33a b >3． 已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）2()2ln 2f x a x x x =+-a R ∈A ． B ． C ． D ．14124． 已知是虚数单位，若复数（）的实部与虚部相等，则（ ）)(3i a i +-R a ∈=a A ．B ．C ．D ． 1-2-5． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直6． 函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ≤B ．0≤a ≤C ．0＜a ＜D ．a ＞7． 若函数则的值为（ ）1,0,()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩(3)f -A ．5B ．C ．D ．21-7-8． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（）A ．112B ．114C ．116D ．1209． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1+B．(1)++∞C. (1,3)D ．(3,)+∞10．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）A ．100B ．150C ．200D ．25011．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A ．B ．（4+π）C ．D ．12．函数y=|a|x ﹣（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若有三个零点，则实数m 的取值范围是________．()()g x f x m =-14．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n 个等式为 ． 15．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．16．已知a=（cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．17．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．三、解答题19．（本题满分15分）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面ABCD 2AB =1AD =M DC ADM ∆AM 平面．⊥ADM ABCM （1）求证：；BM AD ⊥（2）若，当二面角大小为时，求的值．)10(<<=λλDB DE D AM E --3πλ【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．20．（本题满分12分）在长方体中，，是棱上的一点，是棱1111D C B A ABCD -a AD AA ==1E CD P 1AA 上的一点.（1）求证：平面；⊥1AD D B A 11（2）求证：；11AD E B ⊥（3）若是棱的中点，是棱的中点，求证：平面.E CD P 1AA //DP AE B 121．已知函数f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ）在点（0，f （0））处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设g （x ）=﹣x （x ﹣t ﹣）（t ∈R ），若g （x ）≥f （x ）对x ∈[0，1]恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=（1+）a n ，求证：当n ≥2，n ∈N 时 f （）+f （）+L+f （）＜n •（）（e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）．22．已知,若，求实数的值.{}{}22,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+{}3A B =- 23．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC 的面积．24．（本题10分）解关于的不等式2(1)10ax a x -++>.郫都区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x ，而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．故选D ． 2． 【答案】D 【解析】考点：不等式的恒等变换.3． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数),0(+∞2'222()x x a f x x++=2()2ln 2f x a x x x=+-（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在a R ∈0)('≥x f 2()222h x x x a =++),0(+∞恒成立，，故选A. 110,4a ∴∆≤∴≥考点：导数与函数的单调性．4． 【答案】A考点：复数运算．5． 【答案】A【解析】解：由题意可得直线l 1的斜率k 1==1，又∵直线l 2的倾斜角为135°，∴其斜率k 2=tan135°=﹣1，显然满足k 1•k 2=﹣1，∴l 1与l 2垂直故选A 6． 【答案】B【解析】解：当a=0时，f （x ）=﹣2x+2，符合题意当a ≠0时，要使函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数∴⇒0＜a ≤综上所述0≤a ≤故选B【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a 的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题． 7． 【答案】D111]【解析】试题分析：.()()()311112f f f -=-==+=考点：分段函数求值．8． 【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图，得；该班级数学成绩的平均分是=80×0.005×20+100×0.015×20+120×0.02×20+140×0.01×20=114．故选：B ．【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目． 9． 【答案】A【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨⎧==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m 的范围.10．【答案】A【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．11．【答案】D【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D．【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．12．【答案】D【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A，B当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣＜0，故排除C．故选：D．二、填空题13．【答案】7 14⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】14．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 ．【解析】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．15．【答案】 （0，5） ．【解析】解：∵y=a x的图象恒过定点（0，1），而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），故答案为：（0，5）．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．16．【答案】 240 ．【解析】解：a=（cosx ﹣sinx ）dx=（sinx+cosx ）=﹣1﹣1=﹣2，则二项式（x 2﹣）6=（x 2+）6展开始的通项公式为T r+1=•2r •x 12﹣3r ，令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是•24=240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．【答案】 3 ．【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．18．【答案】= ．【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ．再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．C=，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ，由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab ．