分析力学第一章作业答案【精选】

t2 t1
平均值大 于υ平均 值的平方。

m 2(t2 t1)
t2 t1

dt

2

m(b a)2 2(t2 t1)

S0
解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知
dr ed e d ezdz
z

等式两边同时除以dt
r e e ez z
r z
那么，系统的动能为

y
T = 1 mr 2 1 m( 2 2 2 z2 ) x
2
2
那么，系统的拉格朗日函数为
所以
L T U = 1 m( 2 2 2 z2 ) U ()
t2
S0 L(x, x,t)dt m2/2dt m2 (t2 t1) / 2
t1
t1
将 (x2 x1) /(t2 t1) 带入得到
S0

m( x2 2(t2
x1)2 t1)
将 (x2 x1) /(t2 t1) 带入得到
S0

m( x2 2(t2
系统的总能量
E 1 m( X x cos )2
2
1 MX 2 1 mx2 sin2
2
2
mgx sin
E 1 m( X +x cos V )2
2
1 M ( X V )2 1 mx2 sin2
2
2
mgx sin
系统的能量在k系和 k系之间的变换方程
带入拉格朗日方程得到
mxi
U xi

Fi
(i 1, 2,3)
这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程
即牛顿第二定律
2.已知柱坐标 (,, z) 与笛卡尔坐标的关系是
x cos, y= sin, z z
如图．设质点在轴对称势能场 U () 中运动，
写出其拉格朗日方程。
以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD
两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距
2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接，
在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦
的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受
到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的
夹角为2 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD
中的张力 FT ，讨论FT 的方向 与 的大小的关系。问：在 什么情况下有 FT 0，说明其 意义。
dr 和 r 的区别如图所示：
l
m z
M
M
l
r
m
x3
l
dr
m
x3
虚位移和实际位移的主要区别在于
虚位移只和约束有关,某一时刻约束所允许 的位移。
实际位移除了和约束有关以外，还和物体 当前的运动状态有关；运动方程和约束允许， 在时间间隔内所发生的位移。
4. 长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可

f
q, t
t

s
q
1
f q,t
q
Lq,q,t
f
q, t
t
s
+ q
1
f q,t
q
那么
L ' L 2 f q,t
2 f q,t
q q tq
q

q q
L ' L
作业参考答案
2013年9月
1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐 标系中写出其拉格朗日方程。
解：拉格朗日方程为：
d L L 0 dt q q
( 1, 2,3)
L为拉格朗日函数
L T U
笛卡尔坐标中的坐标变量为 x1, x2, x3，那么
3
T mxi2 / 2 i 1
2
L m 2 U ()


L 0

L 0 z
L m
L m 2 L mz

z
带入拉格朗日方程，则有：
m m 2 dU () , d
d (m 2) 0
dt
z0
3.长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 X Asin (t t0)方式运动，如图所示，小球被限 制在 (x, z)平面内运动，t t0时悬线竖直向下。
坐标系：两根钉连线的中点为坐标原点，连线
所在直线为x轴（向右为正），垂直连线为y轴
（向下为正），并取 为广义坐标。
B、D点的x坐标：xB l sin
xD l sin
C点的y坐标：
yC

2l
cos

a
tan
FT rB (FT rD ) W rC 0
FT i ( xBi yB j ) (FT i ) ( xDi yD j )
Wj ( xCi yC j ) 0
FT xB FT xD W yC 0
xB l cos
xD l cos

yC

(2l
sin
即有：
m( X x cos ) MX 0 mx mX cos mg sin
m( X x cos ) MX 0
解之得：
X

mg sin cos M msin2
x


(M M

m)g sin msin2
P37 第5题
x
O
X
K系（桌面坐标系）
10．直接用拉格朗日方程[ 1.1.2 (2.21) 式 ]证明，
由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数 的两个拉格朗日函数L` 和L [1.1.3 (3.13)式 ] 得 到的运动方程相同。
证明：L和L’相差一个广义坐标和时间的全微分
L'

Lq,q,t

df
q, t
dt

Lq,q,t
dt q dt q q
d L
dt q
2 f q,t


tq

q
2 f q,t
q q
将拉格朗日方程 d L L
dt q q 得到 d L L
dt q q
代入上两式
由L` 和L 得到的运动方程相同。
12．已知一维运动自由质点的拉氏量是 L m2 / 2

a
sin2
)
最后可得：
2FTl cos + 2Wl sin Wa csc2 0
即有：FT
Wa / (2l sin2 cos ) W
tan =W
tan
（
2l
a sin
3

-1）
FT 0
sin 3 a
2l
杠对B的作用力向内
FT 0
sin 3 a
（a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 r
（b）已知在这一时刻的角速度为 ，求经过 dt
时间后的位移 dr。问：当 dt 0时，dr 与 r
有何差别？ 解：（a）在任意时刻，约束所
x M
容许的位移为虚位移，途中
的小球，受到细绳的和自身 重力的约束，在这个时刻，
l
m z
小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为 时，对应的虚位移为 l 。
q q
2 f q,t


tq

q
Байду номын сангаас f q,t
q q
L '
q

L q

q
f [
q, t
t
s
q
1
f q,t
] q
L q

f q,t
q
那么
d
L '

d [ L

f
q, t

]
A l 2 l
2a
B
D
l
l
C
W
解：由虚功原理，在平衡状态下可得
l
F主( ) r 0
B

为了求棒中的张力，可将棒的约
FT
l
A
2 l
2a
D
FT l
束予以“释放”，以张力 FT 作为
C
主动力代替棒。此时系统的自由度
W
为1，系统受3个外力作用：作用于
B的张力FT ，作用于D的张力 FT ， 作用于C点的W。
2l
杠对B的作用力向外
FT 0
sin 3 a
2l
杠对B无作用力
9．质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面 上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m，如图所 示。写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度 X 和滑块相对于斜面的加速度 x 。
解：系统的拉格朗日函数为
x
L 1 m( X x cos )2 1 mx2 sin2 O
x1)2 t1)
（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速
度为时间的函数 (t)，且满足：
t2
那么
υ平方的
b a (t)dt t1
S1
t2 1 m 2dt 1 m t2 2dt
2 t1
2 t1
t2 2dt
t2 dt
t1
( t1
)2
t2 t1
（b）小球经过 dt 时间后的位移，可以看作由 两部分组成：
（1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 ldte
（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位
移 Xdt A cos(t t0 )dteX 所以，小球的位移为