化简可得 5ab=3b 2，∴ =．故答案为：．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题19．【答案】（1）详见解析；（2）.3λ=【解析】（1）由于，，则， 2AB =AM BM ==AM BM ⊥又∵平面平面，平面平面＝，平面，⊥ADM ABCM ADM ABCM AM ⊂BM ABCM ∴平面，…………3分⊥BM ADM又∵平面，∴有；……………6分⊂AD ADM BM AD ⊥20．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；则由题意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），由g（x）≥f（x）得，﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；当x=0时，该不等式成立；当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，h″（x）=x•e﹣x＞0，∴h′（x）在（0，1]单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，1]单调递增，∴h（x）max=h（1）=1，∴t≥1．（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，∴=，又a1=1，∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；对n=1也成立，∴a n=n．∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx．又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，∴f（x）dx≤g（x）dx=+，∴ [f （）+f （）+…+f （）]＜+，∴f （）+f （）+…+f （）＜n （+）．【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．22．【答案】．23a =-【解析】考点：集合的运算.23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=a ，以及正弦定理，得sinB=，又∵B 为锐角，∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，∴a 2+c 2﹣ac=36，∵a+c=8，∴ac=，∴S △ABC ==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣24．【答案】当1a >时，),1(1,(+∞-∞∈ a x ，当1a =时，),1()1,(+∞-∞∈ x ，当1a 0<<时，),1()1,(+∞-∞∈a x ，当0a =时，)1,(-∞∈x ，当0a <时，)1,1(a x ∈.考点：二次不等式的解法，分类讨论思想.。
2017-2018学年高二理数上学期第一次月考(9月)原创模拟卷(A卷,考试版)
理科数学试题 第1页（共4页） 理科数学试题 第2页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2017-2018学年上学期第一次月考（9月）原创卷A 卷高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修5第1章、第2章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1b =，4B π=，1cos 3A =，则a =A ．43 B 2 C ．34D 22．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =++，则A =A ．3π B ．6π C ．23πD ．3π或32π3．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S 等于 A ．30 B ．31 C ．62D ．644．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8b =，3c =，60A =︒，则此三角形外接圆的半径R = A ．823B ．33C ．73D 735．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为a 米和b 米，测得灯塔A 在观察站C 北偏西60︒，灯塔B 在观察站C 北偏东60︒，则两灯塔A ，B 间的距离为 A 22a b +B 22a b ab +-米C 22a b ab ++D 223a b ab +-6．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60C =︒，4a b =，13c =，则ABC △的面积为 A 3B 13C ．23D 137．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为 A ．180 B ．200 C ．128D ．1628．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <，则当n S 最大时n 的值为 A ．8 B ．5 C ．4D ．39．在等差数列{}n a 中，已知22383829a a a a ++=，且0n a <，则数列{}n a 的前10项和10S =A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos a A b B c C +=，则ABC △是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11．已知1a ，2a ，1b ，2b 为实数，且1-，1a ，2a ，4-成等差数列，1-，1b ，2b ，8-成等比数列，则211a ab -的值为理科数学试题 第3页（共4页） 理科数学试题 第4页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A ．14- B ．12 C ．14或14-D ．12或12-12．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，11sin 6B =，32C ππ<<sin 2sin sin 2b Ca b A C=--，则b 等于 A 3 B ．2 C 5D ．3第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =________________．14．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，若2232S a =+，4432S a =+，则q =________________．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则sin C 的值为________________．16．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：2123n a a a n n +=+，则12231n a a an +++=+________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)(1)n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD 中，2D B =，且2AD =，6CD =，3cos B =． （1）求ACD △的面积；（2）若43BC =，求AB 的长．19．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知232cos cos a c bA B-=． （1）若35sin b B =，求a 的值； （2）若5a =，ABC △的面积为5，求b c +的值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}n b 满足214b =，4116b =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n a a C a b =+，求数列{}n C 的前n 项和n T ． 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，11021n n n a a a +++=-．（1）证明：数列1{}na 是等差数列； （2）若数列{}nb 满足12b =，112n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 22．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(sin ,sin sin )A B C =-m ，=n (3,)a b b c -+，且⊥m n ．（1）求角C 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．。
郫都区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
郫都区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 四面体 中,截面 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（）ABCD PQMNA ．B ．AC BD ⊥AC BD= C.D ．异面直线与所成的角为AC PQMN A PM BD 452． 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α；其中正确命题的序号是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③3． 设命题p ：函数y=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ）A ．p 为假B ．￢q 为真C ．p ∨q 为真D ．p ∧q 为假4． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈5． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．3：2：4D ．3：1：26． 下列函数中，为偶函数的是（ ）A ．y=x+1B ．y=C ．y=x 4D ．y=x 57． 已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为，M N 、24y x =F MN 2，则直线的方程为（ ）||||10MF NF +=MN A ． B ． 240x y +-=240x y --= C ．D ．20x y +-=20x y --=8． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（）A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为﹣3D ．减函数且最大值为﹣39． 复数z=（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（）A ．﹣iB ．﹣﹣iC ． +iD ．﹣ +i10．函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0） 11．在中，，等于（ ）ABC ∆60A =1b =sin sin sin a b cA B C++++A ．B CD 12．集合,则A B = （ ）{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<A ．()1,3B ．C ．[]1,+∞D ．[],3e [)1,3二、填空题13．若全集，集合，则14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数的零点在区间)ln 4f x x x =+-内，则正整数的值为________．()1k k +，k 15．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是 度．16．下列说法中，正确的是 ．（填序号）①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称；③y=（）﹣x 是增函数；④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0． 17．已知线性回归方程=9，则b= ．18．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），过点的直线交曲线于两点.C ⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x α)0,1(P C B A 、（1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）求的最值.||||PB PA ⋅20．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲41- 如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD , 交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；P EDF ∠=∠（Ⅱ）若，求的长．2,3,2:3:===EF DE BE CE PA21．2()sin 2f x x x =.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12A f =，ABC ∆的面积为.22．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。
郫都区高2017级阶段性检测(一)(理)修订.docx
成都市郫都区高2021级阶段性检测（一）数 学（理科）说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2. 所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=A C UA.φB. {1，3}C. {2，4，5}D. {1，2，3，4，5}2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中4x 的系数为A.120B.135C.140D.100 4.在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于 A. 9 B. 7 C. 6 D. 5 5.下列命题中正确命题的个数是①命题“函数229()9y x x R x =++∈+的最小值不为”是假命题；②“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件; ③若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题;④若命题:p 2000,10x R x x ∃∈++< ， 则:p ⌝2,10x R x x ∀∈++≥A. B. C. D. 6.已知函数21()cos 4f x x x =+，则其导函数)(x f '的图象大致是7.将一个长方体截去一个棱锥后的三视图如图所示，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，如果运行后结果为5040，那么判断框中应填入 A ．k <6? B ． k >7? C ．k >6? D ．k <7?9.某公司安排五名大学生从事A 、B 、C 、D 四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作,A 项工作仅安排一人,甲同学不能从事B 项工作,则不同的分配方案的种数为 A. 96 B. 120 C. 132 D. 24010.已知离心率e =2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于,O A 两点，若AOF ∆的面积为4，则a 的值为A. B. C. D.11.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在40,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在4,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，当[],2x ππ∈时，不等式3()3m f x m -≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围为A. B. C. D.12.若函数22(31)3,0()ln ,0x m x x f x mx x x x ⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩恰有三个极值点，则m 的取值范围是A. 11(,)23--B. 1(,0)2-C. 1(1,)3--D. 1(1,)2--第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设,x y 满足约束条件020,0x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则2z x y =-的最小值为__________.14.已知等比数列{}n a 的首项为1，且64312()a a a a +=+，则1237a a a a =__________.15.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值是______． 16.已知三棱锥P ABC -4的等边三角形，三棱锥三.解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）某市拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该市在某学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表： 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （3）若在该市男生中随机抽取5人（以频率估计概率），求抽到喜欢游泳的男生人数的数学期望.下面的临界值表仅供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bcK a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）18. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin 3cos 0a B b A =．（1）求角A ；（2）若13,3a b ==，求ABC ∆的面积． 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点． （1）证明：PB AEC 平面；（2）设1PA =,060ABC ∠=，三棱锥E ACD -的体积为3D AE C --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，22a c = .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且22226F M F N +=，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f y =的图像在点()()2,2f 处的切线的倾斜角为4π，对于任意的[]2,1∈t ，函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'+=2)(23m x f x x x g 在区间()3,t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；（3）求证：),2(1ln 44ln 33ln 22ln *N n n nn n ∈≥<⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯.请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数）t t y tx (221221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=，圆C 的方程为()5)1(222=-+-y x .以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于B A ,两点，求AOB ∠cos 的值.23.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲已知函数f x的定义域；（1）当时，求函数()f x的值域为R时，求实数a的取值范围．（2）当函数()。
四川成都市2018高二数学10月月考理精品资料
2017-2018学年度高二上期十月月考数学试题(理科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。
2. 本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。
4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。
第Ⅰ卷（60分）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）。
1.圆 22(2)5++=x y 关于原点对称的圆的方程是(A )A. 22(2)5-+=x y B. 22(-2)5+=x y C. 22(2)(2)5+++=x y D. 22(2)5++=x y2.设,、∈x y R 则“2≥x 且2≥y ”是“224+≥x y ”的( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件3．椭圆221167+=x y 的左右焦点分别为12,F F ,一直线过1F 交椭圆于A ，B 两点， 则 2∆ABF 的周长为 （ B ）A.32B.16C. 8D. 44. 已知命题:0,ln(1)0p x x ∀>+>；命题 22:,q a b a b >>若则 ， 下列命题为 真命题的是（ B ）A 、p ∧qB 、p ∧￢qC 、￢p ∧qD 、￢p ∧￢q5．已知点M （a,b ）（ab ≠0），是圆222+=x y r内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是2+=ax by r ，则（ C ） A. l ∥m 且l 与圆相交 B. l ⊥m 且l 与圆相切C. l ∥m 且l 与圆相离D. l ⊥m 且l 与圆相离6. 已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ A ）A B C D ．137．已知P 为椭圆22=12516x y +上的一点，M N 、分别为圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝上的点，则PM PN ＋的最小值为（ B ）A ．5B ．7C ．13D ．158．平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（ C ）条。
四川省成都市高二数学10月月考试题文(1)(new)
四川省成都市2017-2018学年高二数学10月月考试题 文第I 卷（选择题）一、选择题（512=60分）1．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2为（x －2）2＋（y ＋2）2＝4，则两圆的位置关系为 ( ）A 。
相离 B.外切 C.相交 D 。
内切2．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( ） A 。
B 。
C. D.3．实数,x y 满足220110x y x y y -+≥+≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩且2z x y =-,则z 的最大值为（ )A. —7B. -1 C 。
5 D. 74．若点11P （，）为圆0622=-+x y x 的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．032=-+y x B ．012=+-y xC ．032=-+y xD ．012=--y x5．下列四个命题：①命题“若2320x x -+=，则1x ="的逆否命题为:“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件; ③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<.则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥；其中正确命题的个数是（ ）A. 4个 B 。
3个 C 。
2个 D 。
1个6．“12m <<”是“方程22113x y m m +=--表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A 。
充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 。
充要条件 D. 既不充分也不必要条件7．若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分,则此弦所在直线的斜率为（ ） A. 2 B. -2 C. 13 D 。
12- 8．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．109．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>, F 是椭圆的右焦点, A 为左顶点，点P 在椭圆上， PF x ⊥轴，若1PF AF 4=，则椭圆的离心率为( ) A 。
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四川省成都市郫都区2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题 理考试时间共120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是A ．若α ≠π4，则tan α≠1B ．若tan α≠1，则α≠π4C ．若α＝π4，则tan α≠1 D．若tan α≠1，则α＝π42．已知命题p ：∃n ∈N,2n＞1000，则￢p 为A ．∃n ∈N,2n≤1000 B ．∀n ∈N,2n＞1000 C ．∀n ∈N,2n ≤1000 D ．∃n ∈N,2n ＜1000 3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过的定点是A ．(2,3)B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(－2,3) D ．(－2,0) 4．下列命题是真命题的是A ．若1=2x ，则1=xB ．若yx 1=1，则y x = C ．若y x =，则y x =D ．若y x <，则22<y x5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：0=12+y ax 与直线l 2：x +(a +1)y +4=0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若方程x 2＋(2a ＋3)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 的值为A ．2B ．－1C ．－1或2D ．不存在7．若命题p ：x ∈A ∩B ，则﹁p 为A ．x ∈A 且x ∉B B ．x ∉A 且x ∉BC ． x ∉A 或x ∉BD ．x ∈A ∪B8．设变量x，y满足约束条件，，，≤3≤2≥6+3yyxyx则目标函数z＝y－2x的最小值为A．－ 7 B．－4 C．1 D．2 9．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点) 的面积为A．23B．43C．556D．5210．设点A(2,－3)，B(－3,－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是A．43≥k或4≤k B．43≤≤4kC．4≤≤43k D．43≥k或4≤k11．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于A．10- B．5 C．10-．5-12．当曲线1y=+y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是A．50,12⎛⎫⎪⎝⎭ B．1334⎛⎤⎥⎝⎦， C．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．53124⎛⎤⎥⎝⎦，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝x的值是．14．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为．15．若命题“0932,2<+-∈∃axxRx”为假命题，则实数a的取值范围是．16．已知实数x，y满足y=m＝y＋3x＋1的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分17．（本小题满分10分）已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,6)，C(0,2)．（1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求AC 边上的中线所在直线的方程．18．（本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足.0>82+,0≤622x x x x（1）若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； （2）若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知定圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，点A (1,0)为定圆上的一个点，点C 为定圆上的一个动点，M 为动弦AC 的中点，求点M 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．21．（本小题满分12分）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．22．（本小题满分12分）已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标为C2,tt ⎛⎫ ⎪⎝⎭(t∈R，t≠0)．（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设点P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．郫都一中2017-2018学年高二上期10月月考试题参考答案数 学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）BCC BAB CAC ACD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 6或－2， 14. 2 5 ， 15. [ 2 2 ，－2 2 ]， 16. t ≤－32或t ≥34 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分） 17.（本小题满分10分）解：(1)∵A (4,0)，B (6,6)，C (0,2)， ∴kAB ＝＝3，∴AB 边上的高所在直线的斜率k ＝，∴AB 边上的高所在直线的方程为y －2＝，整理得x ＋3y －6＝0. (2)∵AC 边的中点为(2,1)， ∴AC 边上的中线所在的直线方程为，整理得5x －4y －6＝0. 18.（本小题满分12分）解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3).(2) ﹁q 是﹁ p 的必要不充分条件， 即﹁p ⇒﹁q 且﹁q ⇒﹁p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A 真包含于B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]. 19.（本小题满分12分） 解 设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为M 是动弦AC 的中点，所以由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .①因为点C 与点A 不重合，所以x 0≠1，即x ≠1. 又因为点C (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， 所以(x 0＋1)2＋y 20＝4(x 0≠1)，②将①代入②，得(2x －1＋1)2＋(2y )2＝4(x ≠1)， 即x 2＋y 2＝1(x ≠1).因此，动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠1). 20.（本小题满分12分）解：(1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )． ∴l 过的交点M (3,1)．即l 恒过定点M (3,1)，又∵M 到圆心C (1,2)的距离d ＝＝＜5，∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2) ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤，弦心距、半弦长和半径r 满足勾股定理，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20. ∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4.此时，kCM ＝－，kl ＝－.∵l ⊥CM ，∴·＝－1，解得m ＝－.∴当m ＝－时，取到最短弦长为4.21.（本小题满分12分）解 (1)将圆C 整理，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6.∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为0时，设切线方程为x ＋y －a ＝0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1.∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.（2）∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.22.（本小题满分12分）解：(1)证明 由题意知，圆C 的标准方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或x ＝2t ，则A (2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或y ＝4t，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·|4t|＝4，为定值.(2)∵|OM |＝|ON |，∴原点O 在MN 的中垂线上.设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，且直线OC 的斜率与直线MN 的斜率的乘积为－1，即直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2，∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5.检验：当圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时直线与圆相离，故舍去.故圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)易求得点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点B ′(－4，－2)， 则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |， 又∵B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝ －6 2＋ －3 2－5＝35－5＝25，∴|PB |＋|PQ |的最小值为25，又直线B ′C 的方程为y ＝12x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝－23，故|PB |＋|PQ |取得最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23，最小值为2 5.。